第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了數(shù)字特征就夠了.在這些數(shù)字特征中，最常用的是在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)方差、協(xié)方差和相

2、關(guān)系數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 1、概念的引入：、概念的引入：我們來(lái)看一個(gè)引例我們來(lái)看一個(gè)引例. 例例1 某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察. 車(chē)工車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. 如何定如何定義義X的平均值呢？的平均值呢？n0天沒(méi)有出廢品天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為天中每天的平均廢品數(shù)為(假定

3、小張每天至多出假定小張每天至多出三件廢品三件廢品) 若統(tǒng)計(jì)若統(tǒng)計(jì)n天天 ,這是這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均以頻率為權(quán)的加權(quán)平均nnnnnnnn32103210 當(dāng)當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用的平均值時(shí)，用概率代替概率代替頻率頻率，得平均值為，得平均值為32103210pppp這是這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù)這樣得到一個(gè)確定的數(shù). 我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量量X 的平均值的平均值 .定義定義1 設(shè)設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是是離散型隨機(jī)變量，它的分布律是: P

4、X=xk=pk , k=1,2,請(qǐng)注意請(qǐng)注意 :離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望，又稱(chēng)為均值。斂的級(jí)數(shù)的和。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望，又稱(chēng)為均值。1)(kkkpxXE若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1kkkpx絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) 1kkkpx)(XE即的和為的和為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望，記為，記為 ,例例1,21XX所得分?jǐn)?shù)分別記為所得分?jǐn)?shù)分別記為甲、乙二人進(jìn)行打靶，甲、乙二人進(jìn)行打靶，它它們們的的分分布布律律分分別別為為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp12XX解解：我我

5、們們來(lái)來(lái)算算和和的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望，分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE問(wèn)誰(shuí)的水平較高？問(wèn)誰(shuí)的水平較高？).(),(XEX求求設(shè)設(shè) 例例2,0,1,2,0!kXeP Xkkk 解解的的分分布布律律為為 )()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即即的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f (x),在在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 x1x2 ,則則X落在小區(qū)落在小區(qū)間間xi

6、, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)()(1iiixxxf 由于由于xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)間所以區(qū)間xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi來(lái)近似代替來(lái)近似代替.iiiixxfx)(這正是這正是dxxfx)(的漸近和式的漸近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X與以概率與以概率取值取值xi的離散型的離散型r.v 該離散型該離散型r.v 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望期望是是小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)(由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義由此啟發(fā)我們引

7、進(jìn)如下定義.定義定義2 設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果積分如果積分dxxxf)(絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,則稱(chēng)此積分值為則稱(chēng)此積分值為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望, 即即dxxfxXE)()(請(qǐng)注意請(qǐng)注意 : 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分的積分.).(),(XEbaUX求求設(shè)設(shè)例例3 其它其它的概率密度為的概率密度為解解01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXEX2)()(的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為.),(的中點(diǎn)的中點(diǎn)即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間ba三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、

8、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 1. 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出： 設(shè)已知隨機(jī)變量設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？ 一種方法是，因?yàn)橐环N方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái)的分布求出來(lái). 一旦一旦我們知道了我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái)計(jì)算出來(lái). 那么是否可以不先求那么是

9、否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)的分布而只根據(jù)X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的的分布，一般是比較復(fù)雜的分布，一般是比較復(fù)雜的 .(1) 當(dāng)當(dāng)X為離散型時(shí)為離散型時(shí),它的分布律為它的分布律為P(X= xk)=pk ;絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE(2) 當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)為連續(xù)型時(shí),它它的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為f(x).若若絕對(duì)收斂，則有絕對(duì)收斂，則有 dxxfxg)()(

10、 dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 設(shè)設(shè)Y是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù):Y=g (X) (g是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當(dāng)我們求當(dāng)我們求Eg(X)時(shí)時(shí), 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.)(,(,是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)gYXgZYXZ 則則是一維隨機(jī)變量是一維隨機(jī)變量,Z則有則有概率密度為概率密度

11、為是二維連續(xù)型是二維連續(xù)型若若),(,),()1(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(.積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂積分或級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂這里假定上兩式右邊的這里假定上兩式右邊的(2)(,),( ,1,2)ijijX YP Xx Yypi j若若是是二二維維離離散散型型 概概率率分分布布律律為為則則有有11() (,)(,)ijijjiE ZE g X Yg xyp密度密度即具有概率即具有概率上服從均勻分布上服從均勻分布在在設(shè)風(fēng)速設(shè)風(fēng)速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望求求常數(shù)常數(shù)的函數(shù)的函數(shù)是是壓力壓力又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正又

12、設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式例例4: 4: 設(shè)（設(shè)（X,YX,Y）的聯(lián)合分布律如下，）的聯(lián)合分布律如下，Z=XYZ=XY，求，求E(Z).E(Z). 解解 ()1 0 0.11 1 0.252 0 0.152 1 0.15E Z 3 0 0.253 1 0.10.85 ,01,01( , )0,xyxyf x y 其其他他()( , )E XYxyf x y dxdy 例例5:5:設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為試求試求E(XY)E(XY)和和EX EX . .

13、解解11001()3xy xy dxdy 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(C)=C; 4. 設(shè)設(shè)X、Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意請(qǐng)注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨(dú)立獨(dú)立34下下面面證證明明性性質(zhì)質(zhì) 和和 。于是有于是有概率密度為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密

14、度設(shè)二維隨機(jī)變量（設(shè)二維隨機(jī)變量（證證),(),().,(,yfxfyxfYXYX得證。得證。性質(zhì)性質(zhì)3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE , 相互獨(dú)立相互獨(dú)立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質(zhì)性質(zhì)YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 解解 由題意由題意 1()1,( ),2E XE Y11(3 )()3( )1322E XYE XE Y 于是于是 11()()( )122E XYE X E Y 例例8 一民航送客車(chē)載有一民航送客車(chē)載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客旅客有有10個(gè)

15、車(chē)站可以下車(chē)個(gè)車(chē)站可以下車(chē),如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)如到達(dá)一個(gè)車(chē)站沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē)就不停車(chē).以以X表示停車(chē)的次數(shù)，求表示停車(chē)的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車(chē)并設(shè)各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立相互獨(dú)立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車(chē)站有人下車(chē)在第在第站沒(méi)有人下車(chē)站沒(méi)有人下車(chē)在第在第引入隨機(jī)變量引入隨機(jī)變量解解1021XXXX 易知易知10, 2 , 1,10911,10902020 iXPXPii10, 2 , 1,1091)(20 iXEi由此由此次次進(jìn)而進(jìn)而784. 8109110)()()()()(2

16、010211021 XEXEXEXXXEXE第二節(jié)第二節(jié) 方差方差 上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的. 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的

17、優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如又如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心中心中心 由此可見(jiàn)由此可見(jiàn),研究隨機(jī)

18、變量與其均值的偏離程度是十研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的分必要的.那么那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易容易看到看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差方差)(XEXE 能度量隨機(jī)變量與其均值能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度. 但由于但由于上式帶有絕對(duì)值上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便運(yùn)算不方便,通常用量通常用量)(2XEXE 來(lái)度量隨機(jī)變量來(lái)度量隨機(jī)變量X與其均值與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度.一、方差的定義一、方差的定義 設(shè)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若是一個(gè)隨機(jī)變量，若E(X-E(X)2存在存

19、在 , 稱(chēng)稱(chēng)E(X-E(X)2為為 X 的方差的方差. 記為記為D(X)或或Var(X)，即，即具具有有相相同同的的量量綱綱。，它它與與記記為為的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差或或均均方方差差稱(chēng)稱(chēng)為為方方差差的的算算術(shù)術(shù)平平方方根根XXXXD)()( D(X)=Var(X)=EX-E(X)2若若X的取值比較分散，則方差的取值比較分散，則方差D(X)較大較大.若若X的取值比較集中，則方差的取值比較集中，則方差D(X)較??；較?。灰虼?，因此，D（X）是刻畫(huà)）是刻畫(huà)X取值分散程度的一個(gè)量。取值分散程度的一個(gè)量。X為離散型，為離散型，分布律分布律PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量 X

20、的函數(shù)的函數(shù) g(X)=X-E(X)2 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 . ,)()(,)()(212dxxfXExpXExXDkkk二、方差的計(jì)算二、方差的計(jì)算X為連續(xù)型，為連續(xù)型，X概率密度概率密度f(wàn)(x)計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 D(X)=E(X2)-E(X)2 展開(kāi)展開(kāi)證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)例例1設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有具有(01）分布，其分布律為）分布，其分布律為pXPpXP 1,10求求D(X) . 解解pppXE 1)1(0)(pppXE

21、 2221)1(0)(由公式由公式)1()()()(222ppppXEXEXD 因此因此,0-1分布分布)1()(,)(ppXDpXE 例例2。，求，求設(shè)設(shè))()(XDX 解解X的分布律為的分布律為0, 2 , 1 , 0,! kkekXPk上節(jié)已算得上節(jié)已算得而而,)( XE)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkkekk 222)!2(kkke 22ee 22)()()(XEXEXD因此因此,泊松分布泊松分布 )(,)(XDXE例例3。，求，求設(shè)設(shè))(),(XDbaUX解解 的概率密度為的概率密度為X 其它其它01)(bxaabxf。方差為。方差為上節(jié)已求得上節(jié)已求得

22、2)(baXE 1221)()()(22222abbadxabxXEXEXDba 因此因此,均勻分布均勻分布 12)(,2)(2abXDbaXE 例例4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為 0001)(xxexfx )()(0XDXE，求，求其中其中 解解 dxexdxxxfXEx01)()(2022221)()( dxexdxxfxXEx2)( XD因此因此由此可知由此可知,指數(shù)分布指數(shù)分布2 ）（，）（XDXE1,10( )1,010,xxf xxx 其其他他例例5:5:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X概率密度為概率密度為f(xf(x),),求求D(X).D(

23、X). 解解0110()(1)(1)0E Xxx dxxx dx 于是于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/601222101()(1)(1)6E Xxx dxxx dx 三、方差的性質(zhì)三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè)設(shè)C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(C)=0 ; 2. 若若 C 是常數(shù)是常數(shù), 則則 D(X+C)=D(X) , D(CX)=C2 D(X) ; 3. 設(shè)設(shè) X 與與 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則是兩個(gè)隨機(jī)變量，則 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 4. D(X)=0 PX= C=1 ,這里這里C=E(X)特別如果特別如果 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則)

24、()()(YDXDYXD 此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況的情況.下面我們證明性質(zhì)下面我們證明性質(zhì)3證明證明)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD 若若 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得得)()()(YDXDYXD 此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況的情況.例例6 設(shè)設(shè)XB(n,p)，求，求E(X)和和D(X).若設(shè)若設(shè)10i

25、iXi 如如第第 次次試試驗(yàn)驗(yàn)成成功功如如第第 次次試試驗(yàn)驗(yàn)失失敗敗i=1,2，n 則則 是是n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中“成功成功” 的次數(shù)的次數(shù)niiXX1解解XB(n,p),“成功成功” 次數(shù)次數(shù) . 則則X表示表示n重伯努利試驗(yàn)中的重伯努利試驗(yàn)中的于是于是i=1,2，n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互獨(dú)立獨(dú)立niiXDXD1)()(= np(1- p)E(Xi)= p, D(Xi)= p(1- p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(則則若若),(pnBX)1()(,)(pnpXDnpXE 例例7).()(),1 , 0(XDXENX和和求求設(shè)設(shè)解解

26、的概率密度為的概率密度為X xexx2221)( 于是于是021)()(22 dxxedxxxXEx 121)()()(2222 dxexdxxXExXDx 則則若若),1 , 0( NX1)(, 0)( XDXE），（，則，則若若10),(2NXZNX 1)(, 0)( ZDZE質(zhì)得質(zhì)得由數(shù)學(xué)期望和方差的性由數(shù)學(xué)期望和方差的性而而, ZX )()()()(EZEZEXE22()()()()D XDZDZD Z，則，則若若),(2 NX2)(,)( XDXE差所確定。差所確定?？捎伤臄?shù)學(xué)期望和方可由它的數(shù)學(xué)期望和方布完全布完全望和方差，因而正態(tài)分望和方差，因而正態(tài)分分別是該分布的數(shù)學(xué)期分別是

27、該分布的數(shù)學(xué)期和和概率密度中的兩個(gè)參數(shù)概率密度中的兩個(gè)參數(shù)這就是說(shuō)，正態(tài)分布的這就是說(shuō)，正態(tài)分布的2 例如例如,),4 , 2(),3 , 1(相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和且且若若YXNYNX23()4,()48,4 48ZXYE ZD ZZN 則則也也服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，而而故故有有（， ）且且它它們們相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則若若, 2 , 1),(2niNXiii .)0,(:212211仍然服從正態(tài)分布仍然服從正態(tài)分布的常數(shù)的常數(shù)是不全為是不全為它們的線(xiàn)性組合它們的線(xiàn)性組合nnnCCCXCXCXC ),(12212211 niiiniiinnCCNXCXCXC 且且例例8氣缸的計(jì)以設(shè)活塞的直

28、徑),03. 0 ,40.22()(2NXcm,.),04. 0 ,50.22(2任取一支活塞相互獨(dú)立和直徑Y(jié)XNY.,率求活塞能裝入氣缸的概任取一只氣缸解解.0,YXPYXP即求按題意需求由于由于)0025. 0 ,10. 0(NYX故有故有9772. 0)2()05. 010. 0(0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(0YXPYXPYXP四、切比雪夫不等式四、切比雪夫不等式或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則越小，則事件事件|X-E(X)|0, D(Y)0,)()(),(YDXDYXCovXY 稱(chēng)稱(chēng)在不致引起混淆時(shí)在不致引起混淆

29、時(shí)，記記 為為 .XY 11 | . 2 .1 存在常數(shù)存在常數(shù) a,b(b0），使使 PY= a + b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān).相關(guān)系數(shù)刻劃了相關(guān)系數(shù)刻劃了X和和Y間間“線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性相關(guān)”的程度的程度.oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相關(guān)情況示意圖相關(guān)情況示意圖若若=0, 則稱(chēng)則稱(chēng) X和和Y 不相關(guān)不相關(guān).由于當(dāng)由于當(dāng)X 和和Y 獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 0但其逆不真但其逆不真, 請(qǐng)看下例請(qǐng)看下例.即即X與與Y 不相關(guān)不相關(guān).Cov(X,Y)=0，事實(shí)上，事實(shí)上，X的密度函數(shù)的密度

30、函數(shù)111,22( )0,xf x 其其它它0)(XE可得0)(cos)cos()(2121dxxxfxXXEXYE0)()()(),(YEXEXYEYXCov例例1 設(shè)設(shè)X服從服從(-1/2, 1/2)內(nèi)的均勻分布內(nèi)的均勻分布 , 而而Y=cos X,不難求得不難求得因而因而 =0， 即即X和和Y不相關(guān)不相關(guān) .但但Y與與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即即X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立 . 21222112222212122(,)1 ( , )21()()()()1exp22(1) X Yf x yxxyyXYXYXY 例例 ：設(shè)設(shè)服服從從二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布，它它的的概概率率密密度度為為

31、：求求 和和 的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)，并并證證明明 與與 相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與 不不相相關(guān)關(guān),X Y解解：由由于于的的邊邊緣緣概概率率密密度度為為：2121()211( ) 2xXfxex ；2222()221( ) 2yYfyey 續(xù)221122(),()( ),( )E XD XE YD Y所所以以；(,)()( )XYCov X YD XD Y下下證證Y X-10100.070.180.1510.080.320.20解解: X: X與與Y Y的分布律分別為的分布律分別為 X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6()( 1) 1 0.081 1 0.200.12E XY ()(

32、 1) 0.151 0.350.20E X ( )1 0.60.6E Y 于是于是 (,)()()( )0.120.200.60Cov X YE XYE XE Y (,)0()( )XYCov X YD XD Y 解解 11111()(1)4E XYdxxyxy dy 1111111121(1)4439xxyxy dy dxxdx 11111()(1)4E Xdxxxy dy 11111111(1)042xxy dy dxxdx 同理可得同理可得 E(Y)=0 于是于是 1(,)()()( )9Cov X YE XYE XE Y 第四節(jié)第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣一、一、 原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩 中心矩中心矩定義定義 設(shè)設(shè)X和和Y是隨機(jī)變量，若是隨機(jī)變量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，稱(chēng)它為存在，稱(chēng)它為X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng) k階矩階矩 , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，稱(chēng)它為存在，稱(chēng)它為X的的k階中心矩階中心矩可見(jiàn)，均值可見(jiàn)，均值 E(X) 是是X一階原點(diǎn)矩，方差一階原點(diǎn)矩，方差 D(X)是是X的二階中心矩。的二階中心矩。協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心