高三數(shù)學一輪復習知識點歸納與總結(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程

1、備考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直3.掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1.對直線的傾斜角和斜率概念的考查，很少單獨命題，但作為解析幾何的基礎，復習時要加深理解2.對兩條直線平行或垂直的考查，多與其他知識結(jié)合考查，如2012年浙江T3等3.直線方程一直是高考考查的重點，且具有以下特點：(1)一般不單獨命題，考查形式多與其他知識結(jié)合，以選擇題為主(2)主要是涉及直線方程和斜率.歸納·知識整合1直線的傾斜

2、角與斜率(1)直線的傾斜角一個前提：直線l與x軸相交；一個基準：取x軸作為基準；兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定：它的傾斜角為0°.傾斜角的取值范圍為0，)(2)直線的斜率定義：若直線的傾斜角不是90°，則斜率ktan_.計算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k.探究1.直線的傾角越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？提示：這種說法不正確由ktan 知，當 時，越大，斜率越大且為正；當時，越大，斜率也越大且為負但綜合起來說是錯誤的2兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系探究2.兩條直線l1，l2垂直的充要條

3、件是斜率之積為1，這句話正確嗎？提示：不正確，當一條直線與x軸平行，另一條與y軸平行時，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在3直線方程的幾種形式名稱條件方程適用范圍點斜式斜率k與點(x0，y0)yy0k(xx0)不含直線xx0斜截式斜率k與截距bykxb不含垂直于x軸的直線兩點式兩點(x1，y1)，(x2，y2)不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)截距式截距a與b1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用探究3.過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點式方程表示？提示：當x1x2，或y1y2時，由兩點式方程知

4、分母此時為零，所以不能用兩點式方程表示自測·牛刀小試1(教材習題改編)若直線x2的傾斜角為，則()A等于0B等于C等于 D不存在解析：選C因為直線x2垂直于x軸，故其傾斜角為.2(教材習題改編)過點M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1 B4C1或3 D1或4解析：選A由題意知，1，解得m1.3過兩點(0,3)，(2,1)的直線方程為()Axy30 Bxy30Cxy30 Dxy30解析：選B直線斜率為1，其方程為yx3，即xy30.4直線l的傾斜角為30°，若直線l1l，則直線l1的斜率k1_；若直線l2l，則直線l2的斜率k2_.解析：l1l2，

5、kl1tan 30°.l2l，kl2.答案：5已知A(3,5)，B(4,7)，C(1，x)三點共線，則x等于_解析：因為kAB2，kAC.A，B，C三點共線，所以kABkAC，即2，解得x3.答案：3直線的傾斜角和斜率例1(1)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，)B.C. D.(2)已知兩點A(m，n)，B(n，m)(mn)，則直線AB的傾斜角為_；(3)直線l過點P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點的線段有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為_自主解答(1)設直線的傾斜角為，則有tan sin ，其中sin 1,1又0，)，所以0 或 <.(2)設

6、直線AB的傾斜角為，斜率為k，則ktan 1.又0，)，所以.(3)如右圖，kAP1，kBP，k(， 1，)答案(1)B(2)(3)(， 1，)若將P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l的斜率的取值范圍 解：P(1，0)，A(2，1)，B(0，)，kPA，kPB.借助圖形可知，直線l的斜率的取值范圍為. 斜率的求法(1)定義法：若已知直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)ktan 求斜率；(2)公式法：若已知直線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k(x1x2)求斜率1直線l：xsin 30°ycos 150°10的斜率是()A. B.

7、C D解析：選A設直線l的斜率為k，則k.2若直線l與直線y1，x7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，1)，則直線l的斜率為()A. BC D.解析：選B設P(x,1)，Q(7，y)，則x72,1y2，解得x5，y3，從而kl.直線的平行與垂直的判斷及應用例2若直線ax2y60與x(a1)ya210平行，則a_.自主解答因為兩直線平行，所以有a(a1)2，即a2a20，解得a2或a1.答案2或1用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20

8、)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)3已知l1的傾斜角為45°，l2經(jīng)過點P(2，1)，Q(3，m)，若l1l2，則實數(shù)m_.解析：k1tan 45°1，k2，l1l2，k21，解得m6.答案：64已知過點A(2，m)，B(m,4)的直線與直線2xy10平行，則m的值為_解析：由題意知，kAB2，解得m8.答案：8直 線 方 程例3(1)在等腰三角形AOB中，AOAB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)(2)直線l經(jīng)過點P(

9、3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點OAB的面積為12，則直線l的方程是_自主解答(1)因為AOAB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kABkOA3，所以直線AB的點斜式方程為：y33(x1)(2)法一：設直線l的方程為1(a>0，b>0)則有1，且ab12.解得a6，b4.所以所求直線l的方程為1，即2x3y120.法二：設直線l的方程為y2k(x3)(k<0)，令x0，得y23k>0；令y0，得x3>0.所以SOAB(23k)12，解得k，故所求直線方程為y2(x3)，即2x3y120.答案(1)D(2)2x3y120求直線方程的

10、常用方法(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設出直線方程再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程5ABC的三個頂點為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程解：(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點，由兩點式得BC的方程為，即x2y40.(2)設BC中點D的坐標(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過點A(3,0)，D(0,2)兩點，由截距式得AD所在直線方程為1，

11、即2x3y60.(3)BC的斜率k1，則BC的垂直平分線DE的斜率k22，由點斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.1個關(guān)系直線的傾斜角和斜率的關(guān)系(1)任何的直線都存在傾斜角，但并不是任意的直線都存在斜率(2)直線的傾斜角和斜率k之間的對應關(guān)系：0°0°<<90°90°90°<<180°k0k>0不存在k<03個注意點與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點(1)明確直線方程各種形式的適用條件點斜式斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截

12、距式方程不能表示垂直于坐標軸和過原點的直線在應用時要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無特殊要求下一般化為一般式(2)截距不是距離，距離是非負值，而截距可正可負，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零(3)求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應注意分類討論，即應對斜率存在與否加以討論. 易誤警示有關(guān)直線方程中“極端”情況的易誤點典例(2013·常州模擬)過點P(2,3)且在兩坐標軸上的截距相等的直線l的方程為_解析當截距不為0時，設所求直線方程為1，即xya0.點P(2,3)在直線l上，23a0，a1，所求直線l的方程為xy10.當截距為0時，設所求直線方程為ykx，則

13、有32k，即k，此時直線l的方程為yx，即3x2y0.綜上，直線l的方程為xy10或3x2y0.答案xy10或3x2y01因忽略截距為“0”的情況，導致求解時漏掉直線方程3x2y0而致錯，所以可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解2在選用直線方程時，常易忽視的情況還有：(1)選用點斜式與斜截式時忽視斜率不存在的情況；(2)選用兩點式方程時忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況已知直線l過(2,1)，(m,3)兩點，則直線l的方程為_解析：當m2時，直線l的方程為x2；當m2時，直線l的方程為，即2x(m2)ym60.因為m2時，方程2x(m2)ym60，即為x2，所以直線l的方程為2x(m2)

14、ym60.答案：2x(m2)ym60一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2013·秦皇島模擬)直線xy10的傾斜角是()A.B.C. D.解析：選D由直線的方程得直線的斜率為k，設傾斜角為，則tan ，所以.2已知點A(1，2)，B(m,2)，且線段AB垂直平分線的方程是x2y20，則實數(shù)m的值是()A2 B7C3 D1解析：選C由已知kAB2，即2，解得m3.3若直線經(jīng)過點(1,1)，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線共有()A4條 B3條C2條 D1條解析：選B作圖易得在第一、二、四象限各能圍成一個4(2013·銀川模擬)已知直線l1：x

15、ay60和l2：(a2)x3y2a0，則l1l2的充要條件是a等于()A3 B1C1 D3或1解析：選C由題意知，l1l2，即a1.5直線2xmy13m0，當m變化時，所有直線都過定點()A. B.C. D.解析：選D原方程可化為(2x1)m(y3)0，令解得x，y3，故所有直線都過定點.6設a，b，c分別是ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsin Aayc0與直線bxysin Bsin C0的位置關(guān)系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直解析：選C由已知得a0，sin B0，所以兩條直線的斜率分別為k1，k2，由正弦定理得k1·k2·1，所以兩條直線垂直二、填

16、空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_解析：當時，ktan ；當時，ktan ，0)綜上k，0).答案：，0)8已知直線xky10與直線ykx1平行，則k的值為_解析：若兩直線平行，則k，解得k±1.答案：±19(2013·皖南八校聯(lián)考)已知直線a2xy20與直線bx(a21)y10互相垂直，則|ab|的最小值為_解析：兩直線互相垂直，a2b(a21)0且a0，a2ba21，aba，|ab|a|2(當且僅當a±1時取等號)答案：2三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10設直線l的

17、方程為xmy2m60，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l的斜率為1；(2)直線l在x軸上的截距為3.解：(1)因為直線l的斜率存在，所以m0，于是直線l的方程可化為yx.由題意得1，解得m1.(2)法一：令y0，得x2m6.由題意得2m63，解得m.法二：直線l的方程可化為xmy2m6.由題意得2m63，解得m.11已知兩點A(1,2)，B(m,3)(1)求直線AB的方程；(2)已知實數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍解：(1)當m1時，直線AB的方程為x1，當m1時，直線AB的方程為y2(x1)(2)當m1時，.當m1時，m1，即k(， ，所以.綜合知，直線AB的傾斜角的取值范圍為.1

18、2如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1,0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線yx上時，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點C，由點C在yx上，且A，P，B三點共線得解得m，所以A(， )又P(1,0)，所以kABkAP.所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.1直線l過點(1,2)且與直線3y2x1垂直，則l的方程是()A3x2y10

19、B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解析：選A法一：設所求直線l的方程為3x2yC0，則3×(1)2×2C0，得C1，即l的方程為3x2y10.法二：由題意知，l的斜率是k，則直線l的方程為y2(x1)，即3x2y10.2直線l經(jīng)過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率的取值范圍是()A1<k< Bk>1或k<Ck>或k<1 Dk>或k<1解析：選D設直線的斜率為k，則直線方程為y2k(x1)，令y0，得直線l在x軸上的截距為1，則3<1<3，解得k>或k<1.3已知A(3,0)，B(0,4)，動點P(x，y)在線段AB上移動，則xy的最大值等于_解析：