高中數(shù)學(xué)解題思維和思想

1、.高中數(shù)學(xué)解題思維與思想導(dǎo) 讀數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：一、數(shù)學(xué)思維的變通性 根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活設(shè)想和解題方案二、數(shù)學(xué)思維的反思性 提出獨(dú)特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。三、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性 考察問題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無誤。四、數(shù)學(xué)思維的開拓性 對(duì)一個(gè)問題從多方面考慮、對(duì)一個(gè)對(duì)象從多種角度觀察、對(duì)一個(gè)題目運(yùn)用多種不同的解法。什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。思維與思想的即時(shí)性、針對(duì)性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了全面驗(yàn)證。一

2、、高中數(shù)學(xué)解題思維策略第一講 數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí)，提出靈活的設(shè)想和解題方案。根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練： （1）善于觀察 心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識(shí)事物的最初級(jí)形式，而觀察則是知覺的高級(jí)狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識(shí)事物最基本的途徑，它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目的具體特征，對(duì)題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)

3、象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。例如，求和.這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且，因此，原式等于問題很快就解決了。（2）善于聯(lián)想 聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和基礎(chǔ)知識(shí)的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組.這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為，這兩個(gè)數(shù)的積為。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，、是一元二次方程 的兩個(gè)根，所以或.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。（3）善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G . 波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變

4、換?？梢姡忸}過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。例如，已知,求證、三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：思維變通性的對(duì)立面是思維的保守性，即思維定勢(shì)。思維定勢(shì)是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會(huì)用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現(xiàn)就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。綜上所述，善于

5、觀察、善于聯(lián)想、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。 二、思維訓(xùn)練實(shí)例（1） 觀察能力的訓(xùn)練 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。例1 已知都是實(shí)數(shù)，求證 思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而xyO圖121左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè)如圖121所示，則 在中，由三角形三邊之間的關(guān)系知： 當(dāng)且僅

6、當(dāng)O在AB上時(shí)，等號(hào)成立。 因此， 思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離公式相似的原因，是對(duì)這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握不牢固。因此，平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。例2 已知，試求的最大值。解 由 得又當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為思路分析 要求的最大值，由已知條件很快將變?yōu)橐辉魏瘮?shù)然后求極值點(diǎn)的值，聯(lián)系到，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。思維障礙 大部分學(xué)生的作法如下：由 得 當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為這種解法由于忽略了這一

7、條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手。例3 已知二次函數(shù)滿足關(guān)系，試比較與的大小。xyO2圖122思路分析 由已知條件可知，在與左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，又由已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致圖像簡捷地解出此題。解 （如圖122）由，知是以直線為對(duì)稱軸，開口向上的拋物線它與距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。思維障礙 有些同學(xué)對(duì)比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函數(shù)的

8、表達(dá)式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對(duì)每一個(gè)已知條件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。（2） 聯(lián)想能力的訓(xùn)練例4 在中，若為鈍角，則的值(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能確定思路分析 此題是在中確定三角函數(shù)的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式可得下面解法。解 為鈍角，.在中且故應(yīng)選擇（B）思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對(duì)三角函數(shù)的基本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。例5 若思路

9、分析 此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識(shí)來證題。證明 當(dāng)時(shí)，等式 可看作是關(guān)于的一元二次方程有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ，根據(jù)韋達(dá)定理就有： 即 若，由已知條件易得 即,顯然也有.例6 已知均為正實(shí)數(shù),滿足關(guān)系式,又為不小于的自然數(shù)，求證:思路分析 由條件聯(lián)想到勾股定理,可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)所對(duì)的角分別為、則是直角，為銳角，于是 且當(dāng)時(shí)，有于是有即 從而就有 思維阻礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)的命題，一些學(xué)生都會(huì)

10、想到用數(shù)學(xué)歸納法來證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué)代數(shù)，學(xué)幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來。（3） 問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識(shí)，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。 轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目 例11 已知求證、中至少有一個(gè)等于1。思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。、中至少有一個(gè)為1，也就是說中至少有一個(gè)為零，這樣，

11、問題就容易解決了。證明 于是 中至少有一個(gè)為零，即、中至少有一個(gè)為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1，其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變?yōu)槭煜栴}。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12 直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點(diǎn)在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個(gè)頂點(diǎn)為，問在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于該點(diǎn)到直線的距離。思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識(shí)可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線 （1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為 （2）因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方

12、程組（1）、（2）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求的取值范圍。將（2）代入（1）得： （3）確定的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組： 在的條件下，得 本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。 逆向思維的訓(xùn)練逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數(shù)，求證、中至少有一個(gè)不小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用反證法

13、。證明 （反證法）假設(shè)原命題不成立，即、都小于1。則 得 ，與矛盾，所以假設(shè)不成立，即、中至少有一個(gè)不小于1。 一題多解訓(xùn)練 由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14 已知復(fù)數(shù)的模為2，求的最大值。解法一（代數(shù)法）設(shè)解法二（三角法）設(shè)yxOi-2i圖123Z則 解法三（幾何法）如圖123 所示，可知當(dāng)時(shí)，解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）而當(dāng)時(shí)，解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)） 又第二講 數(shù)學(xué)思維的反思性一、概述數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動(dòng)中善于提出獨(dú)立見解

14、，精細(xì)地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè)，獲得獨(dú)特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1) 檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯(cuò)誤。 例1 已知，若求的范圍。錯(cuò)誤解法 由條件得 ×2得 ×2得 +得 錯(cuò)誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r(shí)，不一定取最大（?。┲?，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。正確解法 由題意有解得：把和的范圍代入得 在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反

15、思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問題。例2 證明勾股定理：已知在中，求證錯(cuò)誤證法 在中，而，即錯(cuò)誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證的錯(cuò)誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)覺。因此，在學(xué)習(xí)中對(duì)所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣才能避免循環(huán)論證的錯(cuò)誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn)。(2) 驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性，增強(qiáng)思維的反思性。例3 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求錯(cuò)誤解法

16、 錯(cuò)誤分析 顯然，當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤原因，沒有注意公式成立的條件是因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：例4 實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 將圓與拋物線 聯(lián)立，消去，得 因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等正根，得 解之，得錯(cuò)誤分析 （如圖221；222）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。xyO圖222xyO圖221要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，（1） 有一個(gè)公共點(diǎn)；（2） 有三個(gè)公共點(diǎn)；（3） 有四個(gè)公共點(diǎn)；（4） 沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)

17、成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3) 獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢(shì)或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對(duì)題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例5 30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場(chǎng)比賽？解 因?yàn)槊繄?chǎng)要淘汰1個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29

18、場(chǎng)比賽。思 路 分 析 傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15742129場(chǎng)比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場(chǎng)比賽淘汰1個(gè)隊(duì)，要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場(chǎng)比賽。例6 解方程考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)，它們的圖象無交點(diǎn)。所以此方程無解。例7 設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是（ ）思路分析 本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。原方程有兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，的最小值是8；當(dāng)時(shí)

19、，的最小值是18；這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。第三講 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性二、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯(cuò)誤。判斷錯(cuò)誤 判斷是對(duì)思維對(duì)象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)

20、、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤。例如，“函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯(cuò)誤判斷。推理錯(cuò)誤 推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯(cuò)，說明思維不嚴(yán)密。例如，解不等式解 或 這個(gè)推理是錯(cuò)誤的。在由推導(dǎo)時(shí)，沒有討論的正、負(fù)，理由不充分，所以出錯(cuò)。二、思維訓(xùn)練實(shí)例思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯(cuò)。(1) 有關(guān)概念的訓(xùn)練概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！罢_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提。”中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試行草案）例1、 不

21、等式 錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 當(dāng)時(shí)，真數(shù)且在所求的范圍內(nèi)（因 ），說明解法錯(cuò)誤。原因是沒有弄清對(duì)數(shù)定義。此題忽視了“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯(cuò)誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。正確解法 例2、 求過點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。錯(cuò)誤解法 設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為，消去得：整理得 直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為錯(cuò)誤分析 此處解法共有三處錯(cuò)誤：第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。

22、原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為則， 令解得所求直線為綜上，滿足條件的直線為：(2) 判斷的訓(xùn)練造成判斷錯(cuò)誤的原因很多，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。注意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)

23、錯(cuò)誤。例3、 實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。錯(cuò)誤解法 方程至少有一個(gè)實(shí)根，或錯(cuò)誤分析 實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。正確解法 設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則由于都是實(shí)數(shù)，解得 例4 已知雙曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線方程。錯(cuò)解1 故所求的雙曲線方程為錯(cuò)解2 由焦點(diǎn)知故所求的雙曲線方程為錯(cuò)解分析 這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨

24、意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法。正解1 設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為，右焦點(diǎn)，離心率，由雙曲線的定義知 整理得 正解2 依題意，設(shè)雙曲線的中心為則 解得 所以 故所求雙曲線方程為 注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用我們知道：如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。如果，則稱是的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會(huì)出錯(cuò)。例5 解不等式錯(cuò)誤解法 要使原不等式成立，只需 解得錯(cuò)誤分析 不等式成立的充分必

25、要條件是：或 原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯(cuò)誤解法的實(shí)質(zhì)，是把充分條件當(dāng)成了充分必要條件。正確解法 要使原不等式成立，則·P·C(3,0)yxO圖321 MN或，或原不等式的解集為 例6（軌跡問題）求與軸相切于右側(cè)，并與也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯(cuò)誤解法 如圖321所示，已知C的方程為設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且P與軸相切于M點(diǎn)，與C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得，即化簡得 錯(cuò)誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都

26、在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯(cuò)誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。例7 設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法 錯(cuò)誤分析 在錯(cuò)解中，由時(shí)，應(yīng)有在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，

27、再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。正確解法 若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意 可得 即因?yàn)?，所以所以所?說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為依據(jù)來進(jìn)行推理，這就會(huì)使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。O·圖322例8 （如圖322），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。錯(cuò)誤解法 依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是因?yàn)槎娼堑扔冢宜栽O(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于

28、軸上，從而所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是錯(cuò)誤分析 上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為。正確解法 在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)O·圖323MNH（如圖323）過點(diǎn)作，垂足為，過作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則 因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以即所求射影的方程為 (3) 推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列

29、推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。例9 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程。錯(cuò)誤解法 依題意可設(shè)橢圓方程為則 ，所以 ，即 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯(cuò)解分析 盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時(shí)，有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒有考慮到的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即：若，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最

30、大值。于是從而解得所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值，所以，解得于是所求橢圓的方程為例10 求的最小值錯(cuò)解1 錯(cuò)解2 錯(cuò)誤分析 在解法1中，的充要條件是即這是自相矛盾的。在解法2中，的充要條件是這是不可能的。正確解法1 其中，當(dāng)正 確 解 法2 取正常數(shù)，易得其中“”取“”的充要條件是因此，當(dāng)?shù)谒闹v 數(shù)學(xué)思維的開拓性一、概述數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對(duì)一個(gè)問題能從多方面考慮；對(duì)一個(gè)對(duì)象能從多種角度觀察；對(duì)一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們?cè)趯W(xué)習(xí)每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會(huì)貫通”，

31、這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí)；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，達(dá)到開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法例如 已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)（三角不等式）；運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系；（數(shù)形結(jié)合）運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓與

32、有公共點(diǎn)時(shí)，的最大值。(2) 一題的多種解釋例如，函數(shù)式可以有以下幾種解釋：可以看成自由落體公式可以看成動(dòng)能公式可以看成熱量公式又如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?”可以變換為：，等等。1 思維訓(xùn)練實(shí)例例1 已知求證：分析1 用比較法。本題只要證為了同時(shí)利用兩個(gè)已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決。證法1 所以 分析2 運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì)等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范。證法2 要證 只需證 xM·yd圖4

33、21O即 因?yàn)?所以只需證 即 因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪?，且步步可逆。所以原不等式成立。分? 運(yùn)用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）證法3 即 分析4 三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于1的形式，符合三角函數(shù)同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來方便。證法4 可設(shè) 分析5 數(shù)形結(jié)合法：由于條件可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。證法5 （如圖4-2-1）因?yàn)橹本€經(jīng)過圓的圓心O，

34、所以圓上任意一點(diǎn)到直線的距離都小于或等于圓半徑1，即 簡評(píng) 五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法?？稍诰唧w應(yīng)用過程中，根據(jù)題目的變化的需要適當(dāng)進(jìn)行選擇。例2 如果求證：成等差數(shù)列。分析1 要證，必須有成立才行。此條件應(yīng)從已知條件中得出。故此得到直接的想法是展開已知條件去尋找轉(zhuǎn)換。證法1 故 ，即 成等差數(shù)列。分析2 由于已知條件具有輪換對(duì)稱特點(diǎn)，此特點(diǎn)的充分利用就是以換元去減少原式中的字母，從而給轉(zhuǎn)換運(yùn)算帶來便利。證法2 設(shè)則于是，已知條件可化為：所以成等差數(shù)列。分析3 已知條件呈現(xiàn)二次方程判別式的

35、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)引人注目，提供了構(gòu)造一個(gè)適合上述條件的二次方程的求解的試探的機(jī)會(huì)。證法3 當(dāng)時(shí)，由已知條件知即成等差數(shù)列。當(dāng)時(shí)，關(guān)于的一元二次方程：其判別式故方程有等根，顯然1為方程的一個(gè)根，從而方程的兩根均為1，由韋達(dá)定理知 即 成等差數(shù)列。簡評(píng)：證法1是常用方法，略嫌呆板，但穩(wěn)妥可靠。證法2簡單明了，是最好的解法，其換元的技巧有較大的參考價(jià)值。證法3引入輔助方程的方法，技巧性強(qiáng)，給人以新鮮的感受和啟發(fā)。例3 已知，求的最小值。分析1 雖然所求函數(shù)的結(jié)構(gòu)式具有兩個(gè)字母，但已知條件恰有的關(guān)系式，可用代入法消掉一個(gè)字母，從而轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)求最值問題。解法1 設(shè)，則二次項(xiàng)系數(shù)為故有最小值。當(dāng)時(shí)， 的

36、最小值為分析2 已知的一次式兩邊平方后與所求的二次式有密切關(guān)聯(lián)，于是所求的最小值可由等式轉(zhuǎn)換成不等式而求得。解法2 即即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。 的最小值為分析3 配方法是解決求最值問題的一種常用手段，利用已知條件結(jié)合所求式子，配方后得兩個(gè)實(shí)數(shù)平方和的形式，從而達(dá)到求最值的目的。解法3 設(shè) 當(dāng)時(shí)，即的最小值為11Oxy圖422分析4 因?yàn)橐阎獥l件和所求函數(shù)式都具有解析幾何常見方程的特點(diǎn)，故可得到用解析法求解的啟發(fā)。解法4 如圖422，表示直線表示原點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離的平方。顯然其中以原點(diǎn)到直線的距離最短。此時(shí)，即所以的最小值為注 如果設(shè)則問題還可轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，半徑的最小值。簡評(píng) 幾種解

37、法都有特點(diǎn)和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。例4 設(shè)求證：分析1 由已知條件為實(shí)數(shù)這一特點(diǎn)，可提供設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程的可能，在該二次方程有兩個(gè)虛根的條件下，它們是一對(duì)共軛虛根，運(yùn)用韋達(dá)定理可以探求證題途徑。證法1 設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合。于是有 該方程有一對(duì)共軛虛根，設(shè)為，于是又由韋達(dá)定理知 分析2 由于實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍然是這個(gè)實(shí)數(shù)，利用這一關(guān)系可以建立復(fù)數(shù)方程，注意到這一重要性質(zhì)，即可求出的值。證法2 設(shè)當(dāng)時(shí)，可得與條件不合，則有 ，即 但 而 即分析3 因?yàn)閷?shí)數(shù)的倒數(shù)仍為實(shí)數(shù)，若

38、對(duì)原式取倒數(shù)，可變換化簡為易于進(jìn)行運(yùn)算的形式。再運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，建立復(fù)數(shù)方程，具有更加簡捷的特點(diǎn)。證法3 即從而必有簡評(píng) 設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式，代入已知條件化簡求證，一般也能夠證明，它是解決復(fù)數(shù)問題的基本方法。但這些方法通常運(yùn)算量大，較繁?，F(xiàn)在的三種證法都應(yīng)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)去證，技巧性較強(qiáng)，思路都建立在方程的觀點(diǎn)上，這是需要體會(huì)的關(guān)鍵之處。證法3利用倒數(shù)的變換，十分巧妙是最好的方法。例5 由圓外一點(diǎn)引圓的割線交圓于兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。分析1 （直接法）根據(jù)題設(shè)條件列出幾何等式，運(yùn)用解析幾何基本公式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，從而求出曲線方程。這里考慮在圓中有關(guān)弦中點(diǎn)的一些性質(zhì)，圓心和弦中點(diǎn)

39、的連線垂直于弦，可得下面解法。解法1 如圖423，設(shè)弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則，在中，由兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理有整理，得 其中圖423PMBAOyx分析2 （定義法）根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程。解法2 因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心為,半徑為該圓的方程為：化簡，得 其中分析3 （交軌法）將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題。因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)可看作直線與割線的交點(diǎn)，而由于它們的垂直關(guān)系，從而獲得解法。解法3 設(shè)過點(diǎn)的割線的斜率為則過點(diǎn)的割線方程為：.且過原點(diǎn)，的方程為 這兩條直線的交點(diǎn)就是點(diǎn)的軌跡。兩方程相乘消去化簡，得：其中分析4 （參數(shù)

40、法）將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)。由于動(dòng)點(diǎn)隨直線的斜率變化而發(fā)生變化，所以動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是直線斜率的函數(shù)，從而可得如下解法。解法4 設(shè)過點(diǎn)的割線方程為：它與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.解方程組 利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)的軌跡方程為：其中分析5 （代點(diǎn)法）根據(jù)曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系：點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程。設(shè)而不求，代點(diǎn)運(yùn)算。從整體的角度看待問題。這里由于中點(diǎn)的坐標(biāo)與兩交點(diǎn)通過中點(diǎn)公式聯(lián)系起來，又點(diǎn)構(gòu)成4點(diǎn)共線的和諧關(guān)系，根據(jù)它們的斜率相等，可求得軌跡方程。解法5 設(shè)則兩式相減，整理，得 所以 即為的斜率，而對(duì)斜率又可表示為化簡并整理，得 其中簡評(píng) 上述五

41、種解法都是求軌跡問題的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲線是圓的條件，而解法4、5適用于一般的過定點(diǎn)且與二次曲線交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡問題。具有普遍意義，值得重視。對(duì)于解法5通常利用可較簡捷地求出軌跡方程，比解法4計(jì)算量要小，要簡捷得多。二、解密數(shù)學(xué)思維的內(nèi)核數(shù)學(xué)解題的思維過程數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動(dòng)。 對(duì)于數(shù)學(xué)解題思維過程，G . 波利亞提出了四個(gè)階段*（見附錄），即弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。這四個(gè)階段思維過程的實(shí)質(zhì)，可以用下列八個(gè)字加以概括：理解、轉(zhuǎn)換、實(shí)施、反思。第一階段：理解問題是解題思維活動(dòng)的開始

42、。第二階段：轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。 第三階段：計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段：反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過程的結(jié)束包含另一個(gè)新的思維活動(dòng)過程的開始。數(shù)學(xué)解題的技巧為了使回想、聯(lián)想、猜想的方向更明確，思路更加活潑，進(jìn)一步提高探索的成效，我們必須掌握一些解題的策略。一切解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”，即把面臨的問題轉(zhuǎn)化為一道或幾道易于解答的新題，以通過對(duì)新題的考察，發(fā)

43、現(xiàn)原題的解題思路，最終達(dá)到解決原題的目的?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，常用的解題策略有：熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化等。一、 熟悉化策略所謂熟悉化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)，要設(shè)法把它化為曾經(jīng)解過的或比較熟悉的題目，以便充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)或解題模式，順利地解出原題。一般說來，對(duì)于題目的熟悉程度，取決于對(duì)題目自身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解。從結(jié)構(gòu)上來分析，任何一道解答題，都包含條件和結(jié)論（或問題）兩個(gè)方面。因此，要把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題，可以在變換題目的條件、結(jié)論（或問題）以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的途徑有：（一）、充分聯(lián)想回憶基本知識(shí)和題型：按照波利

44、亞的觀點(diǎn)，在解決問題之前，我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識(shí)點(diǎn)和題型，充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論，從而解決現(xiàn)有的問題。（二）、全方位、多角度分析題意：對(duì)于同一道數(shù)學(xué)題，常常可以不同的側(cè)面、不同的角度去認(rèn)識(shí)。因此，根據(jù)自己的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)調(diào)整分析問題的視角，有助于更好地把握題意，找到自己熟悉的解題方向。（三）恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素：數(shù)學(xué)中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋憩F(xiàn)形式；條件與結(jié)論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當(dāng)構(gòu)造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結(jié)論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉(zhuǎn)化為熟悉題。數(shù)學(xué)解題中，構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的，常

45、見的有構(gòu)造圖形（點(diǎn)、線、面、體），構(gòu)造算法，構(gòu)造多項(xiàng)式，構(gòu)造方程（組），構(gòu)造坐標(biāo)系，構(gòu)造數(shù)列，構(gòu)造行列式，構(gòu)造等價(jià)性命題，構(gòu)造反例，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡單化策略所謂簡單化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法把轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡單、易于解答的新題，以便通過對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡馭繁，解出原題。簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來，我們對(duì)于簡單問題往往比較熟悉或容易熟悉。因此，在實(shí)際解題時(shí)，這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的，只是著眼點(diǎn)有所不同而已。解題中，實(shí)施簡單化策略的途徑是多方面的，常用的有: 尋求中間環(huán)節(jié)，分類考察討論，簡化已知條件，恰當(dāng)分解結(jié)論等

46、。1、尋求中間環(huán)節(jié)，挖掘隱含條件：在些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當(dāng)組合抽去中間環(huán)節(jié)而構(gòu)成的。因此，從題目的因果關(guān)系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要途徑。2、分類考察討論：在些數(shù)學(xué)題，解題的復(fù)雜性，主要在于它的條件、結(jié)論（或問題）包含多種不易識(shí)別的可能情形。對(duì)于這類問題，選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。3、簡單化已知條件：有些數(shù)學(xué)題，條件比較抽象、復(fù)雜，不太容易入手。這時(shí)，不妨簡化題中某些已知條件，甚至?xí)簳r(shí)撇開不顧，先考慮一個(gè)簡化問題。這樣

47、簡單化了的問題，對(duì)于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。4、恰當(dāng)分解結(jié)論：有些問題，解題的主要困難，來自結(jié)論的抽象概括，難以直接和條件聯(lián)系起來，這時(shí)，不妨猜想一下，能否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分，以便各個(gè)擊破，解出原題。三、直觀化策略：所謂直觀化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道內(nèi)容抽象，不易捉摸的題目時(shí)，要設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為形象鮮明、直觀具體的問題，以便憑借事物的形象把握題中所及的各對(duì)象之間的聯(lián)系，找到原題的解題思路。（一）、圖表直觀： 有些數(shù)學(xué)題，內(nèi)容抽象，關(guān)系復(fù)雜，給理解題意增添了困難，常常會(huì)由于題目的抽象性和復(fù)雜性，使正常的思維難以進(jìn)行到底。對(duì)于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題

48、意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復(fù)雜關(guān)系條理化，使思維有相對(duì)具體的依托，便于深入思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。（二）、圖形直觀：有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計(jì)算量偏大。這時(shí)，不妨借助圖形直觀，給題中有關(guān)數(shù)量以恰當(dāng)?shù)膸缀畏治觯貙捊忸}思路，找出簡捷、合理的解題途徑。（三）、圖象直觀：不少涉及數(shù)量關(guān)系的題目，與函數(shù)的圖象密切相關(guān)，靈活運(yùn)用圖象的直觀性，常常能以簡馭繁，獲取簡便，巧妙的解法。四、特殊化策略所謂特殊化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道難以入手的一般性題目時(shí)，要注意從一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比較簡單的特殊問題，以便從特殊問題的研究中，拓寬解題思路，發(fā)現(xiàn)解答原題的方向

49、或途徑。五、一般化策略所謂一般化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特殊問題時(shí)，要設(shè)法把特殊問題一般化，找出一個(gè)能夠揭示事物本質(zhì)屬性的一般情形的方法、技巧或結(jié)果，順利解出原題。六、整體化策略所謂整體化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道按常規(guī)思路進(jìn)行局部處理難以奏效或計(jì)算冗繁的題目時(shí)，要適時(shí)調(diào)整視角，把問題作為一個(gè)有機(jī)整體，從整體入手，對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面、深刻的分析和改造，以便從整體特性的研究中，找到解決問題的途徑和辦法。七、間接化策略所謂間接化策略，就是當(dāng)我們面臨的是一道從正面入手復(fù)雜繁難，或在特定場(chǎng)合甚至找不到解題依據(jù)的題目時(shí)，要隨時(shí)改變思維方向，從結(jié)論（或問題）的反面進(jìn)行

50、思考，以便化難為易解出原題。數(shù)學(xué)解題思維過程 數(shù)學(xué)解題的思維過程是指從理解問題開始，從經(jīng)過探索思路，轉(zhuǎn)換問題直至解決問題，進(jìn)行回顧的全過程的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，通?？蓪⒔忸}過程分為四個(gè)階段：第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求，深入分析條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解題作好知識(shí)上的準(zhǔn)備。 第二階段是尋求解題途徑。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃。 第三階段是實(shí)施計(jì)劃。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通過與已知條件所選擇的根據(jù)作對(duì)比后修正計(jì)

51、劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^程的方法，并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最終結(jié)果以后，檢查并分析結(jié)果。探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出最重要的知識(shí)。將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。所以：第一階段的理解問題是解題思維活動(dòng)的開始。第二階段的轉(zhuǎn)換問題是解題思維活動(dòng)的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過程，是思維策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計(jì)劃實(shí)施是解決問題過程的實(shí)現(xiàn)，它包含著一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過程的具體表達(dá)，是解題思維活動(dòng)的重要組成部分。第四階段的反思問題往往容易為人們所忽視，它是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要方面，是一個(gè)思維活動(dòng)過程的結(jié)束包含另

52、一個(gè)新的思維活動(dòng)過程的開始。通過以下探索途徑來提高解題能力：（1） 研究問題的條件時(shí)，在需要與可能的情況下，可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思考。因?yàn)檫@意味著你對(duì)題的整個(gè)情境有了清晰的具體的了解。（2） 清晰地理解情境中的各個(gè)元素；一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3） 深入地分析并思考習(xí)題敘述中的每一個(gè)符號(hào)、術(shù)語的含義，從中找出習(xí)題的重要元素，要圖中標(biāo)出（用直觀符號(hào)）已知元素和未知元素，并試著改變一下題目中（或圖中）各元素的位置，看看能否有重要發(fā)現(xiàn)。（4） 盡可能從整體上理解題目的條件，找出它的特點(diǎn)，聯(lián)想以前是否遇到過類似題目。（5） 仔細(xì)考慮題意是否有其他不同理解。題目的條件有無多余的、互相矛盾的內(nèi)容？是否還缺少條件？（6） 認(rèn)真研究題目提出的目標(biāo)。通過目標(biāo)找出哪些理論的法則同題目或其他元