橢圓的參數(shù)方程(公開課)

1、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1.圓的參數(shù)方程是什么圓的參數(shù)方程是什么?圓圓x2+y2=r2(r0)的參數(shù)方程的參數(shù)方程:)(sinycos為為參參數(shù)數(shù) rrx圓圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程的參數(shù)方程:)(sinycos為參數(shù)rbrax問題問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓你能仿此推導(dǎo)出橢圓 的參數(shù)方程嗎？的參數(shù)方程嗎？12222byax其中參數(shù)的幾何意義為其中參數(shù)的幾何意義為:AOP=2.圓參數(shù)的幾何意義是什么圓參數(shù)的幾何意義是什么?xyOPA為為圓心角圓心角問題問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓你能仿此推導(dǎo)出橢圓 的參數(shù)方程嗎？的參數(shù)方程嗎？12222byax12222byax

2、122byaxsincosbyax令)(sincos為參數(shù)byax問題問題:你能仿此推導(dǎo)出橢圓你能仿此推導(dǎo)出橢圓 的參數(shù)方程嗎？的參數(shù)方程嗎？12222aybx12222aybx122aybxsincosaybx令)(sincos為參數(shù)aybx 1.在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、 b分別是分別是 橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). ab 2. 稱為稱為離心角離心角,規(guī)定參數(shù)規(guī)定參數(shù) 的取值的取值 范圍是范圍是0,2)OAMxyNB注意注意：3. 練習(xí)練習(xí)1：把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22149xy(1)8 cos10 sinx

3、y(2)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2264100(2)1yx)(sin3cos2) 1 (為參數(shù)yx例例1.在橢圓在橢圓 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P ,使使P 到到直線直線 的距離最小的距離最小.8822 yx04: yxlxylO2|4)cos(3|解法一解法一：)sin,cos22(P設(shè)設(shè)2|4sincos22|dP則點(diǎn)則點(diǎn) 到直線距離到直線距離 .31sin,322cos，其中其中此時(shí)此時(shí),2 2coscos()cos,31sinsin()sin,3 ).31,38( P點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)1)cos(22當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)，時(shí)，d 取最小值取最小值 . 解法二解法二:把直線把

4、直線 平移至平移至 , 與橢圓相切與橢圓相切,此時(shí)的切點(diǎn)此時(shí)的切點(diǎn) 就是最短距離時(shí)的點(diǎn)就是最短距離時(shí)的點(diǎn). l l lP lxylOP082922mmyy0)8(94422mm3m88022yxmyx由由3mP04: yxl)31,38(P由圖形可知：由圖形可知： 時(shí)時(shí) 到直線到直線的距離最小的距離最小,此時(shí)此時(shí) .0: myxl即設(shè)即設(shè)變式變式1:22194xy 己知己知M(x,y)是橢圓是橢圓 任一點(diǎn)，求任一點(diǎn)，求 的取值范圍的取值范圍_.2uxy 變式變式2、已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。22110064xy變式變式3:已

5、知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx變式變式2、已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。22110064xy:10cos ,8sinA解 設(shè)20cos,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面積為yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX變式變式3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交

6、點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:,ABCABP解 橢圓參數(shù)方程 設(shè)點(diǎn)P(3cos,2sin) S面積一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求點(diǎn)到線的距離最大值線AB的方程為66所以當(dāng)=時(shí)有最大值 面積最大4這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)（1）橢圓的參數(shù)方程）橢圓的參數(shù)方程,特別注意參數(shù)的幾何意義；特別注意參數(shù)的幾何意義；（2）橢圓的參數(shù)方程在求）橢圓的參數(shù)方程在求最值，范圍最值，范圍問題上有其優(yōu)問題上有其優(yōu)越性；越性；知識(shí)點(diǎn)小結(jié)知識(shí)

7、點(diǎn)小結(jié)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸時(shí)軸時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸時(shí)軸時(shí))(sinycos為參數(shù)bax)(sinycos為參數(shù)abx例例1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 問題：?jiǎn)栴}：1.如何求點(diǎn)的軌跡。如何求點(diǎn)的軌跡。2.點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)與的坐標(biāo)與A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系 3.怎樣引進(jìn)參數(shù)使怎樣引進(jìn)參數(shù)使A、

8、B的坐標(biāo)的坐標(biāo)建立聯(lián)系建立聯(lián)系.OAMxyNB例例1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. 分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同的橫坐標(biāo)相同,點(diǎn)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同的縱坐標(biāo)相同. 而而A、B的坐標(biāo)可以通過的坐標(biāo)可以通過 引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系.設(shè)設(shè)XOA=O

9、AMxyNB例例1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a，b（ab0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)點(diǎn)A作作ANox，垂足為，垂足為N，過點(diǎn)，過點(diǎn)B作作BMAN，垂足為，垂足為M，求當(dāng)半徑求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. OAMxyNB解：解：設(shè)設(shè)XOA=, M(x, y), 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax)( 為參數(shù)為參數(shù) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. .練習(xí)練習(xí)41、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線在曲線 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最