特殊平行四邊形二初二數(shù)學(xué)主講教師鄧蘭萍ppt課件

1、特殊平行四邊形二特殊平行四邊形二初二數(shù)學(xué)初二數(shù)學(xué) 主講教師主講教師: :鄧蘭萍鄧蘭萍 正方形正方形一一完美的正方形完美的正方形:.是更特殊的平行是更特殊的平行四邊形四邊形:具有平行四邊形具有平行四邊形的普通特征的普通特征;.是特殊的矩形是特殊的矩形:有有一組鄰邊相等的矩形一組鄰邊相等的矩形;.是特殊的菱形是特殊的菱形:有有一個角是直角的菱形一個角是直角的菱形;.是中心對稱圖形是中心對稱圖形又是軸對稱圖形又是軸對稱圖形有四有四條對稱軸條對稱軸 .如圖如圖:菱形菱形正方形正方形矩形矩形平行四邊形平行四邊形CDBAABOCDABHGFEODC二.正方形的特征 .邊:四條邊相等;AB=BC=CD=DA

2、.角:四個角相等; A=B=C=D=90.對角線:相等且相互垂直平分;AC=BD,ACBD,AO=OC,BO=OD.O是正方形ABCD的對稱中心, 直線AC.BD.EF.GH都是它的對稱軸.三.正方形的識別:闡明:根據(jù)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的關(guān)系,遇到詳細(xì)問題時,可以本著先判別是平行四邊形,再判別是矩形或菱形,進(jìn)而得到正方形.4個個2個個平行四平行四邊形邊形正方形正方形菱形菱形矩形矩形四邊形四邊形1個個1個個1個個1個個2個個al四.其它:.與正方形相關(guān)的三角形:等腰直角三角形.圖形分解:.正方形的面積:S正方形=a 2 = l 2ODBBAAODCBA213.正方形問題中常見的圖形變

3、換:五五. .正方形知識的運(yùn)用正方形知識的運(yùn)用: : 例例. .知知: :如圖如圖,E,E是正方形是正方形ABCDABCD中中BDBD 上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,且且BEBEBC,BC,求求:DCE:DCE的度數(shù)的度數(shù). .分析:正方形ABCD對角線BD平分ABC, 故BCD是等腰Rt,DBC45,由 條件可知BEC為等腰,BCE可求, 進(jìn)而利用正方形特征可求DCE度數(shù).EDCBA解正方形ABCD ABCBCD90 又BD平分ABC BEBC 在BEC中由內(nèi)角和可知 DCEBCDBCE9067.522.5EDCBA1452CBEABC1=180)=67.52BCEBECCBE（FEDCBA例例. .如

4、圖如圖, ,ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,CD,CD是角平是角平分線分線,DEAC,DEAC于于E,DFBCE,DFBC于于F.F.試闡明試闡明DFCEDFCE為為正方形的理由正方形的理由. . 分析:判別正方形可先確定四邊DFCE為矩形或菱形證明:ACB90 又DEAC于E,DF BC于FCEDCFD90四邊形DFCE為矩形,有三個角是直角的四邊形是矩形CD是ABC的角平分線 DEDF角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊間隔相等矩形DFCE為正方形一組鄰邊相等的矩形是正方形 FEDCBA例例. .如圖如圖,E,E是正方形是正方形ABCDABCD內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn), ,且且ABEABE是等邊三角

5、形是等邊三角形. .求求:BED:BED的度數(shù)的度數(shù). .EDCBA分析:由于正方形ABCD與正三角形ABE邊等,因此可利用特殊四邊形和三角形角的關(guān)系得到結(jié)論.EDCBA1=(180)=752AEDADEDAE解:正方形ABCD DAB90 ADAB 又ABE為等邊三角形 EABAEB60 AEAB ADAE DAEDABEAB30 在ADE中,由內(nèi)角和, 有 BEDAEBAED6075點(diǎn)評:問題一:假設(shè)等邊ABE的E點(diǎn)落在正方形ABCD的外部 時,想一想圖形是什么樣,能畫出來嗎?這時 BED是多少度? 問題二:假設(shè)E是平面內(nèi)一點(diǎn),且有它到正方形ABCD各頂 點(diǎn)的間隔相等,問這樣的E點(diǎn)存在嗎?

6、假設(shè)存在, 有幾個?他能畫圖表示嗎?例例.知知:如圖如圖,E、F、G分別是正方形分別是正方形ABCD中中BC、AB、CD上的點(diǎn)上的點(diǎn),且且AEFG.求證求證:AE=FG. ABCDEFG分析:假設(shè)將線段FG,沿射線FB方向平移, 平移間隔為線段FB的長.由于條件 給出的是正方形,因此可得到線段 BP如圖這樣可利用正方形的特 征,得到ABE繞正方形對角線交點(diǎn) 逆時針旋轉(zhuǎn)90能與BCP重合,對應(yīng) 線段AEBPFG解答過程略.ABCDEFGp點(diǎn)評:是不是這個標(biāo)題的條件還可以這樣變卦:如圖, 假設(shè)M、N分別是AD、BC上的點(diǎn),E、F分別是AB、 DC上的點(diǎn),且有MNEF,那MN與EF的數(shù)量關(guān) 系一定等

7、嗎?請闡明他的理由.NEBFDCAM例例. .知知: :如圖如圖,E,E、F F分別是正方形分別是正方形 ABCD ABCD中中ABAB、BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,且且CECE交交 DF DF于于M M點(diǎn)點(diǎn). .求證求證:AM=AB.:AM=AB. ABCDEFM分析:由根本圖形的分析,BEC繞正方形 中心逆時針旋轉(zhuǎn)90能與FCD重合, 易證ECDF,將BCE繞E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180,得到 EAP,由于是正方形ABCD,故P、A、D共線, APBC且APBC, MA是RtDPM斜邊 中線,有APAMAB證明略FEBDCAM12P例例. .知知: :如圖如圖,P,P是正方形是正方形ABCDABCD中中A

8、CAC上一點(diǎn)上一點(diǎn),PEAD,PEAD于于 E,PFCD E,PFCD于于F.F.求證求證: :OEOF;OEOF;OE=OF.OE=OF.ABCDEFPO分析:處理問題的關(guān)鍵是判別E點(diǎn)繞O點(diǎn)順時針旋 轉(zhuǎn)90后能與F點(diǎn)重合,關(guān)鍵是AEDF? 由條件不難知道AEP是等腰Rt,而四 邊形EPFD易證為矩形,所以有AEEPDF, 問題得證:ABCDEFPO證明:正方形ABCD中,BADADC90 OAOD且AOD90 OAEODF45 P是AC上一點(diǎn),且PEAD于E,PFCD于F, 即PEDPFD90 四邊形EPFD為矩形,EPDF 在AEP中, EPAPAE45, AEEP AEDF 將AOE繞O

9、點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90,A點(diǎn)與D點(diǎn)重合,E點(diǎn)與F點(diǎn)重合OEOF由可知,E、F是 AOE與DOF關(guān)于O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對稱的點(diǎn),OEOFABCDEFPO例例7.7.知知: :如圖如圖,E,E是正方形是正方形ABCDABCD的對角線的對角線 BD BD上恣意一點(diǎn)上恣意一點(diǎn), , AE AE的延伸線交的延伸線交CDCD于于G,G,交交BCBC的延的延 長線于長線于H,FH,F是是GHGH的中點(diǎn)的中點(diǎn). . 求證求證:CFCE:CFCE。FEBDCAH2G341分析:由于正方形是軸對稱圖形,所以DAE與DCE關(guān)于直線 BD對稱,12 又由于正方形ABCD中,ADBC,所以1H 在RtGCH中,由于F點(diǎn)是GH中點(diǎn) 所以

10、CFFH,3H 所以23 由于3490 所以2490 故CFCE 證明過程略BCHFEDA2G341例例8.8.如圖如圖, ,正方形正方形ABCDABCD中中,EBF=45,EBF=45,E,E、F F分別在邊分別在邊ADAD和和CDCD上上. .求證求證:EF=AE+FC.:EF=AE+FC.ABCDEF分析:待證結(jié)論中EF與AE、FC比較分散,應(yīng)想方法挪動圖形,相對集中,思索到結(jié)論出現(xiàn)AEFC 無妨把FBC繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90得到PBA,由于正方形ABCD,CBAD90顯然P、A、E共線,問題就轉(zhuǎn)化為證明PEEFFEBDCAp由于對應(yīng)點(diǎn)P、E與B點(diǎn)連線夾角為90,又EBF45,可知BE平分

11、PBF,又由于BPBF,故BPE與BFE關(guān)于直線BE對稱,問題得證.證明過程略.FEBDCAp點(diǎn)評:幾何問題中有時會見線段和差問題,普通處置時 常用手段是“截長補(bǔ)短即將每條短線段中的一條通 過 變換與另一條接在一同,證明其和等于長線段, 這叫補(bǔ)短,另一種情況是把長線段截出一段等于 一條短線段再證明剩下的部分與另一條短線段相 等,這叫截長.例例9.9.知知: :如圖如圖, ,正方形正方形ABCDABCD的對角線的對角線ACAC、BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O,EO,E是是ACAC上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作AGBEAGBE于于G,AGG,AG交交BDBD于于F.F.闡明闡明OE=OF.OE=

12、OF.假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)E E在在ACAC的延伸線上的延伸線上, AGBE, AGBE交交DBDB的延伸線于的延伸線于F,F,其其他條件不變?nèi)鐖D他條件不變?nèi)鐖D, ,那么結(jié)論那么結(jié)論“OE=OFOE=OF還成立嗎還成立嗎? ?請闡明請闡明理由理由. .圖2OABCDEFGBDCAOEFG12圖1分析:1正方形ABCD中,ACBD,OAOB又由于AGBE,所以12,AOF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90后能與BOE重合,因此有OEOF2受1的啟發(fā),BOE繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90后也能與AOF重合,因此OEOF結(jié)論仍能成立. 圖2OABCDEFGBDCAOEFG12圖1點(diǎn)評:和有些標(biāo)題類似,雖然E、F點(diǎn)的位置有變化,但

13、OEOF的結(jié)論確沒有發(fā)生變化,由此可知許多圖 形之間都存在這種內(nèi)在聯(lián)絡(luò).圖2OABCDEFGBDCAOEFG12圖1例例10.10.如圖如圖, ,假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)P P為正方形為正方形ABCDABCD邊邊ABAB上一點(diǎn)上一點(diǎn), ,以以PAPA為一為一邊作正方形邊作正方形AEFP,AEFP,連連BEBE、DP,DP,并延伸并延伸DPDP交交BEBE于點(diǎn)于點(diǎn)H.H.求證求證:DHBE:DHBE。如圖如圖, ,假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)P P為正方形為正方形ABCDABCD內(nèi)恣意一點(diǎn)內(nèi)恣意一點(diǎn), ,其他條件其他條件不變不變, ,，的結(jié)論能否成立，的結(jié)論能否成立? ?假設(shè)成立，請給出證明假設(shè)成立，請給出證明; ;假設(shè)不假設(shè)不成立成立, ,請闡明理由請闡明理由. .圖1ABCEFHPD圖2DPHFECBA1由條件可知DAP繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90就可與BAE重合, 12 又由于34,因此在 DAP和 BHP中DAPBHP, 由于DAB90,所以BHP90,故DHBH