第十章漲落理論

1、熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)1第十章 漲落理論10.1 漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論；10.2 布朗運(yùn)動(dòng)理論；10.3 布朗顆粒動(dòng)量的擴(kuò)散和時(shí)間關(guān)聯(lián)；熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)210.1 漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)認(rèn)為，宏觀物理量是相應(yīng)微觀量在滿(mǎn)足給定宏觀條件的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)上的平均值：【漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論漲落的準(zhǔn)熱力學(xué)理論】用偏差平方的平均值表示B對(duì)B的漲落：2222ssssBBBBBB 描述在給定宏觀條件下熱力學(xué)量取各種漲落值的概率分布。熵的漲落是指S(E,V)與S(E,V) 的差值。sssBB熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)3一、正則系統(tǒng)的漲落一、正則系統(tǒng)的漲落 考慮系統(tǒng)與熱源接觸而達(dá)到平衡。二者聯(lián)合組

2、成一個(gè)符合的孤立系統(tǒng)，具有確定的能量和體積。若系統(tǒng)的能量和體積存在變化，則熱源的能量與體積也必定有相應(yīng)變化： 對(duì)于宏觀系統(tǒng)，能量和體系的平均值等于其最概然值。因?yàn)椋涸跐M(mǎn)足宏觀條件的所有可能的微觀狀態(tài)中，能量為在滿(mǎn)足宏觀條件的所有可能的微觀狀態(tài)中，能量為E E體積體積為為V V的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率的總和遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)具有其他值的微觀的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率的總和遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)具有其他值的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率之和狀態(tài)出現(xiàn)的概率之和。00lnSk0rEE0rVV (1) 具有E和V的復(fù)合系統(tǒng)的熵為（S0和0均為極大值）熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)4（復(fù)合系統(tǒng)熵的偏差）（復(fù)合系統(tǒng)熵的偏差） (2) 具有E和V的復(fù)合系統(tǒng)的熵為00

3、lnSk (3) 處于平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)，每一種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，系統(tǒng)的能量與體積對(duì)最概然值具有偏差E和V的概率應(yīng)與微觀狀態(tài)數(shù)正比：000/SkWe 000SSS（源的熱力學(xué)基本方（源的熱力學(xué)基本方程，程，P和和T為源和系統(tǒng)為源和系統(tǒng)的壓強(qiáng)與溫度）的壓強(qiáng)與溫度）1rrrSEp VT0,rEE 0rVV 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)51rSEp VT 000/SkWe 000SSS1expWETSp VkT( ,)EE S V,222222,1 .2S VS VS VS VEEEESVSVEESVSV,S VETS,S VEpV熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)6(4) 應(yīng)用實(shí)例1exp2WS Tp VkT

4、 VVTVCpSSSTVTVTVTTVTpppTVTV2221exp22VTCpWTVkTVkT0TVTV 22,VkTTC2TVVkTp 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)7二、巨正則系統(tǒng)的漲落二、巨正則系統(tǒng)的漲落 考慮系統(tǒng)與熱源和粒子源接觸而構(gòu)成一個(gè)符合的孤立系統(tǒng)?？梢宰C明開(kāi)放系漲落的基本公式為（以T、V、N為自變量，V不變）1exp2WS Tp VNkT , VNV TVVNSSSTNTNCTNTT,VNV TTNTN222,1exp22VV TCWTNkTNkT熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)8(1) 系綜的溫度和粒子數(shù)漲落由此可以看出：第一項(xiàng)是正則分布的能量漲落第一項(xiàng)是正則分布的能量漲落系統(tǒng)與源交換系統(tǒng)與源交換能

5、量而引起的；第二項(xiàng)是系統(tǒng)與源交換粒子引起的。能量而引起的；第二項(xiàng)是系統(tǒng)與源交換粒子引起的。0T N 22,VkTTC2,V TNNkT(2) 系綜的能量漲落,V NV TEEETNTN22222,222,2 V NV NV TV TVV TEEEEETT NNTTNNEkT CNN 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)910.2 布朗運(yùn)動(dòng)理論布朗運(yùn)動(dòng)理論 懸浮在液體中的微小顆粒不停地進(jìn)行無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象稱(chēng)為布朗運(yùn)動(dòng)。它是植物學(xué)家布朗(Brown)在1827年發(fā)現(xiàn)的。1877年Delsaulx指出，布朗運(yùn)動(dòng)是由于顆粒受到介質(zhì)分子不平衡引起的；20世紀(jì)初，愛(ài)因斯坦、Smoluchowski、朗之萬(wàn)(Langevin

6、)等發(fā)表了各自的理論，同時(shí)Perrin完成相關(guān)的實(shí)驗(yàn)。從理論和實(shí)驗(yàn)上對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)給出了正確的解釋。22( )( )d xmf tB tdt一、朗之萬(wàn)方程一、朗之萬(wàn)方程 考慮：顆粒在一個(gè)方向(x)上的運(yùn)動(dòng)。設(shè)顆粒受到的介質(zhì)分子的凈作用力為f(t)，外力為B(t)，則顆粒的運(yùn)動(dòng)方程為熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)10 （1）隨機(jī)力f(t)可分為粘滯阻力-v和漲落力F(t)（介質(zhì)分子對(duì)靜止顆粒的碰撞力）： （2）不考慮外力作用，朗之萬(wàn)方程可變?yōu)?2( )( )d xdxmF tB tdtdt （ 朗之萬(wàn)方程）222221( )22ddmxmxxxF tdtdt ( )( )xF tx F t21122mxkT22

7、2220ddkTxxm dtmdt熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)112/122t mkTxtC eC （3）朗之萬(wàn)方程的通解二、布朗顆粒的擴(kuò)散二、布朗顆粒的擴(kuò)散 當(dāng)存在大量布朗顆粒時(shí)，其密度分布是不均勻的，可觀察到布朗顆粒的擴(kuò)散。擴(kuò)散實(shí)際上是顆粒作布朗運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生位移的一種現(xiàn)象。 考慮一維運(yùn)動(dòng)。設(shè)顆粒的密度為n(x,t)，顆粒的流量為J(x,t)，則0nJtJD n （ 菲克定律）（ 連續(xù)方程）熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)12（設(shè)t=0時(shí)，顆粒均位于x=0處）( ,0)( )n xNxkTD20nDnt（ 擴(kuò)散方程）2/4( , )22xDtNn x tDt221( , )2xx n x t dxDtN22kTxt（

8、 愛(ài)因斯坦關(guān)系）熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)1310.3 布朗顆粒動(dòng)量的擴(kuò)散和時(shí)間關(guān)系布朗顆粒動(dòng)量的擴(kuò)散和時(shí)間關(guān)系 朗之萬(wàn)方程中含有隨機(jī)的漲落力，它的解必是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)。對(duì)于不同的顆粒，位移可以是完全不同的函數(shù)。上面在研究位移平方平均值時(shí)漲落力可以消去，從而歸結(jié)為求解常微分方程。不過(guò)在考察其它量（如顆粒的動(dòng)量）時(shí)卻不能直接消去漲落力。 （1）系綜平均：某一物理量對(duì)大量布朗粒子的的平均。11( )( )NiiA tA tN一、基本概念一、基本概念 （2）漲落力的時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù)：11( ) ()( )()NiiiF t F tF t F tN熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)14顯然，當(dāng)足夠長(zhǎng)時(shí)，F(xiàn)i(t)和Fi(t +)的

9、取值將互不關(guān)聯(lián)，它們的乘積的系綜平均值為0；反之將相互依賴(lài)。因此，我們可以引入一個(gè)特征時(shí)間c來(lái)區(qū)分兩種特殊情況，并稱(chēng)為漲落力的關(guān)聯(lián)時(shí)間。一般地，關(guān)聯(lián)時(shí)間與漲落力的平均周期具有相同量級(jí)。對(duì)于在c量級(jí)時(shí)間內(nèi)只有微小變化的物理量，漲落力的時(shí)間關(guān)聯(lián)可以寫(xiě)為( ) ()2( )pF t F tD 其中，2D是漲落力大小（強(qiáng)度）的量度。上式表示，不同時(shí)刻的漲落力不關(guān)聯(lián)。 （3）長(zhǎng)時(shí)間平均值：00001( ) ()lim( ) ()TTF t F tF t F tdtT熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)15在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)，顆粒將經(jīng)歷各種可能的漲落力作用，因而長(zhǎng)時(shí)間的平均值與系綜平均值是相等的，即( ) ()( ) ()F t

10、F tF t F t 在不存在外力時(shí)朗之萬(wàn)方程可以寫(xiě)為( )dppF tdt /m二、動(dòng)量平均值和散差二、動(dòng)量平均值和散差( )ttdpee F tdt0( )(0)( )tttp tpeee Fd( )(0)tp tpe熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)1622( )( )pp tp t（ 散差的定義）0( )(0)( )tttp tpeee Fd( )(0)tp tpe2()()00( ) ( )ttttpdFFeed( ) ()2( )pF t F tD 22 ()202( )1tpttpDpDede 【討論討論】 （1）ct1/情況22pDpp2122pkTmpDm kTkT顯然，顯然，顆粒在介質(zhì)中的

11、阻尼系數(shù)與動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)成正比。漲落力分為粘滯阻力和漲落力，粘滯阻力導(dǎo)致顆粒動(dòng)能的耗散和顆粒與介質(zhì)達(dá)到平衡，而漲落力導(dǎo)致動(dòng)量的擴(kuò)散。兩者相互聯(lián)系。熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)18 （3）t1/情況tt00( )(0)( )( )tttttp tpeee Fdee Fd()()00()( )00( ) ( )( ) ( ) 2( ) ( ) ()ttt tttttpp t p teddFFeDddFFee ()()( ) ( )pt tt tDp t p tee( )( )( ) ( )pttttDp t p teett( ) ( )ttttttttppDDp t p teeemkTe, 1/t t結(jié)論：結(jié)論：不同時(shí)刻的漲落力無(wú)關(guān)聯(lián)，但不同時(shí)刻的動(dòng)量卻相互關(guān)聯(lián)。動(dòng)量是平均力和漲落力共同作用的結(jié)果，是積分效應(yīng)。熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)1