簡單的線性規(guī)劃二

1、線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計方案（二）教學(xué)目標(biāo)鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，能用此來求目標(biāo)函數(shù)的最值重點(diǎn)難點(diǎn)理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)如何擾實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)步驟【新課引入】我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域，在這里開始，教學(xué)又翻開了新的一頁，在今后的學(xué)習(xí)中，我們可以逐步看到它的運(yùn)用【線性規(guī)劃】先討論下面的問題設(shè) ，式中變量x、y滿足下列條件求z的最大值和最小值我們先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中 內(nèi)部且包括邊界點(diǎn)（0，0）不在這個三角形區(qū)域內(nèi)，當(dāng) 時， ，點(diǎn)（0，0）在直線 上作一組和 平等的直線 可知，當(dāng)

2、l在 的右上方時，直線l上的點(diǎn) 滿足 即 ，而且l往右平移時，t隨之增大，在經(jīng)過不等式組表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)A（5，2）的直線l，所對應(yīng)的t最大，以經(jīng)過點(diǎn) 的直線 ，所對應(yīng)的t最小，所以在上述問題中，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件 是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標(biāo)函數(shù)，由于 又是x、y的解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù)，上述問題就是求線性目標(biāo)函數(shù) 在線性約束條件下的最大值和最小值問題線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下

3、的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題，滿足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影( )部分表示的三角形區(qū)域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解【應(yīng)用舉例】例1 解下列線性規(guī)劃問題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件 解：先作出可行域，見圖中 表示的區(qū)域，且求得 作出直線 ，再將直線 平移，當(dāng) 的平行線 過B點(diǎn)時，可使 達(dá)到最小值，當(dāng) 的平行線 過C點(diǎn)時，可使 達(dá)到最大值 通過這個例子講清楚線性規(guī)劃的步驟，即：第一步：在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域；第二步：在可行域內(nèi)

4、找出最優(yōu)解所對應(yīng)的點(diǎn)；第三步：解方程的最優(yōu)解，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值例2 解線性規(guī)劃問題：求 的最大值，使式中的x、y滿足約束條件 解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區(qū)域作出直線 將它平移至點(diǎn)B，顯然，點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解，它使 達(dá)到最大值，解方程組 得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，2） 這個例題可在教師的指導(dǎo)下，由學(xué)生解出在此例中，若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為 ，約束條件不變，則z的最大值在點(diǎn)C（3，6）處取得事實上，可行域內(nèi)最優(yōu)解對應(yīng)的點(diǎn)在何處，與目標(biāo)函數(shù) 所確定的直線 的斜率 有關(guān)就這個例子而言，當(dāng) 的斜率為負(fù)數(shù)時，即 時，若 （直線 的斜率）時，線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值

5、（如本例）；當(dāng) 時，點(diǎn)C處使z取得最大值（比如： 時），若 ，可請同學(xué)思考隨堂練習(xí)1求 的最小值，使式中的 滿足約束條件 2求 的最大值，使式中 滿足約束條件 答案：1 時， 2 時， 總結(jié)提煉1線性規(guī)劃的概念2線性規(guī)劃的問題解法布置作業(yè)1求 的最大值，使式中的 滿足條件 2求 的最小值，使?jié)M足下列條件 答案：1 2在可行域內(nèi)整點(diǎn)中，點(diǎn)（5，2）使z最小， 探究活動利潤的線性規(guī)劃問題某企業(yè)1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據(jù)以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預(yù)2001年企業(yè)的利潤，請問你幫該企業(yè)預(yù)測的利潤是多少萬？分析首先應(yīng)考慮在平面

6、直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后，如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo)，是僅用其中的兩點(diǎn)，還是三點(diǎn)信息( )的綜合運(yùn)用，運(yùn)用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點(diǎn)的直線、平行某個線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測直線等等建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)1997年的利潤為5萬元對應(yīng)的點(diǎn)為 （0，5），1998年的利潤為 7萬元及1999年的利潤為 8萬元分別對應(yīng)點(diǎn) （1，7）和 （2，8），那么若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為13萬元若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測直線

7、，其方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為11萬元若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為10萬元若將過 及線段 的中點(diǎn) 的直線作為預(yù)測直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為11667萬元若將過 及 的重心 （注： 為3年的年平均利潤）的直線作為預(yù)測直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為11667萬元若將過 及 的重心 的直線作為預(yù)測直線 ，其方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為10667萬元若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測直線，則預(yù)測直線 的方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為9萬元若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測直線，則預(yù)測直線 的方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為11.5萬元. 若將過點(diǎn) 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預(yù)測直線，則預(yù)測直線 的方程為； ，這樣預(yù)測2001年的利潤為12萬元若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數(shù)為斜率的直線作為預(yù)測直線，則預(yù)測直線 的方程為： ，這樣預(yù)測2001年的利潤為12萬元如此這樣，還有其他方案，在此不一列舉思考（1）第種方案與第種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？（2）第種方案中， 的現(xiàn)實意義是什么？（3）根據(jù)以上的基本解題思路，請你思考新的方案如方案中，過 的重心 ，找出以 為斜率的