中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合題附答案

1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系綜合題附答案一、直角三角形的邊角關(guān)系1 .某地是國(guó)家AAAA級(jí)旅游景區(qū)，以奇山奇水奇石景，古ft古洞古部落”享譽(yù)巴渠，被譽(yù)為小九寨端坐在觀音崖旁的一塊奇石似一只嘯天犬”，昂首向天，望穿古今.一個(gè)周末，某數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)想測(cè)出嘯天犬”上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x.他們把蹲著的嘯天犬”抽象成四邊形ABCD,想法測(cè)出了尾部C看頭頂B的仰角為40°,從前腳落地點(diǎn)D看上嘴尖A的仰角剛好60°,CB=5m,CD=2.7m.景區(qū)管理員告訴同學(xué)們，上嘴尖到地面的距離是3m.于是，他們很快就算出了AB的長(zhǎng).你也算算？（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin400.64,

2、cos400.77,tan400.84.721,41,731.73）【答案】AB的長(zhǎng)約為0.6m.【解析】【分析】作BFCE于F,根據(jù)正弦的定義求出BF,利用余弦的定義求出CF,利用正切的定義求出DE,結(jié)合圖形計(jì)算即可.【詳解】解：作BFCE于F,在RtBFC中，BF=BCsinBCF3.20,CF=BCcosBCF3.85,在RtADEE中，DE3,3731.73,BH=BF-HF=0.20,AH=EF=CDDE-CF=0.58由勾股定理得，abJBH2AH20.6(m)，答：AB的長(zhǎng)約為0.6m.【點(diǎn)睛】考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是

3、解題的關(guān)鍵.2 .如圖，山坡上有一棵樹(shù)AB,樹(shù)底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6«米，山坡的坡角為30°.小寧在山腳的平地F處測(cè)量這棵機(jī)勺高，點(diǎn)C到測(cè)角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測(cè)得樹(shù)頂部A的仰角為45°,樹(shù)底部B的仰角為20°,求樹(shù)AB的高度.(參考數(shù)值：sin20°=0.34:os20°=0.94tan20°=0.3歲【答案】6.4米【解析】解：二,底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30°.DC=BC?cos306739米，2,.CF=1米, .DC=9+1=10米， .GE=10米， /

4、AEG=45； .AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF?tan20°=10X0.36=3的AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：樹(shù)高約為6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的長(zhǎng)，然后求得DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得GF的長(zhǎng)，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長(zhǎng)，從而求得樹(shù)高3.已知RtABC中，/ACB=90°,點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P,設(shè)AC=kBD,CD=kAEk為常數(shù)，試探究/APE的度數(shù)：(1)如圖1,若k=1,則/APE的度數(shù)為；(2)如圖2,若k=J3,試問(wèn)(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，求

5、出/APE的度數(shù).(3)如圖3,若k=£,且D、E分別在CRCA的延長(zhǎng)線上，(2)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.c【答案】(1)45。；(2)(1)中結(jié)論不成立，理由見(jiàn)解析；(3)(2)中結(jié)論成立，理分析：(1)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,進(jìn)而判斷出FA三ACD,得出EF=AD=BF再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論;(2)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,進(jìn)而判斷出FAEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論;(3)先判斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF,BF=AD,進(jìn)而判斷出ACDHEA,再判

6、斷出/EFB=90；即可得出結(jié)論;詳解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AF/CB,過(guò)點(diǎn)B作BF/AD相交于F,連接EF,./FBE=ZAPE,/FAC4C=90；四邊形ADBF是平行四邊形,BD=AF,BF=AD.AC=BD,CD=AE.AF=AC./FACC=90；.FAEAACD,EF=AD=BF/FEA=ZADC./ADC+ZCAD=90,°/FEA+/CAD=90=ZEHD.1) AD/BF,.EF=BF2) )(1)中結(jié)論不成立，理由如下:如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AF/CB,過(guò)點(diǎn)B作BF/AD相交于F,連接EF,CD圖2./FBE=ZAPE,/FAC4C=90四邊形ADBF是平行四邊形,B

7、D=AF,BF=AD.AC=/3bD,CD=,3AE,蛆CD-BDAE3 BD=AF,.王CDq.AFAE4 /FAC叱C=90;5 .FAEAACD,ACADBF-V3,/FEA之ADC.AFEFEF6 /ADC+/CAD=90,°7 /FEA+/CAD=90=ZEMD.1.AD/BF,/EFB=90.在RtEFB中，tan/FBE=EFBF/FBE=30,/APE=30,EBDH是平行四邊形,CD,DH/BE,EH,DH相交于H,連接AH,.BE=DH,EH=BDAC='3BD,CD=、.3AE,蛆2D忖BDAE3 /HEA=ZG=90；4 .AGDAHEAsADAG,3

8、,/ADG=ZHAEAHEH5 /GAD+-ZADG=90,6 /HAE+ZGAD=90,/HAD=90:AH在RtDAH中，tan/ADH=J3AD'/ADH=30；/APE=30,°點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì).4.如圖，在。的內(nèi)接三角形ABG中，/AGB=90°,AG=2BG,過(guò)G作AB的垂線l交。Ora于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是4r上異于A,G的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F,連接PG與PD,PD交AB于點(diǎn)G.(1)求證：PASPDF；(2)

9、若AB=5,=肝，求pd的長(zhǎng)；AG(3)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)x的取值范圍)【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【解析】-2-；(3)tan/AFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.(不要求寫(xiě)出試題分析：(1)應(yīng)用圓周角定理證明ZAPD=/FPC得到ZAPC=/FPD,又由/PAG=/PDC,即可證明結(jié)論.(2)由AG=2BG設(shè)"0一J應(yīng)用勾股定理即可求得BG,AG的長(zhǎng)，則由AG=2BG導(dǎo)可知APB是等腰直角三角EF=AE=4從而求得DF的長(zhǎng),5由AG上ABG可求得AE,GE的長(zhǎng)，由形，從而可求得PA的長(zhǎng)，由4AEF是等腰直角三角形求得PAAC由（1）PASPDF得而一而，即可求得PD的長(zhǎng).

10、AD=2（3）連接BP,BD,AD,根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，可得而，由角的轉(zhuǎn)換可得IAPAGAPDGADian.ABP=y=HP由AGRADGB可得。行口用，由AGEPGB可得HGPH,兩式相乘可得結(jié)果.試題解析：（1）由APCB內(nèi)接于圓0,得/FPJ/B,又./B=/AC&90/BCE,/AC&/APD,./APD=/FPC.ZAPD+ZDPO=ZFPC+ZDPC,即ZAPC=ZFPD.又./PAG=/PDC,.-.APACAPDF.(2)連接BP,設(shè)R，=a,ZACB=90,AB=5,.了+(2s)2=5?=口=AECEACABC,.WBC遍.CE=DE=2.ABXCD,如圖，連接

11、BP,.APB是等腰直角三角形AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.-.DF=6.PAAC1T2“53皿=_JI=N.PD由(1)PASPDF得PD西，即|PD62|PD的長(zhǎng)為?.(3)如圖，連接BP,BD,AD,AD.=2.AC=2BC,根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，得AD=2DB,即,.ABXCD,BP±AE,./ABP=/AFD.AP.邛山BP二喬rAGAPdg'dbDGADbg'pb,?,.AGPADGB,-AAGDAPGB,DGAPADAG_APAD7)0而而PRgpBGPBDB|AG，.而x=y2與t之間的函數(shù)關(guān)系式為考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.圓周角定理；3.相似三角

12、形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式.5.問(wèn)題探究：（一）新知學(xué)習(xí)：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對(duì)角互補(bǔ)，那么四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H都在同個(gè)圓上）.（二）問(wèn)題解決：已知。的半徑為2,AB,CD是。的直徑.P是前上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作AB,CD的垂線，垂足分別為N,M.（1）若直徑AB±CD,對(duì)于標(biāo)上任意一點(diǎn)P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長(zhǎng)；（2）若直徑AB±CD,在

13、點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程匯總，證明MN的長(zhǎng)為定值，并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120。角.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到前的中點(diǎn)Pi時(shí)（如圖二），求MN的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中（如圖三），證明MN的長(zhǎng)為定值.（4）試問(wèn)當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時(shí)，MN的長(zhǎng)取最大值，并寫(xiě)出其最大值.c國(guó)一圉二【答案】(i)證明見(jiàn)解析，直徑OP=2;(2)證明見(jiàn)解析，MN的長(zhǎng)為定值，該定值為2;(3)MN=#.，證明見(jiàn)解析;(4) MN取得最大值2.試題分析：(1)如圖一，易證ZPMO+ZPNO=180,從而可得四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2；(2)如圖一，易證四邊形

14、PMON是矩形，則有MN=OP=2,問(wèn)題得以解決;(3)如圖二，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等可得ZCOn=ZBOPi=60°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得/MPiN=60°.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PiM=PiN,從而得到PiMN是等邊三角形，則有MN=PiM.然后在RtAPiMO運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問(wèn)題；設(shè)四邊形PMON的外接圓為00;連接NO并延長(zhǎng)，交。0'于點(diǎn)Q,連接QM,如圖三，根據(jù)圓周角定理可得ZQMN=90,ZMQN=ZMPN=60,在RtAQMN中運(yùn)用三角函數(shù)可得：MN=QN?sin/MQN,從而可得MN=OP?sin/MQN,由此即可解決問(wèn)題；(4)由(

15、3)中已得結(jié)論MN=OP?sin/MQN可知，當(dāng)/MQN=90時(shí)，MN最大，問(wèn)題得以解決.試題解析：(1)如圖一，.PMXOC,PN±OB,ZPMO=ZPNO=90,°./PMO+/PNO=180四邊形PMON內(nèi)接于圓，直徑OP=2;國(guó)一(2)如圖一，.ABXOC,即/BOC=90,°/BOC=ZPMO=ZPNO=90四邊形PMON是矩形,.MN=OP=2,MN的長(zhǎng)為定值，該定值為2;(3)如圖二，p.圄二Pi是標(biāo)的中點(diǎn)，ZBQC=120°,ZCOP=ZBOPi=60°,ZMPiN=60°,/PiM±OC,PiNXOB,Pi

16、M=PiN,.PiMN是等邊三角形，MN=PiM.-PiM=OPi?sinZMOPi=2Xsin60=班,MN=7J；設(shè)四邊形PMON的外接圓為OO',連接NO并延長(zhǎng),交。O'于點(diǎn)Q,連接QM,如圖三，圖二則有/QMN=g0,/MQN=ZMPN=60,AfV在RtQMN中，sinZMQN=,.MN=QN?sin/MQN,.MN是定值.ON.MN=OP?sin/MQN=2Xsin60=2(4)由(3)得MN=OP?sin/MQN=2sin/MQN.當(dāng)直徑AB與CD相交成90°角時(shí)，/MQN=i80-90=90°,MN取得最大值2.考點(diǎn)：圓的綜合題.6.如圖，將

17、一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中/BAC=45°,/ACD=30°,點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，連接AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到AD耳D'咬AC于F點(diǎn).若AB=6%2cm.(i)AE的長(zhǎng)為_(kāi)cm；(2)試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得DP+EP的值最小，并求出這個(gè)最小值；(3)求點(diǎn)D'到BC的距離.【答案】(1)4尸；(2)12cm；(3)3#-不cm【解析】試題分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)而得出答案:/BAC=45；/B=90；.AB=BC=62cm,，AC=12c

18、m.AC12ZACD=30,°ZDAC=90,°AC=12cm,(cm).點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，AE=DC=V3cm.(2)首先得出AADE為等邊三角形，進(jìn)而求出點(diǎn)E,D'關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，連接DD交AC于點(diǎn)P,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，此時(shí)DP+EP值為最小，進(jìn)而得出答案.(3)連接CD,BD,過(guò)點(diǎn)D'作D'吐BC于點(diǎn)G,進(jìn)而得出ABDCBD(SSS,則/D'BG=45D'G=GBS而利用勾股定理求出點(diǎn)D到BC邊的距離.試題解析：解：(1)4VH(2).RtADC中，/ACD=30,/ADC=60,.E為CD邊上的中點(diǎn)，DE=AEAADE為

19、等邊三角形. 將4ADE沿AE所在直線翻折得AD'AAD'的等邊三角形，/AED'=60 /EAC=ZDAC-/EAD=30/EFA=90,°即AC所在的直線垂直平分線段ED： 點(diǎn)E,D關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng).如答圖1,連接DD交AC于點(diǎn)P,此日DP+E唯為最小，且DP+EP=DD.12cm.ADE是等邊三角形，AD=AE=V3,.AC垂直平分線ED；.AE=AD,'CE=CD,.AE=EC.AD'=cDv，=.在4ABD和CBD中，,AH=BCJ")'-Ud1=CDr,AABDACBD（SSS./»BG=DBC=45.D

20、'G=GB設(shè)D'G長(zhǎng)為xcm,則CG長(zhǎng)為&y?-cm,在RtAGtDC中，由勾股定理得式+32-幻二（3）,解得：恒=%2-'、石，血="2+收（不合題意舍去）.點(diǎn)D'到BC邊的距離為考點(diǎn)：1.翻折和單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；4.等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)；5.軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用（最短線路問(wèn)題）；6.全等三角形的判定和性質(zhì)；7.方程思想的應(yīng)用.7 .如圖，某公園內(nèi)有一座古塔AB,在塔的北面有一棟建筑物，某日上午9時(shí)太陽(yáng)光線與水平面的夾角為32,此時(shí)塔在建筑物的墻上留下了高3米的影子CD.中午12時(shí)太陽(yáng)光線與地面的夾角

21、為45°,此時(shí)塔尖A在地面上的影子E與墻角C的距離為15米（B、E、C在一條直線上），求塔AB的高度.（結(jié)果精確到0.01米）參考數(shù)據(jù)：sin32°=0.5299Cos32°=0.8480tan32°=0.6249721.4142.【答案】塔高AB約為32.99米.【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn)H,設(shè)AB=x,則AH=x-3,解直角三角形即可得到結(jié)論.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DHLAB,垂足為點(diǎn)H.由題意，得HB=CD=3,EC=15,HD=BC,/ABC=ZAHD=90；/ADH=32.設(shè)AB=x,則AH=x-3.在RtABE中，由ZAEB=

22、45；得tanAEBtan45ABEBEB=AB=x.HD=BC=BE+EC=x+15.在RtAHD中，由ZAHD=90；得tanADHAHHD即得tan32x3x15解得x15tan323”“32.99.1tan32AB約為32.99米.本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.8 .2018年12月10日，鄭州市城鄉(xiāng)規(guī)劃局網(wǎng)站掛出鄭州都市區(qū)主城區(qū)停車(chē)場(chǎng)專(zhuān)項(xiàng)規(guī)劃，將停車(chē)納入城市綜合交通體系，計(jì)劃到2030年，在主城區(qū)新建停車(chē)泊位33.04萬(wàn)個(gè)，2019年初，某小區(qū)擬修建地下停車(chē)庫(kù)，如圖是停車(chē)庫(kù)坡道入口的設(shè)計(jì)圖，其中MN是水平線，MN/AD,AD&#

23、177;DE,CFLAB,垂足分別為D,F,坡道AB的坡度為1:J3,DE=3米，點(diǎn)C在DE上，CD=0.5米，CD是限高標(biāo)志屏的高度（標(biāo)志牌上寫(xiě)有：限高米），如果進(jìn)入該車(chē)庫(kù)車(chē)輛的高度不能超過(guò)線段CF的長(zhǎng)，則該停車(chē)庫(kù)限高多少米？（結(jié)果精確到【答案】該停車(chē)庫(kù)限高約為2.2米.【解析】【分析】3據(jù)題意得出tanB汩,即可得出tanA,在RtADE中，根據(jù)勾股定理可求得DE,即可3得出Z1的正切值，再在RtCEF中，設(shè)EF=x,即可求出x,從而得出C已J3x的長(zhǎng).【詳解】解：由題意得，tanB33.MN/AD,/A=/B,tanA=3，3.DEXAD,*D“DE在RtAADE中,tanA=，AD,.

24、DE=3,又DC=0.5,.CE=2.5, .CF±AB, /FCE/CEF=90； .DEXAD,/A+/CEF=90；£A=£FCE tanZFCE=.3在RtCEF中，設(shè)EF=x,CF=3(x>0),CE=2.5,5代入得(一)2=x2+3x2,2解得x=1.25,.CF=，3x2.2，該停車(chē)庫(kù)限高約為2.2米.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，坡面坡角問(wèn)題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是坡度等于坡角的正切值.9.如圖，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=-1x2+bx+c經(jīng)過(guò)22A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.(1)求拋物線的解析

25、式；(2)根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出滿足1x+2x2+bx+c的x的取值范圍;22(3)設(shè)點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)、連結(jié)AD,若/DAC=/CBO,求點(diǎn)D的坐標(biāo).2)當(dāng)xRO或xw-4;(3)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)或123c【答案】(1)y-xx2；22(2,-3).【解析】【分析】(1)由直線丫=1*+2求得人、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析2亡；(2)觀察圖象，找出直線在拋物線上方的x的取值范圍；(3)如圖，過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,先求出CO=1,AO=4,再由/DACD的坐標(biāo)./CBO,得出tan/DAC=tan/CBO,從而有，DECO，最后分類(lèi)討論確定點(diǎn)AEBO【詳解

26、】解：(1)由y=-x+2可得：2當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=-4,A(-4,0),B(0,2),把A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c得:2八123c拋物線的解析式為：y-x-x222(2)當(dāng)x>0或x<-4時(shí),(3)如圖，過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,4123由y_x-x2令y=0,22解得：x1=1,x2=-4,.CO=1,AO=4,_,一，12設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m,-m22/DAG=/CBQtanZDAC=tan/CBQ在RtADE和RtBOC中有DEAECOBO'12當(dāng)D在x軸上方時(shí)，2mm4解得：mi=0,m2=-4(不合題意,J12舍去），點(diǎn)D的坐標(biāo)

27、為（0,2）.z12當(dāng)D在x軸下方時(shí)，（2mm2)1m42解得：mi=2,m2=-4（不合題意，舍去），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,-3）,或（2,-3）.本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.解題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，分類(lèi)討論是第（3）題的難點(diǎn).10.在正方形ABCD中，AC是一條對(duì)角線，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE,將4ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，得到DCF,過(guò)點(diǎn)E作EGJ±AC于點(diǎn)G,連接DG,FG.Ar.DBEC（1）如圖，依題意補(bǔ)全圖；判斷線段FG與DG之間的數(shù)量關(guān)系

28、與位置關(guān)系，并證明；（2）已知正方形的邊長(zhǎng)為6,當(dāng)/AGD=60°時(shí)，求BE的長(zhǎng).【答案】（1）見(jiàn)解析，F(xiàn)G=DG,FG±DG,見(jiàn)解析；（2）BE24.【解析】【分析】（1）補(bǔ)全圖形即可，連接BG,由SAS證明BE84GCF得出BG=GF,由正方形的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得出BG=DG,得出FG=DG,在證出ZDGF=90°,得出FG±DG即可，（2）過(guò)點(diǎn)D作DHLAC,交AC于點(diǎn)H.由等腰直角三角形的性質(zhì)得出DH=AH=3j2，由直角三角形的性質(zhì)得出FG=DG=2GH=2粕,得出DF=J2DG=4J3,在RtDCF中，由勾股定理得出CF=2J3,即可得出結(jié)果.【詳解

29、】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，F(xiàn)G=DG,FG±DG,理由如下，連接BG,如圖2所示，四邊形ABCD是正方形，/ACB=45；-.EG±AC,/EGC=90； CEG是等腰直角三角形，EG=GC,/GEC=ZGCE=45；/BEG=/GCF=135；由平移的性質(zhì)得：BE=cfBECF在ABEG和GCF中，BEGGCF,EGCG.-.BEGAGCF（SAS,BG=GF,.G在正方形ABCD對(duì)角線上，BG=DG,FG=DG, /CGF=/BGE,/BGE+/AGB=90； /CGF吆AGB=90°, /AGD+ZCGF=90°,/DGF=90；.-.FG&

30、#177;DG.(2)過(guò)點(diǎn)D作DHLAC,交AC于點(diǎn)H.如圖3所示,在RtAADG中, /DAC=45； .DH=AH=372,在RtADHG中，ZAGD=60°,DH3,2.GH=f=r=J6，3,31 .DG=2GH=26, .DF=/DG=473,在RtDCF中，CF=44/3262=273,OO,交AB于點(diǎn)E,(1)求弦AD的長(zhǎng)；(2)如圖1,當(dāng)圓心等于多少時(shí)，三點(diǎn)D、(3)如圖2,當(dāng)圓心本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.11.已知RtABC,/

31、BAC=90°,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AD=AC,BC=473,過(guò)A,D兩點(diǎn)作O在AB上且點(diǎn)M是。上一動(dòng)點(diǎn)，連接DM交AB于點(diǎn)N,求當(dāng)ONE、M組成的三角形是等腰三角形？O不在AB上且動(dòng)圓。與DB相交于點(diǎn)Q時(shí)，過(guò)D作DHLAB(垂足為H)并交。于點(diǎn)P,問(wèn)：當(dāng)。變動(dòng)時(shí)DP-DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值;若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.刻)I蚯【答案】(1)273(2)當(dāng)ON等于1或，3-1時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形(3)不變，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長(zhǎng)；(2)連DE、ME,易得當(dāng)ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，根據(jù)垂

32、徑定理得推論得OE±DM,易得到ADC為等邊三角形，得/CAD=60°,則/DAO=30°,/DON=60,然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得DN=-1AD=V3,ON=DN=1；當(dāng)MD=ME,DE為底邊，作DHAE,由于AD=2J3,ZDAE=30°,得到DH=J3,/DEA=60；DE=2,于是OE=DE=2OH=1,又/M=/DAE=30,MD=ME,得到/MDE=75,貝U/ADM=90-75=15°,可得到/DNO=45；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NH=DH=J3,則ON=J3-1；(3)連AP、AQ,DP,AB,彳導(dǎo)AC/DP,則/PDB=/C=60,再根據(jù)圓周角定理得/PAQ=/PDB,/AQC=/P,則/PAQ=60,°/CAQ=/PAD,易證得AQCAPD,得到DP=CQ貝UDP-DQ=CQ-DQ=CD而4ADC為等邊三角形，CD=AD=2，3,即可得到DP-DQ的值.解：(1)ZBAC=90°,點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，BC=4，3,.AD=；BC=28