用曲線積分求旋轉曲面的面積

1、http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 1蜀南竹海http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 2 作為定積分的幾何應用，旋轉曲面作為定積分的幾何應用，旋轉曲面的面積一般是用定積分來計算。的面積一般是用定積分來計算。 本課件用對弧長的曲線積分來建立本課件用對弧長的曲線積分來建立求旋轉曲面的面積的公式。求旋轉曲面的面積的公式。 將曲線積分化為定積分可以得到計將曲線積分化為定積分可以得到計算旋轉曲面面積的定積分公式。算旋轉曲面面積的定積分公式。http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小

2、湛6.2 定積分的幾何應用 3先看特殊的情形先看特殊的情形旋轉軸為坐標軸旋轉軸為坐標軸http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 4 設設L是上半平面內的一條平面曲線。是上半平面內的一條平面曲線。 將將L繞繞x軸軸旋轉一周得一旋轉曲面，求該旋轉一周得一旋轉曲面，求該旋轉曲面的面積旋轉曲面的面積Ax。 我們用元素法來建立旋轉曲面面積的我們用元素法來建立旋轉曲面面積的曲線積分公式。曲線積分公式。Lhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 5ds( , )x yL在曲線在曲線L的的(x,y)處取一弧微分處取

3、一弧微分 ds它到它到x軸的距離是軸的距離是 y （如圖）。（如圖）。該弧微分繞該弧微分繞x軸軸旋轉而成的旋轉曲面的面積約為：旋轉而成的旋轉曲面的面積約為：2xdAsdy（面積元素）（面積元素）于是整個曲線繞于是整個曲線繞x軸軸旋轉而旋轉而成的旋轉曲面的面積為：成的旋轉曲面的面積為：2xxLLAsdAdyyhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 6命題命題1：上半平面內一條曲線：上半平面內一條曲線L繞繞x軸軸旋轉旋轉而成的旋轉曲面的面積為：而成的旋轉曲面的面積為：2xLy sAdds( , )x yyLhttp:/ June 30, 2012四

4、川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 7命題命題2：右半平面內一條曲線：右半平面內一條曲線L繞繞y軸軸旋轉而旋轉而成的旋轉曲面的面積為：成的旋轉曲面的面積為：同理同理x2yLx sAdds( , )x yLhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 8下面針對不同的曲線方程下面針對不同的曲線方程將曲線積分化為定積分將曲線積分化為定積分得到熟悉的旋轉曲面的面積公式得到熟悉的旋轉曲面的面積公式http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 9直角坐標方程直角坐標方程http:/ June 30, 20

5、12四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 10:( ) ()L yy xaxbxy=f(x)bLa如果如果2( ) 1 )2(2bxaLyy xdsy xdxAL繞繞 x軸軸旋轉的旋轉曲面的面積為：旋轉的旋轉曲面的面積為：21 ( )ysxdxd 則21 ( )(2)bxaAy xxy xdhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 11:( ) ()L yy xaxbxy=f(x)bLa如果如果21 ( )22byaLxxdsydxAxL繞繞 y軸軸旋轉的旋轉曲面的面積為：旋轉的旋轉曲面的面積為：21 ( )ysxdxd 則21 (

6、)2byay xdxAxyhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 12參數(shù)方程參數(shù)方程http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 13:( ),( ) ()L xx tyy tatb L如果如果22 ( )( )( )22byaLdsx ty tdtyAytL繞繞 x軸軸旋轉的旋轉曲面的面積為：旋轉的旋轉曲面的面積為：22 ( )( )x tytddst則22 ( )( )2( )bxax tyy tAtdtyxhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用

7、 14:( ),( ) ()L xx tyy tatb xL如果如果22 ( )( )( )22byaLdsx ty tdtxAxt則則L繞繞 y軸軸旋轉的旋轉曲面的面積為：旋轉的旋轉曲面的面積為：22 ( )( )x tytddst則22 ( )( )2( )byax tyx tAtdtyhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 15極坐標方程極坐標方程http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 16:( ) ()L ( ) 如果如果22( )( )sin22xLdyAds L繞繞 x軸軸旋轉的旋轉

8、曲面的面積為：旋轉的旋轉曲面的面積為：22 ( )( )dsd 則x22 ( )( )sin( )2xAd http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 17我們來推導一個有關曲線我們來推導一個有關曲線L的的形心形心(質心質心)和和旋轉曲面面積旋轉曲面面積之間的關系的定理：之間的關系的定理：古爾丁定理古爾丁定理Paul Guldin（古爾丁）（古爾?。?577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity. http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學

9、院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 18( , )x yL上半平面內一條上半平面內一條曲線曲線L繞繞x軸旋轉而成的旋轉軸旋轉而成的旋轉曲面的面積曲面的面積等于等于該曲線的該曲線的形心形心所經過的路程所經過的路程與與L的弧長的弧長s的乘積的乘積。12xLydAs證 由命題 y古爾丁定理古爾丁定理2Lsyd12Lssdsy 2sy 形心形心http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 19如果你很容易求得曲線如果你很容易求得曲線L的弧長和形心，用古的弧長和形心，用古爾丁定理就很容求得旋轉曲面的面積。爾丁定理就很容求得旋轉曲面的面積。( , )x yLy形

10、心形心http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 20下面來看一般的情形下面來看一般的情形一般的曲線一般的曲線&一般的旋轉軸一般的旋轉軸http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 21 設設L是是xOy坐標平面內的一條曲線。坐標平面內的一條曲線。L在在直線直線 l 的一側（如圖）的一側（如圖） 。 將將L繞直線繞直線 l 旋轉一周得一旋轉曲面，旋轉一周得一旋轉曲面，求該旋轉曲面的面積求該旋轉曲面的面積A。 我們用元素法來建立旋轉曲面面積的我們用元素法來建立旋轉曲面面積的曲線積分公式。曲線積分公式

11、。Llhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 22ds( , )x yL在曲線在曲線L的的(x,y)處取一弧微分處取一弧微分ds它到直線它到直線 l 的距離是的距離是 ：該弧微分繞該弧微分繞 l 旋轉而成的旋轉曲面的面積約為：旋轉而成的旋轉曲面的面積約為：2dAsdd于是整個曲線于是整個曲線L繞直線繞直線 l 旋轉旋轉而成的旋轉曲面的面積為：而成的旋轉曲面的面積為：2LLAddAdsd設直線設直線 l 的方程為的方程為 ax+by+c=0。22axbycdablhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何

12、應用 23222LAaxbysadcb命題命題3 曲線曲線L繞直線繞直線 ax+by+c=0旋轉而成的旋轉而成的旋轉曲面的面積為：旋轉曲面的面積為：ds( , )x yLdlhttp:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 24下面舉幾個例子來說明下面舉幾個例子來說明命題中的公式的應用命題中的公式的應用由于其中積分較難由于其中積分較難計算用數(shù)學軟件計算用數(shù)學軟件Maple完成完成http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 25例例1 求曲線求曲線y=x2(0 xx2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b

13、:=2:(2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);255d02()2 xx214 x2x255 37174816364( )ln 2164ln121788.5542306168.5542

14、30612http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 26例例2 求求y=x2 (0 xx2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);D12yx2 d01() x2x114 x2x2 1532( )ln 2355961564ln12541125.4954841665.495484162http:/ June 30, 2012四川大學數(shù)學學院 徐小湛6.2 定積分的幾何應用 27例例3