2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國新課標(biāo)Ⅰ卷)數(shù)學(xué)試題(文科)解析版

1、2014 年高招全國課標(biāo) 1 （文科數(shù)學(xué) word 解析版）第I卷一選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1 ）已知集合M Jx -1 :：x : 3?，N Jx-2x : 1，則M n N =（）A.（-2,1）B.（-1,1）C.（1,3）D.（-2,3）【答案】：B【解析】：在數(shù)軸上表示出對應(yīng)的集合，可得 MRN 二（-1,1）,選 B（2 ）若tan 二匸 0，貝 UA.sin 一：0B.cos_：0C.sin 2 二：0D.cos2 一：0【答案】：C【解析】：由 tan:- - 0 可 得:k二：:： -（

2、k Z）,故 2k二：2：2 宓跟（kZ）,正確的結(jié)論只有 sin 2芒0.選 C【解析】：古弓）z=22吟，選B(4)已知雙曲線2x2a2y=1(33-0）的離心率為 2,則a =A. 2B.0C.5D. 1【答案】：D22(3 )設(shè)z11i，則|z| =1 i11-12、3A.B.C.222D. 2【答案】：B【解析】：由雙曲線的離心率可得a3二2，解得a=1，選 D.a(5)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A.f (x)g(x)是偶函數(shù)B.| f(x)| g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.| f (x)g(

3、x) |是奇函數(shù)【答案】：C【解析】：設(shè)F(x)二f (x) g(x)，則F(-x)二f(-x) g(-x),f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，F(xiàn)(-x) - -f (x) g(x) - -F(x),F(x)為奇函數(shù)，選 C.(6)設(shè)D, E, F分別為ABC的三邊BC,CA, AB的中點，則(7)在函數(shù)y =cos|2x|，y =|cosx|，y二cos(2x )，y二tan(2x )中,64最小正周期為二的所有函數(shù)為A. B.C.D.【答案】：A【解析】：由y =cosx是偶函數(shù)可知y =cos2x =cos2x，最小正周期為兀,即正確;,nn即正確；y 二 tan(2x-：)的最小正周

4、期為T =,即不正確. 即正確答案為，選 AEB FC二一1 A.ADB.AD 2【答案】：AT T T T【解析】：EB FC二EC - BC111=AB AC AB AC = AD,選 A.222C.- BC2D.BCFBT T TBC二EC FBy cosx |的最小正周期也是二，即也正確;y =cosl 2x 一6 最小正周期為二8.如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的事一個幾何體的三視圖，則這個幾何體 是( )A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐 D.四棱柱【解析】：根據(jù)所給三視圖易知，對應(yīng)的幾何體是一個橫放著的三棱柱.選 B9執(zhí)行下圖的程序框圖，若輸入的a,b,k分別為 1,2,

5、3，則輸出的M=卜&i 輸入jb飛厶*M=T;2016715A.B.C.D3【答案】：【解析】 ：1輸入a =1,b =2, k =3；n=1時：M=1-2n = 4時:2838M =2,a ,b；n =3時：M332315.選 D.833,a=2,b =223 3 158 15,a ,b =2 8 838輸出M10.已知拋物線二x的焦點為F，Ax。,yo是5C上一點，AFrxo，則X。=（）A. 1 B.C. 4 D.【答案】：A【解析】：根據(jù)拋物線的定義可知AF15=4X0，解之得J 選A.11.設(shè)X，y滿足約束條件x y - a,x-y 1,z = x ay的最小值為（A）-5（

6、C）-5 或 3【答案】：B(B)3(D)5 或-3【解析】：畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示.7,則 a =A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐 D.四棱柱在平面區(qū)域內(nèi)，平移直線xvy=O，可知在點 A 口，a 1處，z 取得最值，I 22 .丿故電11- a _ =7,解之得 a = 一 5 或 a =3.但 a = 一 5 時，z 取得最大值，故舍去，答2 2案為 a =3. 選 B.(12 )已知函數(shù)f(x) =ax3-3x2 1，若f (x)存在唯一的零點xo，且x0.0,則a的取值范圍是(A)2,：心！( B)V( C)：；：2( D)：；：一匚,-1【答案】：C22【解析1】：由已

7、知a式0，f(x)=3ax 6x，令f(x)= 0，得x= 0或x =，a當(dāng)a 0時，x三i ,0 , f (x)0; x 0,2, f (x)：0; x ?,：, f (x)0；Ia丿2 丿且f(0) =10，f(x)有小于零的零點，不符合題意。f2、f 2 )當(dāng)a：0時，x：，,f (x) : 0;x,0 , f (x)0;x0, = ,(x)：0Ia 丿la 丿要使f (x)有唯一的零點x0且x0 0,只需f(2) 0,即a24，a：-2選 Ca【解析 2】：由已知a式0，f (x)=ax33x2+1有唯一的正零點，等價于al1丄x x13有唯一的正零根，令t，則問題又等價于a=t3，3

8、t有唯一的正零根，即y=a與x33y -t3t有唯一的交點且交點在在y 軸右側(cè)，記f(t) - -t3tf (t-3t23，由f (t) =0,t =一1，t：，-1 , f (t)：0;t-1,1 , f (t)0;，t-1, ：, f (t)：0，要使a - -t33t有唯一的正零根，只需a：f (-1) - -2，選 C第 II 卷二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分(13)將 2 本不同的數(shù)學(xué)書和 1 本語文書在書架上隨機排成一行，則 2 本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為_.2【答案】：-3【解析】設(shè)數(shù)學(xué)書為 A，B，語文書為 C,則不同的排法共有(A，B，C)，(A， C， B), (

9、 B, C,A), (B , A, C), (C, A , B), (C, B, A )共 6 種排列方法，其中422 本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有 4 種情況，故所求概率為 P =.63(14)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A、B、C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；由此可判斷乙去過的城市為 _ .【答案】：A【解析】丙說：三人同去過同一個城市，甲說沒去過B 城市，乙說：我沒去過 C 城市三人同去過同一個城市應(yīng)為A,乙至少去過A,若乙再去城市 B,甲去過的城市至多兩 個，不可能比乙多，.可判斷乙去過的城市為A.X“e ,x1,(

10、15)設(shè)函數(shù)f(x)才1_貝y使得f(x)蘭2成立的X的取值范圍是.j/,x汀【答案】：-：,8丨【解析】當(dāng) x：1 時，由ex：2可得 x -1_ln 2，即 x - ln 2 1，故 x : 1;1當(dāng) x 1 時，由 f (x) =x3_2 可得 x _8，故 1 - x _8，綜上可得 x - 8(16)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角.MAN =60，C點的仰角 CAB =45以及.MAC =75;從C點測得NMCA=60：已知山高BC =100m，則山高MN =_m.3/【答案】：150【解析】在直角三角形 ABC 中，由條件可得 AC

11、=100、2，在 MAC 中，由正弦定理可得JAM-AC-，故AMsin 600sin(1806075)中，MN = AMLSi n6O0=150.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟(17) (本小題滿分 12 分)已知；.aj 是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2- 5x 6 = 0的根。(I)求冷鳥的通項公式;、1公差為d,，則a4-a2=2d，故 d=，從而2A所以廟的通項公式為：命工16分aa n亠2才的前n項和為Sn,由(：)知打尹企=3+丄+川 I2 6 4 23242n 1n +4所以&=2 -牙 12 分(18) (本小題滿分 12 分)從某企業(yè)生產(chǎn)的

12、某種產(chǎn)品中抽取100 件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)頻數(shù)62638228=10 3,在直角 MAN(II)求數(shù)列勒的前n項和2n【解析】：(I )方程x2-5x 6 = 0的兩根為 2,3,由題意得a2= 2，a4= 3，設(shè)數(shù)列Ian的(n)設(shè)求數(shù)列則:Sn手令舟即 2fSn=|3 頭22* an 1 n 2尹尹兩式相減得12* -1(I)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:（II）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值 作代表）；（III） 根

13、據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于 95 的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的 80% ”的規(guī)定？【解析】:（I）.4 分(II )質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為x=80 0.06 90 0.26 100 0.38 110 0.22 120 0.08 =100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(20$漢0.06 + (10(漢0.26 + 0漢0.38+(10丫漢0.22 + (20).0.08 = 10410 分（川）質(zhì)量指標(biāo)值不低于 95 的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于 0.8,故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品“質(zhì)量指標(biāo)值不低于

14、95 的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品 80%的規(guī)定.12 分19(本題滿分 12 分)如圖，三棱柱ABC - ABC中，側(cè)面BBiGC為菱形，BQ的中點為 O，且 AO _平面BB1C1C.(I)證明：BQ _ AB；(II)若AC _ AB1,. CBB1=60 ,BC =1,求三棱柱ABC - AEG的高.【解析】：(I)連結(jié)BC1，則 O 為BC1與B1C的交點，因為側(cè)面BB1C1C為菱形，所以RC _ BC1EC _AOBQ_平面ABO，由于AB平面ABO，故RC _ AB.6 分(II )作ODLBC,垂足為D,連結(jié)AD,作OHLAD,垂足為H, 由于 BCLAO,BCLOD,故 BC 丄平

15、面 AOD 所以 OHLBC.又 OH! AD,所以 OHL 平面 ABC.因為NCBB1=60：廉以詐CBB1為等邊三角形，又BC=1,可得 OD 二，由于AC*，所以4由 OH AD=OD OA,且AD = OD2OA2.721G，得 f又 O 為 B1C 的中點，所以點 B1到平面 ABC 的距離為，故三棱柱 ABC-A1B1C1的高為7 217.12分20.(本小題滿分 12 分)已知點P(2,2)，圓C：x2 y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點，線段AB值小于 0.8,故不能認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95 的產(chǎn)品至少要占全部的中點為M,0為坐標(biāo)原點(

16、I)求M的軌跡方程；(II )當(dāng)OP =0M時，求I的方程及APOM的面積2 2【解析】：(I )圓。的方程可化為X y-4=16,所以圓心為 c(0,4),半徑為 4.21 ( 12 分)1 a2設(shè)函數(shù)f x =alnxx -bx a = 1，曲線y = f x 在點 1, f 1處的切線斜率為 0(I)求 b;a(II)若存在x0-1,使得f xo，求 a 的取值范圍。a1a【解析】：(I)f (x) = - (1 -a)x -b ,由題設(shè)知f (1) = 0,解得 b=1.4 分x(n) f (x)的定義域為(0,：),由(I)知，f (x) = aln x 廠 x2- x,f (x)二

17、-(1 _a)x T 二1- I x x -1xx I 1-a 丿(i)若 a，則-1,故當(dāng) x (1, 時，f (x)0 , f (x)在(1,上單調(diào)遞增.21 -a設(shè) M(x,y), 則CM =(x, y -4)MP=(2 _x,2_y)，,由題設(shè)知CMJMP=0,故2 2x 2 _x j亠I y _4 2y ; = 0，即x i亠i y _3 =22 2由于點 P 在圓 C 的內(nèi)部，所以 M 的軌跡方程是X-1 y-32.6 分(n)由(I)可知 M 的軌跡是以點 N(1,3)為圓心，2 為 半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故 O&線段 PM 勺垂直平分線上，又 P 在圓 N

18、上,從而 ON! PM.因為 ON 的斜率為 3,所以I的斜率為-1,直線|的方程3為:y833又OM =OP|=2V2,O到I的距離為口0,5PM所以POM的面積為:16512 分aa1 aa所以，存在x0_1,使得f(x0)的充要條件為f，即1 :-1 -a1-a 21-a所以2 -1 : a :：: -.2 -1;1,故當(dāng)x(1,旦)時，f (x) 0 , x (旦，：)1-a1-a時，f(x).0,f(x)在(1,旦)上單調(diào)遞減，f(x )在 ，:：單調(diào)遞增1-a1-a所以，存在x0_1，使得f(x0)的充要條件為f()，而1-a1 a1 a2f( )=alna aa，所以不和題意1-

19、a 1-a21-a1-a1 - a綜上，a 的取值范圍為： - ,2-1/. 2-. 1,:請考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，解答時請寫清題號(22)(本小題滿分 10 分)選修 4-1,幾何證明選講如圖，四邊形ABCD是L O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線 與DC的延長線交于點E，且CB =CE(I)證明：D =E;(II )設(shè)AD不是L O的直徑，AD的中點為M，且MB MC證明：AABC為等邊三角形【解析】：(I)由題設(shè)知得 A、B、C、D 四點共圓，所以-D= CBE，由已知得， CBE= E ,所以.D !. 5 分(n)設(shè) BCN 中點為，連接 MN,則由 MB= I 忙.知 MN 丄|児 所以 O 在MN 上，又 AD 不是 O 的直徑，M 為 AD 中點，故OM 丄 AD，即 MN 丄 AD，所以 AD/BC,故 A= CBE，又 CBE= E，故 A= L由(I) (1 )知 D= E，所以 A