直線與圓的方程

1、直線與圓的方程一、直線的方程一、直線的方程1.1.直線的傾斜角直線的傾斜角 當(dāng)直線與當(dāng)直線與 x 軸相交時(shí)軸相交時(shí),規(guī)定把規(guī)定把 x 軸繞交點(diǎn)按逆軸繞交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí),所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角記為記為,那么那么就叫做直線的就叫做直線的傾斜角傾斜角. . 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 與與 x 軸平行或重合時(shí)，規(guī)定此直線的傾軸平行或重合時(shí)，規(guī)定此直線的傾斜角為斜角為0o. 傾斜角的取值范圍是傾斜角的取值范圍是0，)(1) 直線的傾斜角為不是直線的傾斜角為不是90o時(shí)的正切值，叫做該直線的時(shí)的正切值，叫做該直線的斜率斜率，記作，記作ktan (90) 121

2、2xxyyk2.2.直線的斜率及斜率公式直線的斜率及斜率公式(2) 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )(x1 x2 )的直線的斜的直線的斜率公式率公式(3)直線的直線的橫截距橫截距是直線與是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的縱截縱截距距是直線與是直線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).3.3.直線方程的五種形式直線方程的五種形式.(1)點(diǎn)斜式：設(shè)直線點(diǎn)斜式：設(shè)直線l過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)，斜率為，斜率為k，則直線，則直線l 的方程為的方程為 y-y0k(x-x0)(2)斜截式：設(shè)直線斜截式：設(shè)直線 l 斜率為斜率為k，在，在y 軸截

3、距為軸截距為b，則直線，則直線l 的方程為的方程為 ykx+b(3)兩點(diǎn)式：設(shè)直線兩點(diǎn)式：設(shè)直線 l 過(guò)兩點(diǎn)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2) x1x2，y1y2則直線則直線 l 的方程為的方程為(4)截距式：設(shè)直線截距式：設(shè)直線 l 在在x、y軸截距分別為軸截距分別為a、b(ab0)則直則直線線l的方程為的方程為(5)一般式：直線一般式：直線l的一般式方程為的一般式方程為Ax+By+C0(A2+B2 20)121121xxxxyyyy1byax例例1: 直線直線ax+y+1=0與連接與連接A(2,3)、B(- -3,2)的線的線段相交段相交,則則 a 的取值范圍是的取值范圍是 （

4、） A.- -1,2 B.2,+（- -,- -1）C. - -2,1 D. 1,+（- -,- -2）解：直線解：直線ax+y+1=0過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)C(0,- -1), 當(dāng)直線處在當(dāng)直線處在AC與與BC之間時(shí)之間時(shí), 必與線段必與線段AB相交相交, 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 或或 213 a312a即即 2a或或 1a選選D 136yx例例2. 已知已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是的三個(gè)頂點(diǎn)是 A(3,- -4)、B(0,3)，C(- -6,0)，求它的三條邊所在的直線方程，求它的三條邊所在的直線方程.B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)y解：解：因因ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B與與C的坐標(biāo)分別的坐標(biāo)分別 為（為（0

5、,3）和（）和（- -6,0），）， 故故B點(diǎn)在點(diǎn)在 y 軸上，軸上，C點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上，軸上， 即直線即直線BC在在 x 軸上的截距為軸上的截距為- -6，在，在 y 軸上的軸上的截距為截距為3，利用截距式，直線利用截距式，直線BC的方程為的方程為 化為一般式為化為一般式為x- -2y+6=0例例2. 已知已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是的三個(gè)頂點(diǎn)是 A(3,- -4)、B(0,3)，C(- -6,0)，求它的三條邊所在的直線方程，求它的三條邊所在的直線方程.B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)y解：解：由于由于B點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),故直線故直線AB在在 y 軸上的截距為軸上的截距

6、為3，利用斜截式，設(shè)直線利用斜截式，設(shè)直線AB的方的方程為程為 y=kx+3又由頂點(diǎn)又由頂點(diǎn) A(3,- -4)在直線在直線AB上，上， 所以所以- -4=3k+3，37故故k=所以直線所以直線AB的方程為的方程為 , 337xy化為一般式為化為一般式為7x+3+3y- -9=0例例2. 已知已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是的三個(gè)頂點(diǎn)是 A(3,- -4)、B(0,3)，C(- -6,0)，求它的三條邊所在的直線方程，求它的三條邊所在的直線方程.B(0,3)A(3,-4)xC(-6,0)y解：解：由由A(3,-4)、C(- -6,0)， 利用點(diǎn)斜式得直線利用點(diǎn)斜式得直線AC的方程為的方程為,943640

7、ACk化為一般式為化為一般式為4x+9+9y+ +24=0得直線得直線AC的斜率的斜率 ),6(940 xy例例3. 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)，并且分別滿足下列，并且分別滿足下列條件，求直線方程：條件，求直線方程：（1）傾斜角是直線）傾斜角是直線x- -4y+3=0的傾斜角的的傾斜角的2倍；倍；（2）與）與x、y軸的正半軸交于軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且AOB的面積最小的面積最小(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)). 解：（解：（1）設(shè)所求直線傾斜角為）設(shè)所求直線傾斜角為, 已知直線的已知直線的傾斜角為傾斜角為， 則則2， 且且tan , 41tantan2 158利用點(diǎn)斜式得所

8、求直線的方程為利用點(diǎn)斜式得所求直線的方程為),3(1582xy化為一般式為化為一般式為8x-15-15y+6+6=0例例3. 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)，并且分別滿足下列，并且分別滿足下列條件，求直線方程：條件，求直線方程：（2）與）與x、y軸的正半軸交于軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且AOB的面積最小的面積最小(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)). 解解:（2）設(shè)直線方程為）設(shè)直線方程為 )0, 0(1babyaxabba62123 所求直線方程為所求直線方程為2x+3+3y-12-12=0代入代入 P(3,2)，得，得 得得 ab 24,從而從而SAOB ,1221ab此時(shí)此時(shí) ,

9、23ba,32abk例例3. 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)，并且分別滿足下列，并且分別滿足下列條件，求直線方程：條件，求直線方程：（2）與）與x、y軸的正半軸交于軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且AOB的面積最小的面積最小(O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)). 解解:（2）解法）解法2：設(shè)直線方程為：設(shè)直線方程為 )0, 0(1babyax123ba即即2x+3+3y-12-12=0代入代入 P(3,2)，得，得 則則SAOB ab2112解得解得 )3(32aaab32aa639)3(aa當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即 a=6時(shí)等號(hào)成立，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)此時(shí)b=4, 39)3(aa 所求直線方程

10、為所求直線方程為146yx練習(xí)：過(guò)點(diǎn)練習(xí)：過(guò)點(diǎn)(2,1)作直線作直線 l 分別交分別交x,y軸正半軸于軸正半軸于A，B兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。 (1)當(dāng)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線面積最小時(shí)，求直線 l 的方程的方程. (2)當(dāng)當(dāng)|PA| |PB|取最小值時(shí)，求直線取最小值時(shí)，求直線 l 的方程的方程. 解：解：(1)設(shè)所求直線設(shè)所求直線 l 的方程為的方程為 )0, 0(1babyax由已知由已知 112ba于是于是 221212baba41SAOB= ab214當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 2112ba即即a=4,b=2時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào), 此時(shí)直線此時(shí)直線l 的方程為的方程為124yx即即x+2y- -4=0 練習(xí)

11、：過(guò)點(diǎn)練習(xí)：過(guò)點(diǎn)(2,1)作直線作直線 l 分別交分別交x,y軸正半軸于軸正半軸于A，B兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。 (1)當(dāng)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線面積最小時(shí)，求直線 l 的方程的方程. (2)當(dāng)當(dāng)|PA| |PB|取最小值時(shí)，求直線取最小值時(shí)，求直線 l 的方程的方程. 解：解：(2)解法解法1：設(shè)直線：設(shè)直線 l 的方程為的方程為 y- -1=k(x- -2)分別令分別令y=0，x=0得得當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)k2=1，即，即k=1時(shí)取取最小值，時(shí)取取最小值， ),0 ,12(kA此時(shí)直線此時(shí)直線 l 的方程是的方程是 x+y-3-3=0 ),21 , 0(kB則則|PA| |PB|= )11)(44(22

12、kk)1(4822kk 4又又k0 時(shí)時(shí), 方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般叫做圓的一般方程方程. 此時(shí)圓心為此時(shí)圓心為 ,半徑半徑)2,2(EDFEDr421224.4.二元二次方程表示圓的充要條件二元二次方程表示圓的充要條件： 040002222AFEDBCAFEyDxCyBxyAx表示圓的方程表示圓的方程例例1(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線圓心在直線2x- -y- -3=0上上的圓的方程的圓的方程; (2)求以求以O(shè)(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形OAB外接圓的方程外接圓的方程.解：解：(1)設(shè)圓心設(shè)圓心P

13、(x0, y0), 則有則有 2020202000)2()3()2()5(032yxyxyx解得解得 x0=4, y0=5, 半徑半徑 10r所求圓的方程為所求圓的方程為(x- -4)2+(y- -5)2=10例例1(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線圓心在直線2x- -y- -3=0上上的圓的方程的圓的方程; (2)求以求以O(shè)(0,0),A(2,0),B(0,4)為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形OAB外接圓的方程外接圓的方程.解：解：(2)設(shè)圓的方程為設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 將三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解得：將三個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入列方程組解得：D=

14、- -2, E=- -4, F=0例例2. 求與求與 x 軸相切軸相切,圓心在直線圓心在直線 3x- -y=0上上,且被直線且被直線x- -y=0截下的弦長(zhǎng)為截下的弦長(zhǎng)為 27 的圓的方程的圓的方程.222)()(:rbyax設(shè)所求的圓的方程是設(shè)所求的圓的方程是解法一解法一2|0),(baxyba的距離為的距離為到直線到直線則圓心則圓心222)7(2|bar14)(222bar即即軸相切軸相切由于所求的圓與由于所求的圓與x22br 上上又所求圓心在直線又所求圓心在直線03 yx03ba、聯(lián)立聯(lián)立9, 3, 1; 9, 3, 122rbarba或或解得解得故所求的圓的方程是故所求的圓的方程是9)

15、3() 1(, 9)3() 1(2222yxyx或或例例2. 求與求與 x 軸相切軸相切,圓心在直線圓心在直線 3x- -y=0上上,且被直線且被直線x- -y=0截下的弦長(zhǎng)為截下的弦長(zhǎng)為 27 的圓的方程的圓的方程.9)3() 1(, 9)3() 1(2222yxyx或或2229)3()(:aayax方方程程是是依依題題意意，設(shè)設(shè)所所求求的的圓圓的的解解法法二二22972|2|aa則則1a解之得解之得所求的圓的方程是所求的圓的方程是例例3. 求過(guò)直線求過(guò)直線 2x+y+4=0 和圓和圓 x2+y2+2x- -4y+1=0 的的交點(diǎn)交點(diǎn), 且面積最小的圓的方程且面積最小的圓的方程.解：因?yàn)橥ㄟ^(guò)

16、兩個(gè)交點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以解：因?yàn)橥ㄟ^(guò)兩個(gè)交點(diǎn)的動(dòng)圓中，面積最小的是以此二交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是此二交點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，于是解方程組解方程組 014204222yxyxyx得交點(diǎn)得交點(diǎn) )2 , 3(),52,511(BA所以圓心坐標(biāo)為所以圓心坐標(biāo)為 )56,513(半徑為半徑為 552|21ABr故所求圓方程為故所求圓方程為54)56()513(22yx例例4. 求圓求圓 關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱的圓點(diǎn)方程對(duì)稱的圓點(diǎn)方程 22412390 xyxy3450 xy解：圓方程可化為解：圓方程可化為 22261xy圓心圓心C (- -2,6),半徑為半徑為1, 設(shè)對(duì)稱圓圓心為設(shè)對(duì)稱圓圓心為

17、),(baC),(baC則則 與與C(- -2,6)關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱3450 xy因此有因此有 263450226 312 4abba 解得解得 325265ab 故所求圓方程為故所求圓方程為223226155xy。該圓的圓心坐標(biāo)和半徑為坐標(biāo)原點(diǎn)），求（兩點(diǎn)，且、交于和直線已知圓例OOQOPQPyxmyxyx032065.22062322myxyxyx代入方程代入方程解：將解：將0122052myy得得滿足條件滿足條件、，則，則、設(shè)設(shè)212211),(),(yyyxQyxP512, 42121myyyyOQOP , 02121yyxx221123,23yxyx而而2121214)(6

18、9yyyyxx3m，此時(shí)，此時(shí)，025)3 ,21(r，半徑，半徑圓心坐標(biāo)為圓心坐標(biāo)為。該圓的圓心坐標(biāo)和半徑為坐標(biāo)原點(diǎn)），求（兩點(diǎn)，且、交于和直線已知圓例OOQOPQPyxmyxyx03206. 522解題回顧：解題回顧：在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)在解答中，我們采用了對(duì)直線與圓的交點(diǎn)“設(shè)設(shè)而不求而不求”的解法技巧，由于的解法技巧，由于“OPOQ”即等價(jià)于即等價(jià)于 “xPxQ+yPyQ=0”,所以最終應(yīng)考慮應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)求所以最終應(yīng)考慮應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)求m.m.另外，在使用另外，在使用 “設(shè)而不求設(shè)而不求”的技巧時(shí)，必須注意這樣的交點(diǎn)的技巧時(shí)，必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在，這樣可由大于零幫

19、助考慮。是否存在，這樣可由大于零幫助考慮。直線與圓的方程四、直線與圓的位置關(guān)系四、直線與圓的位置關(guān)系1.1.點(diǎn)點(diǎn)P(x0 0, y0)與圓與圓(x- -a)2+(y- -b)2=r2的位置關(guān)系的位置關(guān)系點(diǎn)點(diǎn) P 在圓內(nèi)在圓內(nèi)(x0 0 - -a)2+(y0 - -b)2r2，點(diǎn)點(diǎn) P 在圓上在圓上 (x0 0 - -a)2+(y0 - -b)2=r2，點(diǎn)點(diǎn) P 在圓外在圓外(x0 0 - -a)2+(y0 - -b)2r22.2.線與圓的位置關(guān)系及判定方法線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)設(shè)直線設(shè)直線 l，圓心，圓心 C 到到 l 的的距離距離為為d則則圓圓C與與 l 相離相離dr；圓；圓C與與

20、 l 相切相切d=r；圓圓C與與 l 相交相交dr，(2)由圓由圓C方程及直線方程及直線 l 的方程，消去的方程，消去一個(gè)一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)，得一元得一元二次方程二次方程，設(shè)一元，設(shè)一元二次方程二次方程的根的的根的判別式判別式為為，則，則l 與圓與圓C相交相交0； l 與圓與圓C相切相切=0；l 與圓與圓C相離相離03.3.圓的切線圓的切線（1）過(guò)圓）過(guò)圓x2+y2=r2上上一點(diǎn)一點(diǎn)(x0, y0)的圓的切線方程是的圓的切線方程是 x0 x+y0 y=r2（2）過(guò)圓）過(guò)圓(x- -a)2+(y- -b)2=r2上上一點(diǎn)一點(diǎn)(x0, y0)的圓點(diǎn)切線的圓點(diǎn)切線方程是方程是(x0- -a)(x-

21、-a)+(y0- -b)(y- -b)=r2（3）求過(guò)圓）求過(guò)圓外外一點(diǎn)一點(diǎn)(x0, y0)的圓點(diǎn)切線方程的圓點(diǎn)切線方程4.4.直線被圓截得的弦長(zhǎng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何方法：幾何方法：222|drAB(2)代數(shù)方法：代數(shù)方法：)1(4)(|22kxxxxABBABA5.5.圓與圓的五種位置關(guān)系及判斷方法圓與圓的五種位置關(guān)系及判斷方法 設(shè)圓設(shè)圓O1的半徑為的半徑為r1，圓，圓O2的半徑為的半徑為r2，則，則 兩圓相離兩圓相離|O1O2|r1+r2； 外切外切 |O1O2|=r1+r2，相交相交|r1- -r2|O1O2|r1+r2|；內(nèi)切內(nèi)切|O1O2|=|r1-r2|； 內(nèi)含內(nèi)含|O1O

22、2|r1- -r2|； ?O?2?O?1?O?2?O?1?O?2?O?1?O?2?O?1?O?2?O?1例例1、自點(diǎn)、自點(diǎn)A(-1,4)作圓作圓(x-2)2+(y-3)2=1的切線的切線l,求切線求切線l的方程的方程.A(-1,4)yxo解法解法：利用點(diǎn)到直線的距離公式利用點(diǎn)到直線的距離公式解法解法：聯(lián)立成方程組，應(yīng)用判別式求解聯(lián)立成方程組，應(yīng)用判別式求解思考：過(guò)思考：過(guò)A點(diǎn)與圓相切的直線個(gè)數(shù)？點(diǎn)與圓相切的直線個(gè)數(shù)？例例2. 已知圓已知圓C： 直線直線 l : (2m+1)x+(m+1)y - -7m- -4=0(mR) 22(1)(2)25xy(1)證明：不論證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線取什

23、么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；與圓恒交于兩點(diǎn)；(2)求直線被圓求直線被圓 C 截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)截得的弦長(zhǎng)最小時(shí) l 的方程的方程.(1)證明：證明：l 的方程的方程 (x+y- -4)+m(2x+y- -7)=0mR， 27040 xyxy得得 31xy即即 l 恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)A(3,1)圓心圓心C(1, 2)， 55|AC(半徑半徑)， 點(diǎn)點(diǎn)A在圓在圓C內(nèi)，從而直線內(nèi)，從而直線l恒與圓恒與圓C相交于兩點(diǎn)相交于兩點(diǎn). 例例2. 已知圓已知圓C： 直線直線 l : (2m+1)x+(m+1)y - -7m- -4=0(mR) 22(1)(2)25xy(1)證明：不論證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；與圓恒交于兩點(diǎn)；(2)