材料力學第六章 彎曲變形

1、6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程6-3 6-3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形6-6 6-6 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施6-1 6-1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題一、為何要研究彎曲變形一、為何要研究彎曲變形zWM僅保證構件不會發(fā)生破壞，僅保證構件不會發(fā)生破壞，但如果構件的變形太大也不能正常工作。但如果構件的變形太大也不能正常工作。1、構件的變形限制在允許的范圍內(nèi)。、構件的變形限制在允許的范圍內(nèi)。車削加工一等截面構件，車削加工一等截面構件，如果構件

2、的的變形過大，如果構件的的變形過大， 會加工成變截面；會加工成變截面；案例案例1：如果鉆床的變形過大，如果鉆床的變形過大，受工件的反力作用；受工件的反力作用；搖臂鉆床簡化為剛架，搖臂鉆床簡化為剛架，不能準確定位。不能準確定位。案例案例2：車間桁吊大梁的變形車間桁吊大梁的變形車間桁吊大梁的過大變形車間桁吊大梁的過大變形會使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；會使梁上小車行走困難，造成爬坡現(xiàn)象；還會引起較嚴重的振動；還會引起較嚴重的振動；案例案例3：、工程有時利用彎曲變形達到某種要求。、工程有時利用彎曲變形達到某種要求。汽車板簧應有較大的彎曲變形汽車板簧應有較大的彎曲變形,才能更好的起到緩和減振的作用

3、；才能更好的起到緩和減振的作用；案例案例1：二、彎曲變形的物理量二、彎曲變形的物理量EAlFlNPIGlT扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)： F FF F拉伸拉伸彎曲變形的物理量如何？彎曲變形的物理量如何？抗變形剛度抗變形剛度桿件長度桿件長度內(nèi)力內(nèi)力1 1、撓曲線、撓曲線x2 2、撓度、撓度 向上為正向上為正3 3、轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)角逆時針為正逆時針為正截面形心在力的方向的位移截面形心在力的方向的位移截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度彎曲變形的物理量彎曲變形的物理量撓度撓度 彎曲變形的物理量彎曲變形的物理量轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角+6-2 6-2 撓曲線的微分方程撓曲線的微分方程2 2、撓曲線方程：、撓曲線方程：)(xfyxx1

4、、建立坐標系、建立坐標系Xoy平面平面 就是梁的縱向?qū)ΨQ面；就是梁的縱向?qū)ΨQ面；在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xoy面內(nèi)面內(nèi)的一條平面曲線；的一條平面曲線；該曲線方程為該曲線方程為 ：3 3、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義、撓度、轉(zhuǎn)角物理意義yxx：撓度的物理意義：撓度的物理意義：撓曲線在該點處的縱坐標；撓曲線在該點處的縱坐標；ytg：轉(zhuǎn)角的物理意義：轉(zhuǎn)角的物理意義過撓曲線上點作撓曲線的切線過撓曲線上點作撓曲線的切線 該切線與水平線的夾角為該切線與水平線的夾角為撓曲線在該點處的切線斜率；撓曲線在該點處的切線斜率；撓曲線方程在該點處的一階導數(shù)；撓曲線方程在該

5、點處的一階導數(shù)；轉(zhuǎn)角的正方向：轉(zhuǎn)角的正方向： 從從x x軸正向向切線旋轉(zhuǎn)，逆時針轉(zhuǎn)動為正。軸正向向切線旋轉(zhuǎn)，逆時針轉(zhuǎn)動為正。4 4、撓曲線微分方程、撓曲線微分方程中性層處曲率中性層處曲率:EIxM)(1 yx)(xfy 232)(1)( 1xyxy對于對于曲線曲線 y=f(x) 在任一點處曲率在任一點處曲率 （瑞士科學家（瑞士科學家Jacobi.Jacobi.貝努利得到）貝努利得到） 正好為正好為xoy平面內(nèi)的一條曲線，平面內(nèi)的一條曲線，平面彎曲的撓曲線平面彎曲的撓曲線所以曲線所以曲線y=f(x)y=f(x)： 從數(shù)學上講從數(shù)學上講 是一條普通的平面曲線，是一條普通的平面曲線，從力學上講從力學

6、上講 就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。zEIxMxyxy)()(1)( 232瑞士科學家瑞士科學家Jacbi.Jacbi.貝努利得到梁的撓曲線微分方程；貝努利得到梁的撓曲線微分方程；撓曲線微分方程撓曲線微分方程EIxM)(1232)(1)( 1xyxyzEIxMxx)()(1)(232 由于沒有采用曲率的簡化式，由于沒有采用曲率的簡化式，且彈性模量且彈性模量E無定量結果，無定量結果，撓曲線微分方程撓曲線微分方程故撓曲線微分方程沒有得到廣泛應用。故撓曲線微分方程沒有得到廣泛應用。該撓曲線微分方程是該撓曲線微分方程是適用于彎曲變形的任何情況。適用于彎曲變形的任何情況。非線性

7、的，非線性的，5 5、撓曲線、撓曲線近似近似微分方程微分方程0)()(xx1)(12x在在小變形小變形的條件下，的條件下，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，較小，較小，轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角EIxM)( 故得撓曲線近似微分方程：故得撓曲線近似微分方程：zEIxMxx)()(1)(232 符號規(guī)定：符號規(guī)定：MM022dxd0MzEIxM)( 撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程022dxd0M撓曲線為凹曲線撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線撓曲線為凸曲線y 彎矩彎矩M與二階導數(shù)與二階導數(shù)符號一致。符號一致。適用范圍：適用范圍：xxMM小變形。小變形。zEIxMdxd)(22撓曲線的近似微分方

8、程撓曲線的近似微分方程積分一次：積分一次：CdxEIxMdxdz)(轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程積分二次：積分二次：DCxdxdxEIxMz )(撓曲線方程撓曲線方程C C、D D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定。6-3 6-3 積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形懸臂梁：懸臂梁：x梁的邊界條件梁的邊界條件:0 xL00簡支梁：簡支梁：xL:0 x:Lx 梁的邊界條件梁的邊界條件00連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：右左CC右右左左CCCPABaLx:0 x0:Lx 0邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件:ax :ax連續(xù)性條件：連續(xù)性條件：ABLaCMx右右左左CC右右左左CC特別強調(diào)特

9、別強調(diào)在中間鉸兩側轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。在中間鉸兩側轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。例例1 1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xkCPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx kFBy邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件:ax 例例2 2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL右左CC右右左左CC:0 x0:Lx EAhFBy邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件:ax （1 1）凡彎矩方程分段處，應作為分段點；）凡彎矩方程分段處，應作為分段點；（2 2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應作為分段點；）凡截面有變化處，或

10、材料有變化處，應作為分段點；（3 3）中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩）中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩 部分之間的相互作用力，故應作為分段點；部分之間的相互作用力，故應作為分段點；ABLaCM（4 4）凡分段點處應列出連續(xù)條件；）凡分段點處應列出連續(xù)條件； :0 x:ax0lax根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角；定的撓度和轉(zhuǎn)角；ABLaCM0 0 右右左左CC在中間鉸兩側轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。在中間鉸兩側轉(zhuǎn)角不同，但撓度卻是唯一的。邊界條件邊界條件連續(xù)性條件連續(xù)性條件A例例1懸臂梁受力如圖

11、所示。求懸臂梁受力如圖所示。求 和和 。Axx取參考坐標系取參考坐標系1、列寫彎矩方程、列寫彎矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入撓曲線近似微分方程中、代入撓曲線近似微分方程中 zEIxM)(221 qxEI積分一次：積分一次：CqxEIEI361積分二次：積分二次：DCxqxEI4241轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程撓曲線方程AqBL3、確定常數(shù)、確定常數(shù)C、D.邊界條件：邊界條件：:Lx361qLC0481qLD)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEICqxEIEI361DCxqxEI4241AqBL0EIqLA630 xEIqLA84AqBL)6161(1

12、33qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEI4、計算、計算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角截面的撓度和轉(zhuǎn)角A截面處截面處CFABaLx例例2 一簡支梁受力如一簡支梁受力如圖所示。試求圖所示。試求 和和 。)(),(xwxA1、求支座反力、求支座反力,LFbFAyLFaFByByFAyF2、分段列出梁的彎矩方程、分段列出梁的彎矩方程b,)(1xLFbxFxMA)(LxaBC段段)0 (axAC段段),()(2axFxLFbxMxx,1xLFbEI ),(2axFxLFbEI 3、代入各自的撓曲線近似微分方程中、代入各自的撓曲線近似微分方程中,)(1xLFbxM),()(2axFxLFbxM4、各自

13、積分、各自積分12112CxLFbEIEI22222)(22CaxFxLFbEIEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI5、確定積分常數(shù)、確定積分常數(shù)邊界條件：邊界條件：0 xLx 連續(xù)條件：連續(xù)條件：21ax)(6221bLLFbC,2C021 DDFaLx0102211212CxLFbEI2222)(22CaxFxLFbEI11316DxCxLFbEI22332)(66DxCaxFxLFbEI),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(6)(2231xbLxLEIFbxy,2)()(36)(22222axFbLxLE

14、IFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbxy7、求轉(zhuǎn)角、求轉(zhuǎn)角0 xLEIbLFbxA6)(2201LxLEIaLFabLxB6)(26、撓曲線方程、撓曲線方程8、求、求 。max0dxd由由求得求得 的位置值的位置值x。max, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)(36)(2221bLxLEIFbx322bLx)(1xy代入代入 得：得：EIbLFb39)(2322max2Lba若若 則：則：EIFLLx4832maxmax6-4 6-4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形 在在小變形小變形，是線性的；是線性的； 材料材料

15、服從胡克定律服從胡克定律的情況下，的情況下，)()(xMxEI 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程彎矩彎矩)(xM與載荷之間的關系與載荷之間的關系對應于幾種不同的載荷，對應于幾種不同的載荷，是線性的；是線性的；彎矩可以疊加，彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加。近似微分方程的解也可以疊加。計算彎矩時，使用變形前的位置計算彎矩時，使用變形前的位置FFMEI qqMEI MEI qFMMxM)(設彎矩設彎矩 MqFqFMMEIEI )( qFEI)(qFEI qF撓曲線撓曲線分別滿足各自的近似微分方程分別滿足各自的近似微分方程將兩個微分方程疊加將兩個微分方程疊加M分別計算出每一載荷單獨引

16、起的變形，分別計算出每一載荷單獨引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形疊加原理。疊加原理?？偟慕莆⒎址匠蹋嚎偟慕莆⒎址匠蹋?( qFEI證明證明 二、二、疊加原理僅適用于疊加原理僅適用于線性函數(shù)，線性函數(shù)，要求撓度、轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)。要求撓度、轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)。(1)、彎矩與載荷成線性關系、彎矩與載荷成線性關系;梁發(fā)生梁發(fā)生小變形小變形，忽略忽略各載荷引起梁的各載荷引起梁的水平位移水平位移；梁處于梁處于線彈性線彈性范圍內(nèi)，滿足虎克定律；范圍內(nèi)，滿足虎克定律； (2)、曲率、曲率1與彎矩成線性關系與彎矩成線性關系; 221

17、dxd0 . 112 1(3)、撓曲線二階導數(shù)、撓曲線二階導數(shù)與與成線性關系成線性關系;即梁處于小變形條件下即梁處于小變形條件下;幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，等于每種載荷單獨作用下引起的同一截面撓等于每種載荷單獨作用下引起的同一截面撓度、轉(zhuǎn)角的向量和。度、轉(zhuǎn)角的向量和。例例1 1 ：q、l、 EI，求求：yC , B C , B1、載荷分解、載荷分解,2431EIqlBEIqlC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(322查表：單獨載荷作用下查表：單獨載

18、荷作用下321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql3841143、變形疊加、變形疊加例例2 2 wwwwww,631EIqlCEIqlC841w,6)2(32EIlqB2222lBBCEIlq8)2(422lB2cw21CCCEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874 將將梁的撓曲線分成幾段梁的撓曲線分成幾段;首先分別計算各段梁的變形在首先分別計算各段梁的變形在需求位移處需求位移處引起的位引起的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）移（撓

19、度和轉(zhuǎn)角）;然后計算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。然后計算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時，在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。例例3 3 ：ABalFC1）考慮）考慮AB段變形引起的截面的撓度段變形引起的截面的撓度(BC段看作剛體段看作剛體)外力向研究的段上簡化外力向研究的段上簡化ABalCFFaF F：作用在支座上，不產(chǎn)生變形。作用在支座上，不產(chǎn)生變形。FaFa：使使ABAB梁產(chǎn)生變形。梁產(chǎn)生變形。BEIlFaB3)(1Ca

20、BC1aEIlFa3)()(32EIlFaABalCFFaFa引起梁的變形形狀為引起梁的變形形狀為段上凸；段上凸；2）考慮）考慮BC段變形引起段變形引起C截面的撓度截面的撓度a2Cw)(332EIFawC21CCC)(3332EIFaEIlFaABalFCAB段看作剛體段看作剛體FBCC截面的總撓度截面的總撓度討論討論彎曲變形的剛度條件：彎曲變形的剛度條件：,maxmax許用撓度，許用撓度， 許用轉(zhuǎn)角許用轉(zhuǎn)角工程中，工程中， 常用梁的計算跨度常用梁的計算跨度l 的若干分之一表示。的若干分之一表示。對于橋式起重機梁：對于橋式起重機梁：750500ll對于一般用途的軸：對于一般用途的軸：10000

21、5100003ll在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：rad001.01、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角PqLP2P1qLL2、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角、求自由端的撓度與轉(zhuǎn)角3 3、求簡支梁中點的撓度、求簡支梁中點的撓度qL/2C4 4、圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的、圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為彈性模量為E E，求自由端，求自由端C C端的撓度。端的撓度。PI1 L1I2 L2ABC6-6 6-6 提高梁剛度的措施提高梁剛度的措施zEIxM)( )(xM E zI一、改善結構、減少彎矩一、改善結構、減少彎矩、合理安排

22、支座；、合理安排支座；、合理安排受力；、合理安排受力；、集中力分散；、集中力分散；、 一般與跨度有關，一般與跨度有關，、增加約束：、增加約束：3l成正比，成正比，與與故可減小跨度；故可減小跨度；尾頂針、跟刀架或尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；加裝中間支架；較長的傳動軸采用三較長的傳動軸采用三支撐；支撐；橋梁增加橋墩。橋梁增加橋墩。、增加約束：、增加約束：采用超靜定結構采用超靜定結構采用超靜定結構采用超靜定結構改變支座形式改變支座形式FF改變載荷類型改變載荷類型q=F/LFzI二、選擇合理的截面形狀二、選擇合理的截面形狀A幾乎不變，大部分分布在遠離中性軸處，幾乎不變，大部分分布在遠離中性軸處， 工

23、字形、槽鋼等；工字形、槽鋼等；起重機大梁常采工字形或箱形截面；起重機大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜采用高強度鋼四、不宜采用高強度鋼;三、加強肋三、加強肋盒蓋、集裝箱；盒蓋、集裝箱；各種鋼材大致相同。各種鋼材大致相同。1、y=M(x)/EI在在 條件下成立？條件下成立？A：小變形；：小變形； B：材料服從虎克定律；：材料服從虎克定律；C：撓曲線在：撓曲線在XOY面內(nèi)；面內(nèi)； D：同時滿足：同時滿足A、B、C；2、等直梁在彎曲變形時，撓曲線曲率在最大、等直梁在彎曲變形時，撓曲線曲率在最大 處一定最大。處一定最大。A：撓度：撓度 B：轉(zhuǎn)角；：轉(zhuǎn)角； C：彎矩；：彎矩；3、在簡支梁中、在簡支梁中

24、，對于減少彎曲變形效果最明顯。，對于減少彎曲變形效果最明顯。A：減小集中力：減小集中力P；B：增加梁的跨度；：增加梁的跨度；C：采用優(yōu)質(zhì)鋼；：采用優(yōu)質(zhì)鋼； D：提高截面的慣性矩：提高截面的慣性矩L/2P4、板條彎成、板條彎成1/4圓，設梁始終處于線彈性范圍內(nèi)：圓，設梁始終處于線彈性范圍內(nèi)：=My/IZ,y=M(x)/EIZ 哪一個會得到正確的計算結果？哪一個會得到正確的計算結果？A：正確、正確；：正確、正確；B：正確、錯誤；：正確、錯誤；C：錯誤、正確；：錯誤、正確；D：錯誤、錯誤；：錯誤、錯誤；5 5、使梁變形后與剛性曲面重合，但不產(chǎn)生壓、使梁變形后與剛性曲面重合，但不產(chǎn)生壓應力，應如何施加外載？應力，應如何施加外載？R6、圓軸采用普通碳鋼制成，使用中發(fā)現(xiàn)彎曲剛度不夠，、圓軸采用普通碳鋼制成，使用中發(fā)現(xiàn)彎曲剛度不夠，提高軸的抗彎剛度的有效措施是：提高軸的抗彎剛度的有效措施是： 。A：熱處理；：熱處理； B：選用優(yōu)質(zhì)合金鋼；：選用優(yōu)質(zhì)合金鋼； C；增大直徑；增大直徑； D：提高表面光潔度；：提高表面