數(shù)學建模 煤改電煤改氣匯編

1、數(shù)學建模競賽題 目 （A）題 煤改氣煤改電 小組成員1. 2. 3. 年 月 日目錄1.問題重述21.1.引言21.2.問題的提出22.模型假設23.符號說明34.問題分析44.1.問題一分析44.2.問題二分析44.3.問題三分析45.模型建立和解決55.1.問題一的模型建立和解決55.1.1.模型準備55.1.2.模型近似65.1.3.模型的建立75.1.4.模型的解決85.2.問題二的模型建立和解決95.2.1.模型準備95.2.2.模型的建立95.2.3.模型的解決115.3.問題三的模型建立和解決125.3.1.模型準備125.3.2.模型的建立125.3.3.模型的解決136.模型

2、評價及改進146.1.模型評價146.1.1.問題一模型評價146.1.2.問題二模型評價146.1.3.問題三模型評價156.2.模型改進157.參考文獻167.1.1.源程序引索16煤改電煤改氣摘要我國能源供應以煤炭為主，燃煤的利用是把雙刃劍，雖然為我們帶來了巨大的能量供應，但卻同時帶來了大量的煙塵、SO2和NOx等污染物，嚴重污染了我國空氣，為了盡可能地消除不良影響，國務院號召以電代煤以氣代煤，我們要利用數(shù)學知識結合實際情況來做出最優(yōu)的改造方案，第一題我們類比高中時候所學到的恒定功率變速小汽車模型，建立一個散熱速率隨溫差變大而增大的變函數(shù)模型，在通過查詢相關文獻，了解空氣比熱容等數(shù)值，并

3、且對實際情況進行了假設，假設空氣為理想空氣，忽略了其他熱量散失的方式，僅考慮占溫室散失熱能的73%貫流放熱，我們對多種數(shù)據(jù)以及題目所給條件進行整理分析，利用微分方程列出式子，建立了多元一次函數(shù)方程組，并通過編程求出當放熱速率與產熱速率相等時供暖系統(tǒng)的額定功率，進而求出第一題，建立了一個可以較為靈活應用的數(shù)學模型，第二題，因為燃電和燃氣的功率，放熱量等數(shù)值雖然不同，但其所要達成的，為溫室大棚供暖的目的一致，其中的假設，方程類似，所以第一題的數(shù)學模型只需要將C語言程序的部分指令改動下就可以應用到第二題上進行求解。第三題相較于前兩道題需要考慮更多的現(xiàn)實問題，如改造成本，原料成本，是否有改造條件，在保

4、證經濟效益的同時更要保證安全可行，我們查閱相關文獻，發(fā)現(xiàn)這個問題的復雜性遠超想象，由于時間原因我們無法做到面面俱到，但我們能夠對具體情況進行化簡，分析，例如改造方式有很多，但在這里我們僅僅分為“燃氣”“燃電”，不考慮具體改造方式 ，燃料價格波動，我們暫時假設其價格固定不變等，在進行化簡之后，本題第三問成為了簡單的計算成本問題，我們將成本分為改造成本和原料成本，查閱資料我們可以知道，燃煤的價格在800元每噸，是最便宜的，這就意味著無論改造為何種方式，其燃料成本勢必是增加的，因此我們主要考慮的是改造成本，我們查閱相關數(shù)據(jù)知道了改造成為其他方式的供暖設備的具體成本，我們建立了參數(shù)方程組模型，并考慮極

5、限情況（全改燃氣，或者全改燃電），進行成本比較，該題的關鍵是最值，我們要求得成本函數(shù)的最小值，為了簡潔明了，我們擬和一個近似函數(shù)圖像，通過圖像找出最優(yōu)方案。關鍵字：節(jié)能減排 類比模型 實際成本 極限161. 問題重述1.1. 引言我國能源供應以煤炭為主，煤炭在能源消費中的比重偏高，比如2016年還有61.3%，然而燃煤工業(yè)鍋爐作為我國能源大戶，能源浪費相當嚴重，同時燃煤工業(yè)鍋爐還排放大量的煙塵、SO2和NOx等污染物，也是我國大氣主要污染源之一。因此，國務院總理李克強向大會作政府工作報告，在2017年重點工作任務中有“全面實施散煤綜合治理，推進北方地區(qū)冬季清潔取暖，完成以電代煤、以氣代煤300

6、萬戶以上，全部淘汰地級以上城市建成區(qū)燃煤小鍋爐。”我們應該積極響應國家號召，進行“以電代煤、以氣代煤”改造，這對整個國內發(fā)展以及所涉及改造城市的大氣環(huán)境、人居環(huán)境與質量等都具有重要的意義。1.2. 問題的提出在改造過程中，會存在供暖需求量，改造成本，效益與效率等多方面問題，所以必須要找出之間的關系，權衡利弊，找出最有效益，最經濟可行的方案，為了了解“以電代煤、以氣代煤”改造為我們生活帶來的便利與節(jié)能，本文依次提出如下三個問題：（1） 有一個500平米的花木大棚，寬5米長100米，大棚圓弧半徑是2.5米，材質是塑料膜的，需要把燃煤改為電，要求冬季保持溫度在零上10攝氏度，請建模說明，需要多大功率

7、電鍋爐.（2） 問題條件與（1）相同，如果該項目可以把煤改為氣，請建模說明，需要多大功率燃氣鍋爐。（3） 考查市場的實際成本和冬季可能出現(xiàn)的實際情況，為該項目設計一個經濟實惠且安全可行的改造方案。2. 模型假設1,假設室外溫度均衡不變，為-5。2. 空氣視為理想氣體3.在實際問題中，現(xiàn)實的熱量散失途徑很多，其主要途徑為貫流放熱，忽略其他途徑的熱量損失。4.忽略燃煤，燃電等方式升溫空氣對空氣體積，密度，以及對塑料膜的影響3. 符號說明符號意義圓周率，本文中取3.14r大棚底面半徑（m）h大棚的長度（m）V大棚大棚體積（m3）t室內外溫度差（）t室內溫度（）m室內空氣質量（kg）C空氣比熱容（J/

8、(kg·）Q大棚大棚保持10°所需熱量（J）Q末大棚內溫度到達10時的熱值（J/kg）K貫流放熱系數(shù)F維護結構面積（m²）w電單位時間內電鍋爐所做的功（J）w氣單位時間內氣鍋爐所做的功(J)Q2貫流放熱量T時間（s）F牽汽車牽引力（N）f地面對小車的摩擦力(N)m車小車的質量（kg）n維護結構內表面的換熱系數(shù)，通常取8.7W/(m2·°C)；w維護結構外表面的換熱系數(shù)，通常取23.3W/(m2·°C)Rj維護結構第j層材料的熱阻，(m2·°C)/Wj維護結構第j層材料的厚度，(m)j維護結構第j層材料的導

9、熱系數(shù)，W/(m2·°C)4. 問題分析4.1. 問題一分析題目要求建立模型說明需要多大功率的電鍋爐，可以使得花木大棚在冬季保持溫度在零上10，由于大棚內的溫度是持續(xù)上升的，所以我們必須把每一時刻的溫度所對應的熱量微分，最后利用產熱散熱差值等于零時刻時，溫度到達需求值的假設條件，建立起關于熱量，時間，功率的微分方程。最后，根據(jù)對時間的限定，在單位時間內，利用C語言編程函數(shù)式，來求解出電鍋爐的最大功率。4.2. 問題二分析題目要求建立模型說明需要多大功率的氣鍋爐，可以使得花木大棚在冬季保持溫度在零上10。不難看出，對于此問題，和第一問相比較，只存在電與氣的熱交換效率的差異而已

10、，因此，我們可以利用第一問所建立的模型，適當改變參數(shù)，來求解出氣鍋爐的最大功率。4.3. 問題三分析題目要求考慮市場的實際成本和冬季可能的情況，來讓我們設計一個煤改氣改電的最經濟實惠且安全可行的方案。那么這實際是就是讓我們建立一個優(yōu)化模型，最終找出一個最優(yōu)解的問題。首先考慮實際成本，煤改氣的成本在正常情況下比煤改電的成本要低許多，但是由于煤改氣存在著一個天然氣管道的修建問題，其與地形條件與居民居住間隔距離有很大關系，且國家有一個天然氣管道修建安全距離的指標，使得其與安全可行的條件息息相關。也就是說，并不是所有居民都適合煤改氣，所以我們就可以讓一些用戶參與煤改電，而另一些適合煤改氣。而我們所要建

11、立的模型就是在這二者之間找到一個最優(yōu)點，使得在此時的實際成本最低。并且，應對冬季不同的天氣情況與各種可能出現(xiàn)的情況，我們可以找出幾組不同的最優(yōu)解，最后加權平均后得到一個單一的最優(yōu)解?；蛘呤潜Ａ羲袟l件下的最優(yōu)解。5. 模型建立和解決5.1. 問題一的模型建立和解決5.1.1. 模型準備（1）符號說明：圓周率，一般取3.14r：大棚底面半徑（m）h：大棚的長度（m）V：大棚體積（m3）Q大棚：大棚保持10°所需熱量（J）t：室內外溫度差（）m：室內空氣質量（kg）C : 空氣比熱容（J/(kg·）Q末：大棚內溫度到達10時的熱值（J/kg）w電: 單位時間內電鍋爐所做的功（J

12、）K：貫流放熱系數(shù)F：維護結構面積（m²）Q2:貫流放熱量T：時間V大棚：大棚體積 n : 維護結構內表面的換熱系數(shù)，通常取8.7W/(m2·°C)；w : 維護結構外表面的換熱系數(shù)，通常取23.3W/(m2·°C)Rj : 維護結構第j層材料的熱阻，(m2·°C)/W（2）大棚體積的確定根據(jù)題目，500平米的花木大棚，寬5米長100米，大棚圓弧半徑是2.5米，可以求得大棚體積V大棚=r2hV大棚=*2.52*100=1962.5m3（3）保持大棚中溫度所需的熱量的計算可以利用熱量計算公式：，計算出大棚內保持十度所需的熱量Q

13、大棚=10-0*1.205*1962.5*1.01=23884.60625J5.1.2. 模型近似從我們需要用電鍋爐來維持花木大棚的溫度，可以推測出我們需要一個恒定的電鍋爐功率P。我們可以得出維持花木大棚溫度在10時的熱值，根據(jù)牛頓冷卻定律，我們可以知道溫差越大，傳熱越快。據(jù)此我們可以找到當溫差到達一個定值時，當棚內上升溫度t1=傳導散熱溫度t2時，棚內溫度可以維持在10以上，這時的額定電功率P就是我們所需要的。據(jù)此我們不難看出，這個模型與高中物理小車以恒定功率P出發(fā)后逐漸勻速運動的模型所類似。為方便理解，我們做出以下小車運動模型：列出已知公式：F牽 -f=m車a v=aT P=Fv 繪出以下

14、圖形： v(m/s) T(s)可以看出，由于小車P恒定，而v隨T增加而增加，F(xiàn)隨之減小，曲線的導數(shù)為小車加速度也逐漸減小，最終趨于0，而小車的速度也最終趨于一個定值而做勻速運動。那么，我們的大棚溫度維持模型是否也能仿照這個相似模型而建立呢？我們做出以下設想。5.1.3. 模型的建立為幫助理解，我們先做出大棚內溫度t隨時間T變化的示意圖： t() T(s) 我們用以下步驟進行推導：（1） 由已知量得出大棚內溫度到達10時Q末的值。（2） 計算出電鍋爐在恒定功率P下工作所產生的W。 W電=TP 由電鍋爐轉換效率可知： Q1=0.98W W電=1.11Q1 微分可得dQ1=0.98PdT（3） 根據(jù)

15、牛頓冷卻定律，我們可以得出貫流放熱量Q2=KFt2 ，將散熱量Q2微分，可以得到dQ2 又因為t2=t1-（-5），而dt1=(dQ1)/mc,所以dt2=dt1-(-5) 據(jù)此我們可以得出dQ2= KFt2=KF( dt1-(-5) （4） 那么綜上以上分析，我們可以推導得到總式，建立如下模型：Q末=T=0T(dQ1- dQ2)=T=0T(0.98PdT- KFt2) =T=0T(0.98PdT- KF( dt1-(-5)=T=0T(0.98PdT- KF(dQ1)/mc-(-5)即Q末=T=0T(0.98PdT- KF(0.98PdT)/mc-(-5)結合已知條件，從中可以解出我們所需要的

16、電鍋爐功率P5.1.4. 模型的解決查閱相關文獻，得到貫流放熱系數(shù)計算公式： 式中：n維護結構內表面的換熱系數(shù)，通常取8.7W/(m2·°C)； w維護結構外表面的換熱系數(shù)，通常取23.3W/(m2·°C)； Rj維護結構第j層材料的熱阻，(m2·°C)/W。 第j層為固體材料時，固體傳熱是導熱過程，其計算公式： 式中：j維護結構第j層材料的厚度，m； j維護結構第j層材料的導熱系數(shù)，W/(m2·°C)。經過查閱相關資料，貫流放熱系數(shù)K=0.37F=*r*d=3.14*2.5*100=785(m2)運用以上建立的模

17、型，利用codeblock軟件，編程計算不同最終保持溫度下，所需要的最大功率P1，P2，P3，P4，P5（源程序見problem1.c）做出以下表格 溫度功率68101214P12,3,4,517KW22KW28KW33KW39KW據(jù)此推測，電鍋爐維持大棚冬季保持溫度的最大功率PP3,即P28KW5.2. 問題二的模型建立和解決5.2.1. 模型準備(1) 符號說明t：室內外溫度差t：室內溫度（）m：室內空氣質量C:空氣比熱容Q末：大棚內溫度到達10時的熱值K：貫流放熱系數(shù)F：維護結構面積（m²）Q2:貫流放熱量T：時間 W氣：單位時間內氣鍋爐所做的功(J)n : 維護結構內表面的換

18、熱系數(shù)，通常取8.7W/(m2·°C)；w : 維護結構外表面的換熱系數(shù)，通常取23.3W/(m2·°C)Rj : 維護結構第j層材料的熱阻，(m2·°C)/W5.2.2. 模型的建立若把煤改成氣，用氣鍋爐代替供暖的話，在模型的建立方面，我們發(fā)現(xiàn)電鍋爐的熱轉換效率達到了98%左右，而氣鍋爐的效率達到了90%，而在溫室大棚溫度改變的方面卻沒有太大區(qū)別，因此我們可以類比求解電鍋爐功率P時所用的模型，同理得出氣鍋爐的恒定功率P.故我們有以下模型的建立：為幫助理解，我們先做出大棚內溫度t隨時間T變化的示意圖： t() T(s) 我們用以下步驟

19、進行推導：（1） 由已知量得出大棚內溫度到達10時Q末的值。（2） 計算出氣鍋爐在恒定功率P下工作所產生的W。 W=TP 由氣鍋爐轉換效率可知： Q1=0.9W W=1.11Q1 微分可得dQ1=0.9PdT (3) 根據(jù)牛頓冷卻定律，我們可以得出貫流放熱量Q2=KFt2 ，將散熱量Q2微分，可以得到dQ2 。 又因為t2=t1-（-5），而dt1=(dQ1)/mc,所以dt2=dt1-(-5) 據(jù)此我們可以得出dQ2= KFt2=KF( dt1-(-5) (4) 那么綜上以上分析，我們可以推導得到總式，建立如下模型： Q末=T=0T(dQ1- dQ2) =T=0T(0.9PdT- KFt2)

20、 =T=0T(0.9PdT- KF( dt1-(-5) =T=0T(0.9PdT- KF(dQ1)/mc-(-5) 即Q末=T=0T(0.9PdT- KF(0.9PdT)/mc-(-5)結合已知條件，從中可以解出我們所需要的氣鍋爐的功率P5.2.3. 模型的解決同理，模型二的解法與模型一類似：查閱相關文獻，得到貫流放熱系數(shù)計算公式： 式中：n維護結構內表面的換熱系數(shù)，通常取8.7W/(m2·°C)； w維護結構外表面的換熱系數(shù)，通常取23.3W/(m2·°C)； Rj維護結構第j層材料的熱阻，(m2·°C)/W。 第j層為固體材料時，

21、固體傳熱是導熱過程，其計算公式： 式中：j維護結構第j層材料的厚度，m； j維護結構第j層材料的導熱系數(shù)，W/(m2·°C)。經過查閱相關資料，貫流放熱系數(shù)K=0.37F=*r*d=3.14*2.5*100=785(m2)運用以上建立的模型，利用codeblock軟件，編程計算不同最終保持溫度下，所需要的最大功率P1，P2，P3，P4，P5（源程序見附錄problem2.c）.做出以下表格:溫度功率68101214P12,3,4,518KW24KW30KW36KW42KW據(jù)此推測，氣鍋爐維持大棚冬季保持溫度的最大功率PP3,即P30KW5.3. 問題三的模型建立和解決5.3

22、.1. 模型準備(1) 符號說明Q ：氣體從0升溫到30，每戶所需產熱量M煤炭 ：煤炭質量I : 所需用電量(2) 參數(shù)確定（1)假設價格不變，以查詢值為準，經過查詢，我們得知煤炭價格800元每噸，天然氣價格2.4元每立方米，電成本分三檔，第一檔每月小于181度，每度價格為0.47元，181度到280度，每度價格為0.52元，281度以上，每度價格為0.77元（忽略不等時價格的變化）。（2)經查詢可知一千克的燃煤熱值約為29.30兆焦耳，燃煤鍋爐熱效率為70%到80%（按75%），燃煤供暖方式改為燃電供暖所需成本為A，燃煤供暖方式改造為燃氣供暖所需成本為B（3)假設共有300萬戶需要改造，且平

23、均面積為100平方米，高3米，均保持20攝氏度，假設冬季平均氣溫為-10攝氏度 （4）查詢資料可知，電熱器功率一般在800-1000W（取1000W），可求得產熱為3600000J/h，電熱器熱效率在85-95%（取90%）5.3.2. 模型的建立1. 改造成電供暖方式因為無論哪一種供熱方式，其熱能損失的方式，速率不發(fā)生改變，前后相抵消。所以，忽略散熱 假設將氣體從0升溫到30，首先計算每戶所需產熱量Q= 30*1.205*300*1.01=10953.45想要產出此熱量所需煤炭量為M煤炭=（10953.45/3.3*106）/0.75=0.0044256kg 所需電量I=（10953.45/

24、3.6*106）/0.9=0.00338069kw/h考慮實際情況，改造成本為3000到5000（取4000）已知在0-181度電范圍內一度電花費0.47元，一千克煤花費0.8元，所以在相同時間內用煤與用電放出熱量相同時花費相差：0.8*0.004425-0.47*0.00338069=0.00195元所以300萬戶相差0.00195*3000000=5850元而改造成本為3000000*4000=12*109元2. 改成燃氣供暖 天燃氣單價2.5元/m燃燒每立方米天然氣釋放熱能Q氣放=34587KJ燃氣爐熱效率0.9 考慮實際情況，改造成本約為28元每平方米，所以每戶成本為2800

25、假設將氣體從0升溫到30所需燃氣量為 （10953.45/34587000）/0.9=0.00035188立方米所以建立函數(shù)模型，設改造成本為Z，用料成本為N,有A戶改造為燃電，B戶改造為燃氣則：Z=A*4000+B*2800 A+B=30000005.3.3. 模型的解決據(jù)以上建立的模型，我們容易解出兩個特別極端的值，即當A=0時，Z=0*4000+B*28000+B=3000000解得Z1=8.4*109又當B=0時，Z=A*4000+0*2800A+0=3000000解得Z2=1.2*1010顯然Z1<<Z2所以當B=0時一定不可取。但是，當A=0在實際情況總無法滿足，因為根

26、據(jù)調查，會有一些小區(qū)或是住宅區(qū)由于地域偏僻或者是地形復雜，修建天然氣管道的成本會以類似指數(shù)函數(shù)的形式升高，并且在特殊地域上修建天然氣管道不符合安全可行的原則，城建、規(guī)劃、消防等規(guī)范均有明確規(guī)定,"燃氣管道與其他構、建筑物要保持安全距離,不 得違反"，這使得上述理想狀態(tài)下的模型不可用。 所以，我們利用以下優(yōu)化模型進行求解，找到改造電鍋爐和改造氣鍋爐的平衡點。我們作出以下假設：1. 假設改氣鍋爐的戶數(shù)越多，修建天然氣管道越長，修建成本也越高，且與所建立的模型繼續(xù)構成正比關系。2. 假設在不同住戶分布情況下，管道的安全距離不同，所需的修建成本也不同。3. 假設改造電鍋爐的成本是均

27、一的。由此我們可以看出A與B所確定的二元方程組，必然可以繪制出一個類似于二次函數(shù)的曲線，如下圖： Z Z1 B B1圖像中所顯示的凹點所對應的B1，便是該模型的最優(yōu)解，此時的A=（3000000-B1），對應最經濟實惠的價格為Z1如此，我們便得到了一個最優(yōu)的改造方案。6. 模型評價及改進6.1. 模型評價6.1.1. 問題一模型評價問題一建立的是函數(shù)模型，運用了微積分，累加求和的數(shù)學知識，用簡單的物理學中的小車運動問題，來類比此題，使得我們可以用簡單方法解決復雜問題。本模型主要解決了在已知最終維持溫度的條件下，綜合已知數(shù)據(jù)，方程求解額定功率P，最后通過利用單位時間內維持大棚溫度的條件，求解出電鍋爐最大功率P。該模型基于嚴密的數(shù)學推導，求解過程嚴禁，結果可信度高，說服力強。6.1.2. 問題二模型評價問題二建立的也是函數(shù)模型，總體基于問題一所建立的模型，因為改電鍋爐與改氣鍋爐在理想條件下只存在熱轉化效率的差異，所以我們在模型中微調幾個參數(shù)，使得模型符合問題二的要求。同理對氣鍋爐的最大功率P進行類似方法的求解。該模型基于嚴密的數(shù)學推導，求解過程嚴禁，結果可信度高，說服力強。6.1.3. 問題三模型評價問題三建立的模型是一個函數(shù)模型與一個優(yōu)化模型，巧妙地使用了問題所給的開放條件，進行分類討論，進而作出假設條件。利用一個開口向上的類似二次函數(shù)的圖像，找到最低點，即我們所需的