簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題

1、簡(jiǎn)單的統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題    導(dǎo)讀：最 優(yōu)化概念反映了人類(lèi)實(shí)踐活動(dòng)中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間的前提下，努力爭(zhēng)取獲得在允許范圍內(nèi)的最佳效益因此，最優(yōu)化問(wèn)題成為現(xiàn) 代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究以及日常生活中都有廣泛的應(yīng)用作為數(shù)學(xué)愛(ài)好者，接觸一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解一些優(yōu)化的思想是十分有 益的現(xiàn)在通過(guò)幾個(gè)例題，學(xué)習(xí)一些簡(jiǎn)單的知識(shí)和解題方法。也介紹了一點(diǎn)不定方程的知識(shí)，只供學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的參考。    例1、 媽媽讓小明給客人燒水沏茶洗開(kāi)水壺要用1分鐘，燒開(kāi)水要用15分鐘洗

2、茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘小明估算了一下，完成這些工作要20分鐘為了使客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？    分析: 本題取自華羅庚教授1965年發(fā)表的統(tǒng)籌方法平話(huà)燒水沏茶的情況是：開(kāi)水要燒，開(kāi)水壺要洗，茶壺茶杯要洗，茶葉要取怎樣安排工作程序最省時(shí)間呢？    辦法甲：洗好開(kāi)水壺，灌上涼水，放在火上，在等待水開(kāi)的時(shí)候，洗茶杯，拿茶葉，等水開(kāi)了，沏茶喝    辦法乙：先做好一切準(zhǔn)備工作，洗開(kāi)水壺，洗壺杯，拿茶葉，灌水燒

3、水，坐等水開(kāi)了沏茶喝    辦法丙：洗開(kāi)水壺，灌上涼水，放在火上坐待水開(kāi)，開(kāi)了之后急急忙忙找茶葉，洗壺杯，沏茶喝    誰(shuí)都能一眼看出第一種辦法好，因?yàn)楹髢煞N辦法都“窩了工”    開(kāi)水壺不洗，不能燒開(kāi)水，固為洗開(kāi)水壺是燒開(kāi)水的先決條件，沒(méi)開(kāi)水、沒(méi)茶葉、不洗壺杯，我們不能沏茶，因而這些又是沏茶的先決條件它們的相互關(guān)系可以用下圖的箭頭圖來(lái)顯示    箭桿上的數(shù)字表示完成這一工作所需的時(shí)間，例如表示從把水放在爐上到水開(kāi)的時(shí)間是15分鐘從圖上

4、可以一眼看出，辦法甲總共要16分鐘，而辦法乙、丙需20分鐘    洗壺杯、拿茶葉沒(méi)有什么先后關(guān)系，而且是由同一個(gè)人來(lái)做，因此可以將上圖合并成下圖    解: 先洗開(kāi)水壺用1分鐘，接著燒開(kāi)水用15分鐘，在等待水開(kāi)的過(guò)程中，同時(shí)洗茶杯、拿茶葉，水開(kāi)了就沏茶，總共用了16分鐘又因?yàn)闊_(kāi)水的15分鐘不能減少，燒水前必須用1分鐘洗開(kāi)水壺，所以用16分鐘是最少的    說(shuō)明：本題涉及到的統(tǒng)籌方法，是生產(chǎn)、建設(shè)、工程和企業(yè)管理中合理安排工作的一種科學(xué)方法，它對(duì)于進(jìn)行合理調(diào)度、加快

5、工作進(jìn)展，提高工作效率，保證工作質(zhì)量是十分有效的    例2、用一只平底鍋煎餅，每次能同時(shí)放兩個(gè)餅如果煎1個(gè)餅需要2分鐘（假定正、反面各需1分鐘），問(wèn)煎1993個(gè)餅至少需要幾分鐘？    分析: 由于1993數(shù)目較大，直接入手不容易我們不妨先從較小的數(shù)目來(lái)進(jìn)行探索規(guī)律    如果只煎1個(gè)餅，顯然需要2分鐘；    如果煎2個(gè)餅，仍然需要2分鐘；    如果煎3個(gè)餅，初學(xué)者看來(lái)認(rèn)為至少需要

6、4分鐘：因?yàn)橄燃?個(gè)餅要2分鐘；再單獨(dú)煎第3個(gè)餅，又需要2分，所以一共需要4分鐘但是，這不是最佳方案最優(yōu)方法應(yīng)該是：    首先煎第1號(hào)、第2號(hào)餅的正面用1分鐘；    其次煎第1號(hào)餅的反面及第3號(hào)餅的正面又用1分鐘；    最后煎第2號(hào)、第3號(hào)餅的反面再用1分鐘；這樣總共只用3分鐘就煎好了3個(gè)餅    解：如果煎1993個(gè)餅，最優(yōu)方案應(yīng)該是：    煎第1、2、3號(hào)餅用“分析”中的方法只需要3分

7、鐘；煎后面1990個(gè)餅時(shí)，每?jī)蓚€(gè)餅需要2分鐘，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分鐘）；這樣總共需要3+1990=1993（分鐘）同學(xué)們?cè)倏紤]一下：煎2006張，2007張各應(yīng)如何解？從中總結(jié)出規(guī)律。說(shuō)明：通過(guò)本例可以看出，掌握優(yōu)化的思想，合理統(tǒng)籌安排操作程序，就能夠節(jié)省時(shí)間，提高效率    例3、5個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來(lái)水龍頭前等候打水，他們打水所需的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘如果只有一個(gè)水龍頭，試問(wèn)怎樣適當(dāng)安排他們的打水順序，才能使每個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最小？并求出最小值

8、60;   分析: 5個(gè)人排隊(duì)一共有5×4×3×2×1=120種不同順序，把所有情形的時(shí)間總和都計(jì)算出來(lái)，就太繁瑣了憑直覺(jué)，應(yīng)該把打水時(shí)間少的人排在前面，則后面等的人所費(fèi)的總時(shí)間會(huì)省些     解：首先 需1分鐘的人排在第一位置，需1×5=5分鐘    需2分鐘的人排在第二位置，共需2×4=8分鐘    需3分鐘的人排在第三位置，共需3×3=9分鐘 

9、0;  需4分鐘的人排在第四位置，共需4×2=8分鐘    需5分鐘的人排在第五位置，共需5分鐘    所以共用時(shí)：1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分鐘）    說(shuō)明: 排隊(duì)提水的問(wèn)題，在其他一些場(chǎng)合也是會(huì)遇到的例如，有一臺(tái)機(jī)床要加工n個(gè)工件，每個(gè)工件需要的加工時(shí)間不一樣，問(wèn)應(yīng)該按照什么次序加工，才能使總的等待時(shí)間最短同學(xué)們可類(lèi)比去解。  例4 如右圖，

10、有甲乙兩個(gè)工廠(chǎng)各自需要15噸鋼材，而丙丁兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)正好分別有12噸、18噸這種鋼材，問(wèn)如何調(diào)運(yùn)可使甲乙兩個(gè)工廠(chǎng)都正好得到各自所需要的鋼材而又能使運(yùn)輸費(fèi)用最省（假設(shè)鋼材的運(yùn)費(fèi)每噸公里相同）。解 因?yàn)檫\(yùn)費(fèi)的多少?zèng)Q定于每噸鋼材所運(yùn)的路程，所以只需計(jì)算所有鋼材被運(yùn)的路程，并使總路程盡可能的少。設(shè)所有鋼材被運(yùn)路程為S（單位：噸公里）。設(shè)從丙倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲工廠(chǎng)鋼材m噸，則所剩（12-m）噸鋼材將運(yùn)往乙工廠(chǎng)，且丁倉(cāng)庫(kù)將運(yùn)往甲工廠(chǎng)（15m）噸，剩余的（1815m）噸應(yīng)運(yùn)往乙工廠(chǎng)。所以 S800m500?（12m）400?（15-m）300?（18-15m）200m12900由上式可看出要使運(yùn)費(fèi)最省而又要兩個(gè)工廠(chǎng)都得到所需鋼材，只需S最小即可，而S的大小取決于m。故m最小時(shí)S最小，所以m應(yīng)為0。這時(shí)的具體調(diào)運(yùn)方案為：由丁倉(cāng)庫(kù)運(yùn)15噸鋼材到甲工廠(chǎng)，運(yùn)3噸鋼材到乙工廠(chǎng)，丙運(yùn)12噸鋼材到乙工廠(chǎng)。    1媽媽殺好魚(yú)后，讓小明幫助燒魚(yú)他洗魚(yú)、切魚(yú)、切姜片蔥花、洗鍋煎燒，各道工序共花了17分鐘（如下圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)順序，使花費(fèi)的時(shí)間最少2用一只平底鍋煎餅，每次能同時(shí)放兩個(gè)餅如果煎一個(gè)餅需要4分鐘（假定正、反面各需2分鐘），問(wèn)煎1993個(gè)餅至少需要幾分鐘？*3