高等數(shù)學(xué)張明望D92二重積分的計(jì)算法

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算一、直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算二、極坐標(biāo)中二重積分的計(jì)算二、極坐標(biāo)中二重積分的計(jì)算 二重積分的計(jì)算法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 X型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). .bxaxyxyxD, )()(,21O)(1xy)(2xyxbyDax目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).dycyxyyxD, )()(

2、,21Oydcx)(2yx)(1yxy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為( , )dDVf x yyyxfxAxxd),()()()(000201截面積為截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱體的截柱體的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO記作記作 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)且在且在D上連續(xù)上連續(xù) 時(shí)，時(shí)，bxaxyxyxD),()(,21目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣同樣, 曲頂柱

3、體的底為曲頂柱體的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算則其體積可按如下兩次積分計(jì)算( , )dDVf x yxyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy記作記作 Oy)(1yx)(2yxxdc目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)1( , )d d( , )d dDDf x yx yf x yx y在在D上變號(hào)時(shí)上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于由于2( , )d dDfx yx y目

4、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyOxyDODyxyxfdd),(為計(jì)算方便為計(jì)算方便,可選擇積分序可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序必要時(shí)還可以交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干可將它分成若干2D1D3DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD則則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy 1解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例1. 改變積分改變積分1100d,dxxf x yy的次序的次序 .1100d,dyyf

5、x yx原原式式= =目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為視為Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , 則則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)

6、0 , 0(22 yxxyd dDx y210ddxxxy120dxxx312xy 2yx 2xy 2yx 例例 4. 求由拋物線求由拋物線2xy 和2yx 所圍平面閉所圍平面閉區(qū)域區(qū)域 D 的面積的面積. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 121221d yd ,DIxy其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及yx 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域. 解法解法1. 將將D看作看作X - 型區(qū)域型區(qū)域, 則則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y - 型區(qū)域型區(qū)域, 則則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy8

7、91xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d ,Dxy其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡便為計(jì)算簡便, 先對(duì)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分,:Dxyx ddDxy21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則則 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sind d ,Dxx yx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解解: 由被積

8、函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取D 為為X - 型域型域 :00:xxyDsind dDxx yxxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對(duì)先對(duì) x 積分不行積分不行, 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序22ed dyDxx y21200dedyyyxx2310ed3yyy22120ed6yyy12(1).6e例例 8. 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為為頂點(diǎn)的三角形頂點(diǎn)的三角形. . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解 121)(dxeexx.2183ee 2xy x

9、y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2ln1d d ,DIxyyx y其中其中D 由由,42xy1,3xxy所圍成所圍成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示如圖所示)顯然顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxf12ln1d dDIxyyx y0422ln1d dDxyyx y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為228d dDVRxx y22

10、0dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxkkkkkkkkksin,cos對(duì)應(yīng)有對(duì)應(yīng)有在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下, 用同心圓用同心圓 =常數(shù)常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積小區(qū)域的面積kkkkkk)(21),2, 1(nkk在在k),(kkkkkkkkk221內(nèi)取點(diǎn)內(nèi)取點(diǎn)kkk221)(及射線及射線 =常數(shù)常數(shù), 分劃區(qū)域分劃區(qū)域D 為為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kkkkkkknkf)sin,cos(lim10kk

11、nkkf),(lim10( , )dDf x ydd即即Df)sin,cos(ddddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)如果極點(diǎn)如果極點(diǎn)O在積分區(qū)域在積分區(qū)域D的內(nèi)部的內(nèi)部20)(0:DDfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(f20dx)(DO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()(:21D且且Dfdd)sin,cos(d)(2D)(1Ox)()(21d)sin,cos(f)(1OxD)(2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn)軸相切于原點(diǎn),試試答答: ;0) 1 (問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?

12、(1)(2)22)2(D)(yxO)(DyxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22,xRRyRRxRyyx222(2) D2 :(1) D1 :目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyO36sin422d dDxyx ysin4sin22d)32(15yyx422yyx22203 yx其中其中D 為由圓為由圓所圍成的所圍成的22d d ,Dxyx y,222yyxyyx42203 xy及直線及直線, 03yx解：解：平面閉區(qū)域平面閉區(qū)域.03 xysin22436dD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22ed d ,xyDx y其中其中222:,0,0.D xyRxy解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下0:,

13、02RD原式原式D20edR201e22R2(1e)4R2ex的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角故本題無法用直角2edd20d由于由于故故坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)計(jì)算.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2200ededRRxyxy220(ed ) ;Rxx2200dedRrr r2(1e);4R);1(422Re 目錄

14、上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),41 I,42 I故故當(dāng)當(dāng) R時(shí)時(shí),4 I即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22224azyx被圓柱面被圓柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的)立體的體積立體的體積. 解解: 設(shè)設(shè)由對(duì)稱性可知由對(duì)稱性可知20,cos20:aD2244d dDVa 20d4cos2022d4aad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DO2 cosaxyza2O目錄 上頁 下頁 返回

15、結(jié)束 ,dd)sin(2222yxyxyxD2226yxz所圍成所圍成的立體體積的立體體積. 222yxz及及 其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域.41),(22yxyxD例例17.計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 二重積分化為二次積分的方法二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)槿舴e分區(qū)域?yàn)閎xaxyyxyyxD, )()(),(21則則21( )( )( , )dd( , )dbyxayxDf x yxf x yy 若積分區(qū)域?yàn)槿舴e分區(qū)域?yàn)閐ycyxxyxyxD, )()(),(21則則21( )( )( , )dd( , )ddxycxy

16、Df x yyf x yx)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , )()(),(21D( , )d( cos ,sin)DDf x yf 則則)()(21d)sin,cos(dfdd)(2D)(1Ox目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 畫出積分域畫出積分域 選擇坐標(biāo)系選擇坐標(biāo)系 確定積分序確定積分序 寫出積分限寫出積分限 計(jì)算要簡便計(jì)算要簡便,域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少積分域分塊要少累次積分好算為妙累次積分好算為妙圖示法圖示法不等式不等式充分利用對(duì)稱性充分利用對(duì)稱性目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yx1xy 1O1. 設(shè)設(shè), 1 ,0)(Cxf且且,d)(10Axxf求求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后交換積分順序后, x , y互換互換 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0(d),(dcos022afIa提示提示: 積分域如圖積分域如圖cosaxaOaarccosa0daarccosaar