積分與路徑的無關(guān)性

1、授課題目§2柯西積分定理授課類型理論課首次授課時(shí)間 2009年9 月1 日學(xué)時(shí)2教學(xué)目標(biāo)掌握柯西積分定理及推廣.重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：柯西積分定理及推廣到復(fù)周線的情形.難點(diǎn)：柯西積分定理推廣到復(fù)周線的情形.教學(xué)手段與方法黑板講授教學(xué)過程：（包括授課思路、過程設(shè)計(jì)、講解要點(diǎn)及各部分具體內(nèi)容、時(shí)間分配等）（一）授課思路 （二）過程設(shè)計(jì)1.回顧上節(jié)課的主要內(nèi)容2.講授新課3.課堂練習(xí)與討論4.課堂小結(jié)與布置作業(yè)（三）講解要點(diǎn)及各部分具體內(nèi)容：1. 柯西積分定理從§所舉的例子中可以看出，在例3.1(2)中，被積函數(shù)在單連通區(qū)域平面上解析，它沿連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的任何路徑的積分值都是相同，即積

2、分與路徑無關(guān)，但在例3.3中，被積函數(shù)在平面上處處不解析（見第二章習(xí)題），而積分值卻與連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的路徑無關(guān)下面給出周線積分的基本定理。定理 ：設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，是在內(nèi)的原函數(shù)，即則對(duì)于內(nèi)上任意起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的周線，有。注意 定理的條件蘊(yùn)含在內(nèi)解析。該定理的意義在于：把微積分基本定理推廣到周線積分上。證明：如果是光滑曲線，例1.求，其中如圖： 解：因?yàn)閷?duì)任意的，被積函數(shù)有原函數(shù)，不必再求C的參數(shù)表示，由定理1例2.求 ，其中C分別如下圖：解：（1）在去掉負(fù)實(shí)軸的區(qū)域內(nèi)取對(duì)數(shù)函數(shù)的分支：（） 則在 區(qū)域，于是=推論1：若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)有原函數(shù)，則對(duì)內(nèi)的任意環(huán)線，有=0這個(gè)推論提供了 當(dāng)時(shí)，

3、積分的另一求法。推論2. 若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)有原函數(shù)，則它沿內(nèi)的周線積分只依賴與周線的端點(diǎn)，即積分與連接這兩點(diǎn)的路徑無關(guān)。如下圖：至此，我們將建立已討論的三個(gè)性質(zhì)的等價(jià)性：定理2. 設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則以下結(jié)論等價(jià)：（1）在內(nèi)的原函數(shù)（2）沿內(nèi)的任意環(huán)線的積分為零。即對(duì)內(nèi)的任意環(huán)線，有=0 （3）沿內(nèi)的周線積分與路徑無關(guān)。，即對(duì)于內(nèi)任意兩點(diǎn)與，積分值與連接起點(diǎn)與終點(diǎn)的路徑無關(guān)證明：(2)(3)設(shè)與是內(nèi)連接與的兩條曲線，則正方向曲線與負(fù)方向曲線就連接成內(nèi)的一條閉曲線，從而由定理及§的性質(zhì)（）有因此(3)(1)只其起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，因而當(dāng)起點(diǎn)固定時(shí)，對(duì)于一個(gè)，就唯一地確定了一個(gè)積分值，這說明當(dāng)固定時(shí)，積分就定義了內(nèi)的一個(gè)單值函數(shù)，記為(3.5) ，作一個(gè)以為心，以充分小的為半徑的圓，使得，在內(nèi)取動(dòng)點(diǎn)，則由于積分與路徑無關(guān)，因而我們可取的積分路徑為由沿與相同的路徑到，再從沿直線段到（圖.3）圖3.3從而有于是但已知在內(nèi)連續(xù)，所以對(duì)，可取上述的充分小，使得在內(nèi)的一切點(diǎn)均有，從而由定理3.2有即現(xiàn)在看來，定理2的作用不大，我們甚至懷疑能否驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)沿這任何閉曲線的積分為零。在下一