（精心整理）高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題專題學(xué)案(含答案)

1、 第 講 導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題 時間： 年 月 日 劉滿江老師 學(xué)生簽名： 一、 興趣導(dǎo)入 二、 學(xué)前測試§1. 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率 ，相應(yīng)的切線方程是 .§2.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)= ； ； ； ； ； ； ； §3.導(dǎo)數(shù)的運算法則（1） . （2） . （3） .§4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積.解題步驟:分層層層求導(dǎo)作積還原.§5.函數(shù)的極值 (1)極值定義：極值是在附近所有的點，都有，則是函數(shù)的極 值； 極值是在附近所有的點，都有

2、，則是函數(shù)的極 值.(2)判別方法：如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極 值；如果在附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極 值.三、 方法培養(yǎng)一、單參數(shù)放在不等式上型：【例題1】設(shè)函數(shù)若對所有都有，求的取值范圍解：令，則，（1）若，當(dāng)時，故在上為增函數(shù)，時，即（2）若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)時，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是說明：上述方法是不等式放縮法【針對練習(xí)1】設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的取值范圍解：【例題2】設(shè)函數(shù)在及時取得極值（1）求、的值；（2）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍解：（1），函數(shù)在及取得極值，則有，即，解得，（2）由（1）可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)

3、時，當(dāng)時，取得極大值，又，則當(dāng)時，的最大值為對于任意的，有恒成立，解得或，因此的取值范圍為最值法總結(jié)：區(qū)間給定情況下，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值【針對練習(xí)2】已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù)（1）試確定、的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍解：【針對練習(xí)3】已知函數(shù)，其中若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍解：【例題3】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對任意的都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值解：（1）函數(shù)的定義域是，設(shè)則，令，則當(dāng)時，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在上為減函數(shù)在處取得極大值，而，函數(shù)在上為減函數(shù)于是當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，在上為增

4、函數(shù)當(dāng)時，在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）不等式等價于不等式，由知，設(shè)，則由（1）知，即，于是在上為減函數(shù)故函數(shù)在上的最小值為a的最大值為小結(jié)：解決此類問題用的是恒成立問題的變量分離的方法，此類方法的解題步驟是：分離變量；構(gòu)造函數(shù)（非變量一方）；對所構(gòu)造的函數(shù)求最值（一般需要求導(dǎo)數(shù),有時還需求兩次導(dǎo)數(shù)）；寫出變量的取值范圍【針對練習(xí)4】已知，若，求的取值范圍解：【針對練習(xí)5】若對所有的都有成立，求實數(shù)的取值范圍解：二、單參數(shù)放在區(qū)間上型：【例題4】已知三次函數(shù)圖象上點處的切線經(jīng)過點，并且在處有極值（1）求的解析式；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1），于是過點

5、處的切線為，又切線經(jīng)過點，在處有極值，又，由解得：，（2），由得，當(dāng)時，單調(diào)遞增，；當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，在內(nèi)不恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，在內(nèi)恒成立，的取值范圍為【針對練習(xí)6】（07陜西文）已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)，又（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍解：三、雙參數(shù)中知道其中一個參數(shù)的范圍型：【例題5】已知函數(shù)，其中，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍解：（1）當(dāng)時，顯然這時在，上內(nèi)是增函數(shù)當(dāng)時，令，解得當(dāng)變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)（2）法一：化歸為最值由（2）知，在上的最大值

6、為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對成立從而得，滿足條件的的取值范圍是法二：變量分離，即令，在上遞減，最小值為，從而得，滿足條件的的取值范圍是或用，即，進一步分離變量得，利用導(dǎo)數(shù)可以得到在時取得最小值，從而得，滿足條件的的取值范圍是法三：變更主元在上恒成立，即，在遞增，即的最大值為以下同上法說明：本題是在對于任意的，在上恒成立相當(dāng)于兩次恒成立，這樣的題，往往先保證一個恒成立，在此基礎(chǔ)上，再保證另一個恒成立4、 強化練習(xí)（A）1、已知函數(shù)對任意恒成立，試求m的取值范圍。五、訓(xùn)練輔導(dǎo)雙參數(shù)中的范圍均未知型：【例題7】（10湖南理）已知函數(shù)，對任意的，恒有（1）證明：當(dāng)時，；

7、（2）若對滿足題設(shè)條件的任意，不等式恒成立，求的最小值解：（1）易知由題設(shè)，對任意的，即恒成立，從而于是，且，因此故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，（2）由（1）知，當(dāng)時，有令，則，而函數(shù)的值域是因此，當(dāng)時，的取值集合為當(dāng)時，由（1）知，此時或，從而恒成立綜上所述，的最小值為【針對練習(xí)8】若圖象上斜率為3的兩切線間的距離為，設(shè)（1）若函數(shù)在處有極值，求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實數(shù)的取值范圍解：六、家庭作業(yè)布置： 家長簽字：_ （請您先檢查確認(rèn)孩子的作業(yè)完成后再簽字）附件：堂堂清落地訓(xùn)練 （堅持堂堂清，學(xué)習(xí)很爽心） 1. 雙參數(shù)中的絕對值存在型：1設(shè)是函數(shù)的一個極值點（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍解：（1），由，得，即得，則令，得或，由于是極值點，即當(dāng)時，則在區(qū)間上，為減函數(shù)；在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)當(dāng)時，則在區(qū)間上，為減函數(shù)；在區(qū)間上，為增函數(shù)；在區(qū)間上，為減函數(shù)（2）由（1）知，當(dāng)時