有理數(shù)培優(yōu)題(有答案解析)

1、有理數(shù)培優(yōu)題基礎(chǔ)訓(xùn)練題一、填空：1、在數(shù)軸上表示一2的點到原點的距離等于（）。2、右* I a I = a,貝U a （）0.3、任何有理數(shù)的絕對值都是（）。4、如果a+b=0,那么a、b一定是（）。5、將0.1毫米的厚度的紙對折20次，列式表示厚度是（）。6、已知 |a| 3,|b| 2,|a b| a b ,則 a b （）7、| x 2 | | x 3|的最小值是（）。1 18、在數(shù)軸上，點A、B分別表示,則線段AB的中點所表小的數(shù)是（）。4 22010a bc9、右a,b互為相反數(shù)，m, n互為倒數(shù)，P的絕對值為3,則 mn p2（P10、若abcw0,則回|b|回的值是（）.a b

2、c11、下列有規(guī)律排列的一列數(shù)：1、3、2、5、3、，其中從左到右第100個數(shù)是（4 3 8 5z這三二、解答問題：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z對應(yīng)的點到-2對應(yīng)的點的距離是7,求x、y、個數(shù)兩兩之積的和。3、若2x |4 5x| |1 3x| 4的值恒為常數(shù)，求x滿足的條件及此時常數(shù)的值4、若 a,b,c為整數(shù)，且 |a b |2010 |c a|2010 1 ,試求 |c a | |a b| |b c| 的值15 7 911 1315 175、計算：一一十 + + + 26 12 20304256726、應(yīng)用拓展：將七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下?，F(xiàn)要求每次

3、翻轉(zhuǎn)其中任意四只，使它們杯口朝向相反，問能否經(jīng)有限次翻轉(zhuǎn)后，讓所有杯子杯口朝下？能力培訓(xùn)題知識點一：數(shù)軸例1：已知有理數(shù)a在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù) b在原點的左方，那么（）a. abb B abb C ab 0 Dab 0拓廣訓(xùn)練：1、如圖a,b為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在a b,b 2a, a b,b a中，負(fù)數(shù)的個數(shù)有（）（“祖沖之杯”邀請賽試題）.-aO bA. 1 B . 2 C . 3 D . 43、把滿足2 a 5中的整數(shù)a表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；例2:如果數(shù)軸上點 A到原點的距離為 3,點B到原點的距離為5,那么A、B兩點的距離為 。 拓

4、廣訓(xùn)練：1、在數(shù)軸上表示數(shù) a的點到原點的距離為 3,則a 3 .2、已知數(shù)軸上有 A B兩點，A B之間的距離為1,點A與原點O的距離為3,那么所有滿足條件的點 B與原點。的距離之和等于 。（市“迎春杯”競賽題）3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；例3：已知a 0,b 0且a b 0 ,那么有理數(shù)a,b, a, b的大小關(guān)系是 。（用號連接）（市“迎春杯”競賽題）拓廣訓(xùn)練：1、若m 0, n 0且m n,比較 m, n,m n, m n,n m的大小，并用“”號連接。例4:已知a 5比較a與4的大小拓廣訓(xùn)練：1、已知a 3,試討論a與3的大小2、已知兩數(shù)a, b ,如果a比b大，試判斷 a與b 的

5、大小4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關(guān)的問題。例5：有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子a b a b b c化簡結(jié)果為（）*AA. 2a 3b c B 3bc C bc D . c b -1 a O 1 bc拓廣訓(xùn)練： 1、有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡a b b 1 a c 1 c的結(jié)果為b a O c 12、已知a b a b 2b ,在數(shù)軸上給出關(guān)于 a,b的四種情況如圖所示，則成立的是 。, Aa0bb 0a 0 ab0 ba3、已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如下圖：則c 1 a c a b化簡后的結(jié)果是（）（省初中數(shù)學(xué)競賽選撥賽試題）-1cOa bb 2

6、c D . 1 2cbA. b 1 B . 2a b 1 C . 12a三、培優(yōu)訓(xùn)練.221、已知是有理數(shù)，且x 1 2y 10,那以x y的值是（A.1B , 3C . 1或 3D .1或 3222222、（07）如圖，數(shù)軸上一動點 A向左移動2個單位長度到達(dá)點點C表示的數(shù)為1,則點A表示的數(shù)為（）A. 7 B. 3 C. 3 D. 2B ,再向右移動5個單位長度到達(dá)點 C.若. 5b LFa_ k 除0 11個單位，點A、B、C D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù) a,b,c,d3、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個點，每相鄰兩點相距且d 2a 10,那么數(shù)軸的原點應(yīng)是（）A. A點 B . B點 C . C點 D

7、 . D點4、數(shù)a,b,c,d所對應(yīng)的點A,B,C,D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么ac與bd的大小關(guān)系是（）A D 0 C BA. a c b d B acbd C acbd D .不確定的5、不相等的有理數(shù) a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為 A, B, C,若a b b c a c,那么點B （）A.在A、C點右邊 B .在A、C點左邊 C .在 A C點之間 D .以上均有可能6、設(shè)y x 1 x 1 ,則下面四個結(jié)論中正確的是（）（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）A. y沒有最小值B.只一個x使y取最小值C.有PM個x （不止一個）使 y取最小值D .有無窮多個x使y取最小值，-11,八一 ，一，一

8、一7、在數(shù)軸上，點 A, B分別表示 -和，則線段AB的中點所表示的數(shù)是。3 58、若a 0,b 0 ,則使x a x b a b成立的x的取值圍是 。10095一 一9、x是有理數(shù)，則 x 100 x +5的最小值是221221d b O a c10、已知a,b,c,d為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示:且 6a 6b 3c 4d 6,求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值。11、（市中考題）（1）閱讀下面材料:點A、B在數(shù)軸上分另IJ表示實數(shù) a,b, A、B兩點這間的距離表示為 AB ,當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時,不妨設(shè)點A在原點，如圖1, AB OB b如圖2,點A B都在原點的右

9、邊 AB OB如圖3,點A B都在原點的左邊 AB OBa b ；當(dāng) A、0 A lb a0A 1b a0 (A)B兩點都不在原點時，o0 Ab a a b ;(o aB Ab a a b ； -T b a如圖4,點A、B在原點的兩邊 AB 0A 0B a b a綜上，數(shù)軸上 A B兩點之間的距離 AB a b。數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是，數(shù)軸(2)回答下列問題:上表示1和-3的兩點之間的距離是 數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是 ,如果 AB 2,那么x為當(dāng)代數(shù)式x 1 x 2取最小值時，相應(yīng)的 x的取值圍是求x 1 x 2 x 3 x

10、1997的最小值。聚焦絕對值一、閱讀與思考絕對值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數(shù)、相反數(shù)以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的算術(shù)根 可以有進(jìn)一步的理解；絕對值又是初中代數(shù)中一個基本概念，在求代數(shù)式的值、代數(shù)式的化簡、解方程與 解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應(yīng)注意以下幾個方面：1、脫去絕值符號是解絕對值問題的切入點。脫去絕對值符號常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識方法。去絕對值符號法則：aa0a0a0aa02、恰當(dāng)?shù)剡\用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看a表示數(shù)a的點到原點的距離；a b表示數(shù)a、數(shù)b的兩點間的距離。3、靈活運用絕對值的基本性質(zhì) a0 a2 a2

11、 a2 abab b 0 a b a b二、知識點反饋1、去絕對值符號法則例1：已知a 5, b 3且abb a那么a b 。拓廣訓(xùn)練:（市“迎春杯”競賽題）1、已知 a 1, b 2, c 3,且 a2、若a 8, b 5,且a b 0 ,那么a b的值是（A. 3 或 13 B . 13 或-13 C . 3 或-3 D . -3 或-132、恰當(dāng)?shù)剡\用絕對值的幾何意義解法1、分類討論當(dāng)X 1時，X 1當(dāng)1 X 1時，X當(dāng)X 1時X 1 X比較可知，X 11的最小值是（1 D . -1X 1 X 11x1x11x1x1x 1的最小值是x 1 2x 2;x 12;2x 2。2,故選Ao解法2

12、、由絕對值的幾何意義知 X 1表示數(shù)X所對應(yīng)的點與數(shù)1所對應(yīng)的點之間的距離；X 1表示數(shù)X所對應(yīng)的點與數(shù)-1所對應(yīng)的點之間的距離；X 1 X 1的最小值是指X點到1與-1兩點距離和的最小值。如圖易知：,X -1 X 1 X當(dāng)1 X 1時，X 1 X 1的值最小，最小值是 2故選A。拓廣訓(xùn)練:1、已知x 3 x 2的最小值是a, x 3 x 2的最大值為b,求a b的值。三、培優(yōu)訓(xùn)練1、如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示:-2 a -10 b 1則在ab,b 2a, b a,a b, a2, b 4 中,負(fù)數(shù)共有（）（省荊州市競賽題）abA. 3個B.1個 C.4個D.2個 2、若m是有理

13、數(shù)，則mA.零 B .非負(fù)數(shù) C .正數(shù) D .負(fù)數(shù)3、如果x 2 x 2 0 ,那么x的取值圍是（4、a, b是有理數(shù)，如果a bA. x 2 B . x 2 C .b,那么對于結(jié)論（1） a一定不是負(fù)數(shù)；（2） b可能是負(fù)數(shù)，其中（）（第15屆省競賽題）A.只有（1）正確 B .只有（2)正確 C . (1) (2)都正確 D . (1) (2)都不正確5、已知a 2所得的結(jié)果為（A.6、已知的最大值等于（7、A.已知a,b,c都不等于零，且xc abc ，根據(jù)a,b,c的不同取值，*有（）abcA.唯一確定的值B . 3種不同的值.4種不同的值 D . 8種不同的值8、滿足ab成立的條件

14、是（）（省黃岡市競賽題）2a 3A. ab9、5,則代數(shù)式x 52 xx的值為x10、若 ab0,則a b ab生的值等于a b c abc11、已知a,b,c是非手有理數(shù)，且 a b c 0,abc 0,求一 一 一 的值。同 lb |c |abc12、已知 a,b,c,d 是有理數(shù)，a b 9, cd 16,且 abcd 25,求 ba d c 的值。13、閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：xx 0我們知道|x 0 x 0 ,現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式x x 0x 1 x 2時，可令x 1 0和x 2 0,分別求得x 1,x 2 (稱 1,2分別為x 1與x

15、2的零點值)。在有理數(shù)圍，零點值 x 1和x 2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：(1)當(dāng) x 1 時，原式=x 1 x 2 2x 1;當(dāng) 1 x 2時，原式=x 1 x 23；(3)當(dāng) x 2時，原式=x 1 x 2 2x 1。2x 1 x 1綜上討論，原式二 31 x 22x 1 x 2通過以上閱讀，請你解決以下問題：(1) 分別求出x 2和x 4的零點值；(2)化簡代數(shù)式x 2 x 414、（1）當(dāng)x取何值時，x 3有最小值？這個最小值是多少？（2）當(dāng)x取何值時，5 x 2有最大值?這個最大值是多少？ （ 3）求x 4 x 5的最小值。（4）求x 7 x 8 x 9的最小值

16、。15、某公共汽車運營線路 AB段上有A D、C、B四個汽車站，如圖，現(xiàn)在要在 AB段上修建一個加油站 M,為了使加油站選址合理，要求 A, B, C, D四個汽車站到加油站 M的路程總和最小，試分析加油站M在何處選址最好?16、先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的 n n 1臺機床在工作，我們要設(shè)置一個零件供應(yīng)站巳 使這n臺機床到供應(yīng)站P的距離總和最小，要解決這個問題，先“退”到比較簡單的情形：A1A2A1 A2 （ P） DA3甲 P 乙甲乙丙 如圖，如果直線上有 2臺機床（甲、乙）時，很明顯P設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因為甲和乙分別到P的距離之和等于 A1到A

17、2的距離.如圖，如果直線上有3臺機床（甲、乙、丙）時，不難判斷，P設(shè)在中間一臺機床 A2處最合適，因為如果P放在A2處，甲和丙分別到 P的距離之和恰好為 A1到A3的距離；而如果 P放在別處，例如 D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是 A到A3的距離，可是乙還得走從 A2到D近段距離，這是多出來的，因此P放在A2處是最佳選擇。不難知道，如果直線上有4臺機床，P應(yīng)設(shè)在第2臺與第3臺之間的任何地方；有5臺機床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置。問題（1）:有n機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？問題（2）根據(jù)問題（1）的結(jié)論，求x 1 x 2 x 3 x 617的最小值。有理數(shù)的運算、閱讀與思考在小學(xué)里我們已學(xué)會根據(jù)四則運

18、算法則對整數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行計算，當(dāng)引進(jìn)負(fù)數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有 理數(shù)圍，我們又學(xué)習(xí)了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算與算術(shù)數(shù)的計算有很大的不同：首先，有理數(shù)計算每,所以有理數(shù)的計算很多是字母運算，也就是步要確定符號；其次，代數(shù)與算術(shù)不同的是“字母代數(shù)” 通常說的符號演算。數(shù)學(xué)競賽中的計算通常與推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地算出結(jié)果，而且要善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理與計算相結(jié)合， 靈活選用算法和技巧,提高計算的速成度，有理數(shù)的計算常用的技巧與方法有:1、利用運算律；2、以符代數(shù)；3、裂項相消;二、知識點反饋4、分解相約；5、巧用公式等。1、利用運算律：加法運算律加法交換律 加法結(jié)合律a乘法運算律

19、c乘法交換律a b乘法結(jié)合律a b 乘法分配律a baabac一 、一23例1 ：計算：52.75解：原式=4.62.754.62.75 34.65.751.15拓廣訓(xùn)練:1、計算（1）0.60.08270.9211113145911711例2：計算： 950251 會10 505025500 2498一-1斛：原式=105025拓廣訓(xùn)練：1、計算：2 3 4 52、裂項相消(1)a bab1n n 11；(3)n 1(4)例3、計算1 212009 2010 11 1解：原式=1 -22 31111=1 -2 2 3 3(12009=120102010拓廣訓(xùn)練：131411420091120

20、092010120101、計算:12007 20093、以符代數(shù)例4：計算：17工27,113713絲82 538271739172739解：分析：17 27人a仆12 J7 令 A=13 8 -34 J”24 “3716 ,2726,1127171739於761039原式=2A17、A27238, 75，貝U17 3927113739341627“242617於7610392A拓廣訓(xùn)練:1/ 111 1 20062 31/ 111 1 20052 312005111、計算：1 12 311 120062 34、分解相約例5：計算:1 2 4 2 4 81 3 9 2 6 18n 2n 4nn

21、 3n 9n解：原式=12 4 122 13 93 9 1264729三、培優(yōu)訓(xùn)練1、a是最大的負(fù)整數(shù),b是絕對值最小的有理數(shù)，則2007 a.2009b2、1計算：（1）3 53、4、5、6、7、8、9、A.1997 19992008_40.25132若a與b互為相反數(shù),計算：21997, 1998“五羊杯1898a299b2A.A.1997ab9798 9898222324252627282921097983140 B“希望杯”“五羊杯”10、（ 2009中考199898、,這四個數(shù)由小到大的排列順序是199999計算：3.14 31.4628 0.686 68.66.86=（628 C

22、. 1000 D12 3 421C .4計算:.1200220為了求-20092等于28 30122.5 3 28 1 4.5 4402223c2008 上2 的值,可令S=22232 2008，則 2S =_ 2009.因此2S-S= 21 ,所以12208 = 22009 1仿照以上推理102342222322計算出1 52 5352009的值是（A 52009 1Bk2010451C、2009/51411、a1，a2,a3,a2004者B如果Ma1a2a2003 a2a3a2004，Na1a2a2004a2a3a2003 ,那么M,N的大小關(guān)系是A. M N12、設(shè)三個互不相等的有理數(shù),

23、既可表不為1,a b,a的形式,b .又可表不為 0,一,b的形式，求a1999,2000a b的值（“希望杯”邀請賽試題）13、計算(1) 5.7 0.000360.190.00657000.000000164（2009年第二十屆“五羊杯”競賽題）_430.2582313136.51 一 _ 一2 （市迎春杯競賽題）3214、已知m,n互為相反數(shù),a,b互為負(fù)倒數(shù),x的絕對值等于3,2001m n x,2003ab 的值,、3.2求 x 1m n ab x15、已知 ab 2 a 2|0,求工ab1a 2006 b 2006的值（競賽）16、（2007,中考）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形

24、如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層.將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1如果圖00-00中所有圓圈的個數(shù)為OO-OOoo0。中的圓圈共有12層，（1）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,L，則最底層最左邊這個圓圈中的數(shù)是；（2）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)23,22,21, L ,求圖4中所有圓圈中各數(shù)的絕對值之和.【專題精講】【例11計算下列各題(3)3 0.75 0.52 ( 3)3 442537嗤（4）3 43（ 4）3_122 7133 9( 0.1

25、25)( 13)(8)(5)【例2】計算：123456789 10 11 12 L2005 2006 2007 20081【例3】計算：21工工工L6 12 20 301990011 3反思說明:199 101般地，多個分?jǐn)?shù)相加減，如果分子相同，分母是兩個整數(shù)的積，且每個分母中因數(shù)差相同,可以用裂項相消法求值。111n(n 1) n n 1分心1（;六）11 r1-n(n 1)(n 2) 2 n(n 1)1(n 1)(n 2)11111 1( )(n 1)(n 1) 2 n 1 n 1121418【例4】（第18屆迎春杯）計算:11024【例5】計算:1121(_ 一)(23 3434)1(5

26、45)586060605960)【例6】（第8屆“希望杯”）計算:“11 I 1 、/1(1L )(2 32009 21L 42010(120092010就）【例7】請你從下表歸納出13 23 3343 L3n3的公式并計算出:13 23 33 43 L 503 的值。12345246810369121548121620510152025【實戰(zhàn)演練】1、用簡便方法計算：999 998998999998 9999999982、（第10屆“希望杯”訓(xùn)練題）（200411)(1)20031L (100211) (1)10011(10003、已知a1999 1999 1999 ,b1998 1998

27、19982000 20002000 ,c2001 200120014、計算:1999 1999 19992000 2000 20001) 貝U abc 11 1315 13 15 1729 31 335、（“聰明杯”試題）12 4 2L n 2n 4n13 9 218 L n 3n 9n)26、(1A.13)(1B14)(1提示:(n1)22n7、128、計算:229、計算11623(11998 20004019 2122010)(11999 2001）的值得整數(shù)部分為（的值.12 12 31 2 3100110、計算：一2-1 1213(1 3(3)14 L(1 1)(1 1)(1 1)23

28、4120W的值。111(1 -)(1 )L (1)232010參考答案基礎(chǔ)訓(xùn)練題、填空。1、2;2、非負(fù)數(shù)；4、互為相反數(shù);0.1 220 毫米;6、 5或 1; 7 、 5;89 、-8; 10、燈蟲；11、膽。200二、解答題。1、 25 或 87;3、當(dāng)1 x 5時，常數(shù)值為7；4、2；56、不可能，因為每次翻轉(zhuǎn)其中任意 4個，無論如何翻轉(zhuǎn)，杯口朝上的個數(shù)都是奇數(shù)個，所以不可能讓杯口朝上的杯子個數(shù)為偶數(shù)零，故不可能。能力培訓(xùn)題知識點一：數(shù)軸例1、D拓廣訓(xùn)練：1、B;3、因為 2 a 5, 5a 2,所以 543 3 4 5例2、8或2拓廣訓(xùn)練：1、0或6;2、12例 3、b a a b4.拓廣訓(xùn)練：1、題目有誤。例4、解：當(dāng)4 a 5時，|a 4;當(dāng)4 a 4時，|a 4 ;當(dāng)a 4時，a拓廣訓(xùn)練：略。例5、C拓廣訓(xùn)練：1、2; 2、3、D三、培優(yōu)訓(xùn)練1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6 、D7、15；19522110、5; 11、3, 3, 4;|x 1 , 1 或3; 1 x 2；997002聚焦絕對值例 1、一 2 或一8.拓廣訓(xùn)練：1、4或0; 2、A例2、A拓廣訓(xùn)練：1、通