4二次型與合同變換第十五次

1、 由由A和和B，它們，它們的跡、行列式都相等，即的跡、行列式都相等，即 l l1 l l222, l l3 6 . 對于特征值對于特征值l l1 l l2 2, (2E- -A)X o，-1-110101得其基礎(chǔ)解系得其基礎(chǔ)解系x x1= ,x x2= . 對于特征值對于特征值l l3 6，(6 6E- -A)X o，得其基礎(chǔ)解系得其基礎(chǔ)解系x x3= ，1-23 由于由于A和和B，且且B是一個(gè)是一個(gè)所以所以111102 .013P-11124233Ax-200,020 ,00By例例4.4. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A, ,B相似，其中相似，其中求求x , y的值；的值；求可逆矩陣求可逆矩陣P，使，使P

2、-1AP=B.54,664xyxy-5.6xy對角陣，可得對角陣，可得A的特征值為的特征值為 解：解：由所給條件知矩陣由所給條件知矩陣A的的特征值為特征值為l l1 1, l l2 0, l l3 - -1, a a1, a a2, a a3是是A對應(yīng)于上述特征對應(yīng)于上述特征值的特征向量值的特征向量. . 容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證a a1, a a2, a a3是是3階方陣階方陣A的的3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以所以A相似于對角陣相似于對角陣 L Ldiag(1, 0, - -1). 取取P(a a1, a a2, a a3)，則有則有P- -1 A P L L ，所以所以 A

3、= P L L P -1 1112012001100000001112012001-116002001A A 5= PL L 5P - -1 PL L P- -1=A . . 例例5.5. 設(shè)設(shè)3階方陣階方陣A滿足滿足Aa a1 1 a a1 1，Aa a2 2 o o，Aa a3 3 -a a3 3，其中，其中a a1 1(1,2,2) )T, , a a2 2(0,-1,1) )T, , a a3 3(0,0,1) )T, , 求求A和和A5. . 定理定理2 2 n階矩陣階矩陣A與與n階對角矩陣階對角矩陣 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln)相似的充分必要條件

4、為矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量. . 推論推論 若若n階矩陣階矩陣A有有n個(gè)相異的特征值個(gè)相異的特征值l l1，l l2， ，l ln，則則A與對角矩陣與對角矩陣 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln) 相似相似. . 注：注：n階矩陣階矩陣A與對角矩陣與對角矩陣 LLdiag(l l1 1 , l l2 2 , , l ln) 相似的充相似的充分必要條件是分必要條件是A特征方程的每個(gè)特征方程的每個(gè)k重根重根l l對應(yīng)對應(yīng)k個(gè)線性無關(guān)的特征個(gè)線性無關(guān)的特征向量向量，即齊次線性方程組，即齊次線性方程組(l lE-A)X=o

5、的基礎(chǔ)解系是否有的基礎(chǔ)解系是否有k個(gè)解，個(gè)解，亦即系數(shù)矩陣亦即系數(shù)矩陣l lE-A的秩的秩r(l lE-A)=n-k. 思考題：思考題：設(shè)設(shè)0 0 11 11 0 0Ax ， ， 問問x取何值時(shí)，矩陣取何值時(shí)，矩陣A可對角化?？蓪腔?。解：解：201|11(1) (1)0,10EAxl llllllllll l- - - - - 得得1231,1.l ll ll l - - 由由A的特征方程的特征方程 矩陣矩陣A可對角化的充分必要條件是二重根可對角化的充分必要條件是二重根1，有，有2個(gè)線個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即齊次線性方程組性無關(guān)的特征向量，即齊次線性方程組(E-A)X=0有有2個(gè)個(gè)線性無關(guān)的

6、解，亦即系數(shù)矩陣的秩線性無關(guān)的解，亦即系數(shù)矩陣的秩r(E-A)=1. 因?yàn)橐驗(yàn)? 0 00 0 11010 1 01 1100 11 0 0101EAxx- - - - - 0 0 101001000 x- - - - - 于是，于是，x= -1.整理ppt6一、二次型一、二次型 二、二、二次型的秩二次型的秩 定義定義1 1 含有含有n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式叫做叫做n元二次型元二次型，當(dāng)二次型的系數(shù)，當(dāng)二次型的系數(shù)aij ( i, j=1,2, ,n)都是實(shí)數(shù)時(shí)都是實(shí)數(shù)時(shí),稱為實(shí)二次型稱為實(shí)二次型. .1. 1. 二次型的定義二次型的定義21211 1121213 131

7、122222323222( ,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x 特別地特別地, , 只含有平方項(xiàng)的只含有平方項(xiàng)的n元二次型稱為元二次型稱為n元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形元二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. .222121 122(,).nnnf x xxd xd xd x二次型的矩陣形式二次型的矩陣形式21211222( ,)4f x xxx xx ()1121221 2(,)2 1xf x xx xx 2121122122( ,)22f x xxx xx xx 12( ,)Tf x xX AX21211 112 1 213 1 311222 22

8、3 2 3222( ,)22222nnnnnnn nf x xxa xa xxa xxa xxa xa x xa x xa x ()111211212222121212( ,)()nnnnijjinnnnnaaaxaaaxf x xxx xxaaxaaa 注：12( ,)Tnf x xxX AX，其中，其中nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx實(shí)對稱矩陣稱實(shí)對稱矩陣稱A為二次型為二次型系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣, A的秩稱為的秩稱為二次型的秩二次型的秩. .若二次型若二次型 f 是是標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形,即其系數(shù)矩陣是對角陣即其系數(shù)矩陣是對角陣. .,其中其中12(,)ndi

9、ag d ddL 222121 122( ,),nnnf x xxd xd xd x則則 f 的矩陣形式為的矩陣形式為XXxxxfTnL),(21例例1.1. 寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩.323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf-(1)23223214),(yyyyyf(2)324262 ,423A- -因因r(A)=3, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于3.解解: : (1)二次型二次型系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為123( ,)f x x x112312323324( ,)( ,)26

10、24,23xf x x xx x xxx-例例1.1. 寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩.323121232221321484363),(xxxxxxxxxxxxf-(1)23223214),(yyyyyf(2)123(,)f y yy(2)二次型二次型系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為000010 ,004B因因r(B)=2, 故二次型的秩等于故二次型的秩等于2.112312323000(,)(,) 010004,yf y yyy yyyy解解: : 例例2 2 已知二次型已知二次型f (x1,x2,x3)=5x12+5x22+c

11、x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩的秩為為2，求，求c 解一：解一：二次型的系數(shù)矩陣為二次型的系數(shù)矩陣為51315333Ac- - - - - |A|=0, 可推知可推知c=3. 解二：解二：r (A) = 251315315302412330129cc- - - - - - - - - - - 于是于是c-9=-6, 可推知可推知c=3.2. 2. 實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)定理定理2 2 實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量是正交的.定理定理1 1 實(shí)對稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)；實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)；實(shí)對稱矩陣A的的

12、k重特征值重特征值l li 對應(yīng)對應(yīng) k個(gè)線性無關(guān)的特征向量個(gè)線性無關(guān)的特征向量.實(shí)對稱矩陣實(shí)對稱矩陣一定可以找到一定可以找到n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即一定可以對角化即一定可以對角化整理ppt154.4.2 合同變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1. 合同2. 用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 定義定義4 4 設(shè)設(shè)A，B為為n階矩陣，如果存在可逆矩陣階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得，使得 PT TAP B成立，則稱矩陣成立，則稱矩陣A與與B合同合同，記為，記為A B合同關(guān)系具有如下性質(zhì)：合同關(guān)系具有如下性質(zhì)： 自反性自反性 對稱性對稱性 傳遞性傳遞性 合同變換不改變矩陣的秩合同變換不改變矩陣

13、的秩 對稱矩陣經(jīng)合同變換仍化為對稱矩陣對稱矩陣經(jīng)合同變換仍化為對稱矩陣 定理定理4 4 任何一個(gè)實(shí)對稱矩陣任何一個(gè)實(shí)對稱矩陣A都合同于對角矩陣都合同于對角矩陣. 即對于一個(gè)即對于一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣A，總存在可逆矩陣，總存在可逆矩陣P，使得，使得PTAP L L .1 100 -1-11 1-1-1222123121 32325226fxxxx xx xx x 例例1 1. .用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形上述上述2步操作相當(dāng)于步操作相當(dāng)于F1TAF1111123135100010001AE21101012125110010001cc- -21101012135

14、100010001rr- 101012125110010001-31100012024111010001cc- -31101012024110010001rr- -322100010000111012001cc- -322100012000111010001rr- -F1TAF1F2F2T這這2步操作相當(dāng)于步操作相當(dāng)于F3F3TPPT即即 PTAP=L LP=F1F2F3于是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 f= y12+y22.由變量由變量y1, y2, yn到到x1, x2, xn的線性變換的線性變換記作記作 X=PY.問題問題：如何找一個(gè)可逆線性變換如何找一個(gè)可逆線性變換X=PY，使得將其代入二次型使得

15、將其代入二次型后，得到新的二次型只含變量的平方項(xiàng)的形式后，得到新的二次型只含變量的平方項(xiàng)的形式(標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形形) . .用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 1111211221222212nnnnnnnnxpppyxpppyxpppy現(xiàn)將現(xiàn)將X=PY代入二次型，得代入二次型，得12( ,)()()() ,X PYTTTTnf x xxX AXPYA PYYP AP Y 上式右端是關(guān)于變量上式右端是關(guān)于變量y1, y2, yn的二次型的二次型. . 2221122nnd yd yd y()11221200000 0nnndydyy yydy ,TYYL設(shè)其化成了標(biāo)準(zhǔn)形：設(shè)其化成了

16、標(biāo)準(zhǔn)形：222123121 32325226fxxxx xx xx x()111 100|123 010135 001A E 例例1 1. .用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用合同變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形21111 100012 -110135 001rr- 上述上述2步操作相當(dāng)于步操作相當(dāng)于F1TAF121101 100012110125 001cc- -31101 100012 -110024 -101rr- 101 100012110125 001-31100 100012110024101cc- -F1TAF1這這2步操作相當(dāng)于步操作相當(dāng)于F2F2T322100 100012 -110000 0

17、-21rr- 322100 100010 -110000 0-21cc- F1TAF1F2F2T100 100012 110024 101-這這2步操作相當(dāng)于步操作相當(dāng)于F3F3TPPT即即 PTAP=L LP=F1F2F3于是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 f= y12+y22.整理ppt34 證明證明: : (反證反證) 設(shè)設(shè)a a1，a a2， ，a am線性相關(guān)，則其中至少有一向量可由其余向線性相關(guān)，則其中至少有一向量可由其余向量線性表示，不妨設(shè)量線性表示，不妨設(shè)a a1可由可由a a2， ，a am線性表示，即有一組數(shù)線性表示，即有一組數(shù)k2， ，km，使使 a a1k2a a2+ +kma am

18、 ，于是于是 (a a1 , a a1)= (a a1 , k2a a2+ +kma am) = (a a1 , k2a a2)+ + (a a1 , kma am) =k2 (a a1 , a a2)+ + km (a a1 , a am)=0這與這與(a a1 , a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2， ，a am線性無關(guān)線性無關(guān). . 定理定理1 1 正交向量組是線性無關(guān)的向量組正交向量組是線性無關(guān)的向量組.2.8 2.8 向量組的正交化標(biāo)準(zhǔn)化向量組的正交化標(biāo)準(zhǔn)化 定理定理2 2 對于線性無關(guān)的向量組對于線性無關(guān)的向量組a a1,a a2, ,a am，令，令則向量組則向量

19、組b b1,b b2, ,b bm是是正交向量組正交向量組. .施密特正交化方法施密特正交化方法11ba2122111(,)(,)abbabb b-313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbb bbb-121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmabababbabbbb bbbbb- 另外：另外：很明顯，向量組很明顯，向量組a a1,a a2, ,a am可由向量組可由向量組b b1,b b2, ,b bm線線性表示性表示. .11ba2122111(,)(,)abbabb b-313233121122(,)(,)(,)(,)ababba

20、bbb bbb- 向量組向量組b b1,b b2, ,b bm也可由向量組也可由向量組a a1,a a2, ,a am線性表示，因?yàn)椋壕€性表示，因?yàn)椋?12211(,)(,)abab ba-2313231111122121(,)(,)(,)(,(,)(,)a ba bab bbbabaaab b-1211222112111(,)(,)(,)(,)(,),)mmmmabaaabababbab bbbb- 例例1 1已知向量組已知向量組a a1=(1,1,1,1)T, a a2=(3,3,-1,-1)T, a a3=(-2, 0, 6, 8)T,線性無關(guān)，試將它們正交化、標(biāo)準(zhǔn)化線性無關(guān)，試將它們正

21、交化、標(biāo)準(zhǔn)化. .解解: :(1)(1)先先利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令b1=a1=(1, 1, 1, 1)T=(3, 3, -1, -1)T=(2, 2, -2, -2)T =(-1, 1, -1, 1)T (-2, 0, 6, 8)T412-(1, 1, 1, 1)T1632-(2, 2,-2,-2)T 2122111abbabbb-（， ）（ ， ）313233111222ababbabbbbbb-（， ）（，）（ ， ）（，）(1, 1, 1, 1)T44-此時(shí)此時(shí) b b1, b b2, b b3 為正交組為正交組. .1111|2

22、Tbb （1,1,1,1）2221|2Tbb （1,1,-1,-1）333|12Tbb （-1,1,-1,1）(2)(2)再將再將正交化后的向量組標(biāo)準(zhǔn)化，即令正交化后的向量組標(biāo)準(zhǔn)化，即令此時(shí)此時(shí) 1, 2, 3 即為所求標(biāo)準(zhǔn)正交組即為所求標(biāo)準(zhǔn)正交組. .說明：說明：求標(biāo)準(zhǔn)正交組的過程為求標(biāo)準(zhǔn)正交組的過程為先正交化，再標(biāo)準(zhǔn)化先正交化，再標(biāo)準(zhǔn)化. .整理ppt394.4.3 正交變換與二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1. 正交變換2. 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形例如，單位矩陣?yán)纾瑔挝痪仃嘐為正交矩陣為正交矩陣. -cossinsincoscossinsincosQQT10.01E 定義定義6 6 如果如果n階實(shí)矩陣

23、階實(shí)矩陣A滿足滿足 ATA=E 或或 AATE，則稱，則稱A為為正交矩陣正交矩陣.1.1. 正交矩陣正交矩陣cossinsincosQ-再如，矩陣再如，矩陣也為正交矩陣也為正交矩陣. 正交矩陣的概念正交矩陣的概念 1A為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是A-1=AT； 2. 正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣； 3. 兩個(gè)正交矩陣的乘積是正交矩陣；兩個(gè)正交矩陣的乘積是正交矩陣； 4. 正交矩陣是滿秩的且正交矩陣是滿秩的且|A|=1或或-1； 5. A為正交矩陣的充分必要條件是其列為正交矩陣的充分必要條件是其列(行行)向量組是標(biāo)準(zhǔn)向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組正交向量組. （

24、證明見下頁）（證明見下頁）正交矩陣的性質(zhì)正交矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)5 5 設(shè)設(shè)A為為n階實(shí)矩陣，則階實(shí)矩陣，則A為正交矩陣的充分必要條件是其為正交矩陣的充分必要條件是其列列(行行)向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. 證明：證明：設(shè)設(shè)A (a a1，a a2， ，a an)，其中其中a a1，a a2， ，a an為為A的列向的列向量組，則量組，則AT的行向量組為的行向量組為a a1T，a a2T， ，a anT，于是于是T1TT212T( ,)nn A A111TTT11121TTT21222TTT12nnnnnn 顯然，若顯然，若A為正交矩陣，則為正交矩陣，則a a1，a a2， ，a an為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組；為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組；若若a a1，a a2， ，a an為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，則為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，則A為正交矩陣為正交矩陣.A的行向量