數(shù)學建模之住房的合理定價問題

1、住房的合理定價問題摘要房價的合理性已成為當今社會的熱門話題。本文依照題中所給出的數(shù)據(jù)，對3個問題分別建立模型并求解。針對問題1，首先利用Excel建立圖表，繪制出歷年房價走勢圖。然后，對原始數(shù)據(jù)進行擬合，得出指數(shù)型及多項式型擬合方程，并在原圖上繪制出趨勢線。同時，求出確定性系數(shù)，依據(jù)是否接近于1判斷擬合程度好壞，即檢驗擬合方程的有效性。計算得出的指數(shù)型及二階多項式型擬合方程：、，由此預測出2010年房價分別為元/平米、元/平米。為了增加預測的可靠性，再結(jié)合二次指數(shù)平滑法對2010年房價進行預測。通過比較實際值與預測值的平均偏差值ME的大小，選擇出合適的。預測出2010年的房價為元/平米。最后，

2、建立三元線性回歸模型，將上述三種方法對歷年房價的預測值分別作為自變量、的原始數(shù)據(jù)，以實際房價作為因變量，用Matlab軟件擬合出多元線性方程：。代入相關(guān)數(shù)據(jù)，求出歷年的最終房價預測值為3866元/平米。針對問題2，通過Excel繪制出歷年平均房價與人均GDP的關(guān)系走勢圖，且自動生成對原始數(shù)據(jù)進行擬合后的指數(shù)型和自變量為2階、3階、4階的多項式型擬合方程及各自的確定性系數(shù)。的值分別為：；。由此判斷，因2階多項式型擬合方程的不僅十分接近于1，且相對于3階、4階的多項式方程更為簡便，故選擇：為平均房價與人均GDP的關(guān)系方程。最后，在聯(lián)系當下實際狀況的基礎上對建立的模型進行研究，分析出平均房價與人均G

3、DP的關(guān)系。針對問題3，首先從政府、人民、房地產(chǎn)商三方面分析其各自對房價的要求。然后，利用Excel，并依據(jù)前兩個問題的解決方法求出最合理的歷年人均GDP和平均收入走勢的擬合方程，分別為：；。由此預測出2010年的人均GDP值為21781元、平均年收入為21547元。利用Matlab軟件擬合出以歷年人均GDP和平均年收入的實際值作為自變量，；以歷年平均房價的實際值作為因變量的二元線性回歸方程，將已經(jīng)預測出的2010年人均GDP和平均收入值代入擬合方程，得到2010年平均房價的預測值3928元/平米。最后，再結(jié)合房價收入比等相關(guān)數(shù)據(jù)改善模型。本文最大的特色在于采用多種方法解決問題并對其結(jié)果擬合得

4、到最佳答案。同時結(jié)合國家政策，社會現(xiàn)狀等實際因素改善模型，增強模型的實用性。關(guān)鍵詞：二次指數(shù)平滑、多項式、線性回歸、房價收入比 1.問題的提出電視劇蝸居的熱播不是一個偶然。它的成功，正是在于其所反映的“房奴”問題激發(fā)了廣大老百姓的共鳴。當今社會，房價的急速上漲讓人們不知所措。房價太高，而需房者收入又太低，使得國內(nèi)的房地產(chǎn)業(yè)面臨前所未有的困境。如何遏制房價過快上漲勢頭，使百姓買得起房，房地產(chǎn)商有錢可賺，國家的支柱性產(chǎn)業(yè)得以健康地發(fā)展是放在我們面前的一大難題。以上述背景為基礎，根據(jù)某地區(qū)各年的平均房價、人均GDP、職工平均年收入等數(shù)據(jù)（見表1）解決關(guān)于住房的合理定價問題:表1 某地區(qū)1997200

5、9年房價、GDP、職工收入數(shù)據(jù)表時間：年平均房價：元/平米人均GDP：元平均年收入：元1997767 354051561998895 378351381999995 3916652620001117 4239743420011261 4922847520021437 5560968820031640 63991070320041957 78421138420052244 91161234320062489 108791363020072801 134751555820083096 167371847220093500 1874519820（1）根據(jù)該地區(qū)歷年的平均房價建立模型預測2010年的平

6、均房價。（2）研究該地區(qū)人均GDP與房價的關(guān)系。（3）試建立2010年該地區(qū)的合理房價模型使得百姓、房地產(chǎn)商、政府都比較滿意。2.基本假設1表1中所提供的1997至2009年的平均房價、人均GDP、平均收入值真實有效。2在2010年內(nèi)，無地震、洪災、瘟疫等重大自然災害及戰(zhàn)爭、動亂等人為災難發(fā)生。3在2010年內(nèi)，國內(nèi)經(jīng)濟以固有趨勢穩(wěn)步發(fā)展，無金融危機沖擊，人均GDP保持穩(wěn)定上漲趨勢。4. 針對第1個問題，假設政府沒有出臺任何有關(guān)住房的新政策。3.符號說明符號意義，1997為第1年，1998為第2年以此類推第年平均房價的實際值第年平均房價的第一次平滑值第年平均房價的第二次平滑值（第1問中）201

7、0年平均房價的最終預測值（第2問中）2010年平均房價的最終預測值（第3問中）2010年平均房價的最終預測值平滑系數(shù)由指數(shù)型擬合方程預測的第年平均房價值由二階多項式型擬合方程預測的第年平均房價值由二次指數(shù)平滑法預測的第年平均房價值自時點起向前預測的時點數(shù)；、二次指數(shù)平滑法中的待定系數(shù)、（第1問中）三元線性回歸模型的待定系數(shù)、（第3問中）二元線性回歸模型的待定系數(shù)第年人均GDP的實際值第年人均GDP的預測值第年平均收入的實際值第年平均收入的預測值4.問題分析和模型的建立與求解問題1：1）問題分析Step1:利用Excel軟件，作出1997至2009年的平均房價走勢圖，并添加指數(shù)型及二階多項式型趨

8、勢線。經(jīng)觀察可知，添加的趨勢線與原平均房價的走勢線較為吻合。故使軟件自動生成指數(shù)型及二階多項式型擬合方程，和它們各自的確定性系數(shù)。如下圖：圖1添加指數(shù)型趨勢線的該地區(qū)歷年房價走勢圖圖2 添加二次多項式型趨勢線的該地區(qū)歷年房價走勢圖因分別為和，十分接近于1，故兩擬合方程的擬合程度均很高。利用它們進行2010年，即第14年的平均房價預測具有可很高的參考性。Step2:為了增加預測的可靠性，再利用二次平滑指數(shù)法對2010年平均房價進行預測。首先，要確定的值。選取不同的進行計算，通過由不同值得出的預測數(shù)據(jù)再進行實際值與偏差值的平均偏差大小ME計算。選取ME值較小的作為參加計算的平滑系數(shù)。Step3:建

9、立三元線性回歸模型，將上述三種方法對歷年房價的預測值分別作為自變量、的原始數(shù)據(jù)，以實際房價作為因變量，用Matlab軟件擬合出三元線性回歸方程,使我們所需要的2010平均房價預測值更為精確。2）模型的建立與求解Step1：指數(shù)型擬合方程：其確定性性系數(shù)二階多項式型擬合方程：其確定性性系數(shù) 經(jīng)計算可得：（772，877 ，997，1133，1288，1464，1664，1892，2150，2444，2778，3158，3589）；（779，867，981，1119，1283，1471，1685，1924，2189，2478，2793，3133，3489）；（1，2，313）利用以下公式進行誤差檢

10、驗：其中n=13;可得； 由此判斷該擬合方程誤差很小，預測數(shù)據(jù)具有有效性。其中，；即，用指數(shù)型及二階多項式型擬合方程對2010年的房價預測值分別為4080元/平米；3888元/平米。Step2:指數(shù)平滑法的預測關(guān)系式為:利用上式進行兩次平滑值的計算；再將第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式：確定待定系數(shù)的值；最后將代入公式求出預測值。當求出所有年份的預測值后，利用以下公式進行誤差檢驗：其中n=12。比較ME大小，選ME較小的值。取值為；的初始值為表2 為0.5時的計算數(shù)據(jù)表時間：年平均房價：元/平米：元/平米：元/平米：元/平米1997767 7677671998895 8317997671

11、281999995 91385689510020001117 101593610279020011261 1138103711738820021437 1288116313409720031640 14641314153810220041957 17111513176419320052244 19781746210713720062489 2234199024424720072801 251822092902-10120083096 280725083136-4020093500 31542831340595取值為；的初始值為表3 為0.3時的計算數(shù)據(jù)表時間：年平均房價：元/平米：元/平米：元

12、/平米：元/平米1997767 7677671998895 8057787671281999995 86280384415120001117 93984494617120011261 1036902107518620021437 1156978122721020031640 13011075141023020041957 14981202162433320052244 17221358192132320062489 19521536224224720072801 22071737254625520083096 24741958287821820093500 278221133211289因為，

13、所以將的取值定為0.5.則（767，895，1027，1173，1340，1538，1764，2107，2442，2902，3136，3405），（2，3，4，513）其中即，采用二次指數(shù)平滑法對2010年房價的預測值為3800元/平米。Step3:建立三元線性回歸方程：利用Matlab軟件解上式；可得：將，代入上式；得；即，2010年平均房價的最終預測值是3866元/平米。圖3 對三元線性回歸模型的誤差分析圖從圖中可看出確定性系數(shù)，擬合程度相當高。因此根據(jù)此式得出的2010年平均房價預測值具有很大的參考價值。問題2：1）問題分析及模型的建立 建立如下圖表： 圖4 添加指數(shù)型趨勢線的房價與人均

14、GDP關(guān)系走勢圖圖5 添加二次多項式型趨勢線的房價與人均GDP關(guān)系走勢圖圖6 添加三次多項式型趨勢線的房價與人均GDP關(guān)系走勢圖圖7 添加四次多項式型趨勢線的房價與人均GDP關(guān)系走勢圖由圖4圖7可看出，指數(shù)型和自變量為2階、3階、4階的多項式型擬合方程及各自的確定性系數(shù)。的值分別為：；。因為二次多項式的值既比指數(shù)型擬合方程的更接近于1，且其方程形式比三次，四次多項式的擬合方程更為簡便。故用它反應歷年人均GDP與平均房價的關(guān)系。如下式：2）模型的求解根據(jù)建立的模型，即上式，研究分析該地區(qū)平均房價與人均GDP的關(guān)系。因為該式的二次項系數(shù)小于1，則此方程的圖形為開口向下的拋物線，必有一個最高點。因而

15、，隨著人均GDP的不斷增長，平均房價也在不斷增長（如當下的情況），當人均GDP繼續(xù)增長到某一值時，平均房價達到最高點，且此后隨著人均GDP的不斷增長，房價呈下降趨勢。最近，國家出臺了一系列新的政策，如：在商品價格過高、上漲過快、供應緊張的地區(qū)，商業(yè)銀行可根據(jù)風險狀況，暫停發(fā)放購買第三套及以上住房貸款；對不能提供1年以上當?shù)丶{稅證明或社會保險繳納證明的非本地居民暫停發(fā)放購買住房貸款；二套房首付款不得低于50%，貸款利率不得低于基準利率的1.1倍（工商銀行已于2010年4月16日率先實行此政策）。而當這些政府調(diào)控樓市的政策出臺之后不久，深圳、上海紛紛出現(xiàn)樓市投資者拋盤的情況，更有浙江投資者將上億元

16、的在京樓市投資拋售而出。由此分析得出，這一系列的新政策極大地影響了人們在房產(chǎn)上的消費傾向，在一定程度上削弱了住房的購買量，從而使房地產(chǎn)商會以減少樓市的投資或以降低房價的手段促進樓盤的買賣。綜上所述，以理論模型結(jié)合實際情況進行分析可得出以下結(jié)論：就當前我國的經(jīng)濟發(fā)展狀況來看，我國人均GDP會繼續(xù)保持增長趨勢，平均房價也會隨之增長。但是，由于國家政策的干預，平均房價的增長速度可能會逐漸減慢甚至呈負增長狀態(tài)，不過，這將是政策被實際且廣泛實行一段時間后才可能出現(xiàn)的結(jié)果，在短期內(nèi)房價不會大幅度下降。問題3：1）問題分析要想建立一個合理的房價模型使房地產(chǎn)商、人民、國家都滿意，就必須同時從三方面著手考慮。企

17、業(yè)的根本目的是利潤的最大化。因而，就房地產(chǎn)商而言，高房價與高銷售量成就的高銷售額是他們所追求的終極目標。然而，房價可由房地產(chǎn)商決定，但他們卻決定不了銷售量。銷售量無法提高，贏取利潤便是空談。因此，確定合理的房價對于房地產(chǎn)來說十分必要。因為，房價在很大程度上決定了銷售量的多少。對于普通老百姓而言，房價當然是盡可能越低越好。（不考慮靠“炒房”謀生的人群）。當下，房價的居高不下令許多買房者望而生畏，整個社會中降低房價的呼聲越來越高。針對政府來看，房價高，房地產(chǎn)業(yè)興盛必然會帶動多產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與壯大，從而促進整個國家的經(jīng)濟發(fā)展。但是，過高的房價又必定會引起百姓的怨言。所以，怎樣確定一個既能保持房產(chǎn)業(yè)的繁榮

18、又能滿足百姓的住房需求的合理房價是政府不得不考慮的問題。綜上所述，合理房價的確定不僅要參考歷年平均房價的走勢，也要將以上三個因素考慮在內(nèi)。因此，首先，根據(jù)該地區(qū)歷年人均GDP和平均收入值的數(shù)據(jù)，分別擬合出一個二次多項式方程，通過該方程得到該地區(qū)2010年人均GDP和平均收入的預測值。然后再將該地區(qū)歷年人均GDP和平均收入作為自變量，歷年平均房價作為因變量擬合出二元線性回歸方程。即，在人均GDP及平均收入的影響下，對2010房價進行預測的模型。人均GDP在一定程度上反應出整個國家的經(jīng)濟發(fā)展狀況，而平均收入也在一定程度上映射出該地區(qū)老百姓的購買能力。 最后，結(jié)合國家政策和社會狀況對該模型進一步改善

19、，使其具有實效性。2）模型的建立與求解Step1:圖8 添加二次多項式型趨勢線的歷年人均GDP走勢圖圖9 添加二次多項式型趨勢線的歷年平均年收入走勢圖以上兩圖是通過Excel軟件繪制的該地區(qū)歷年人均GDP和平均收入的走勢圖，并自動生成二次多項式擬合方程合確定性系數(shù)。人均GDP的擬合方程為：平均收入的擬合方程為：通過對與1的接近程度判斷可知，兩擬合方程的擬合程度均很高。代入數(shù)據(jù)可得：；。所以2010年的人均GDP和平均收入的預測值分別為21781元，21547元。Step2:以、作為自變量，作為因變量建立二元線性回歸模型。其中，（1，2，313）。利用Matlab軟件求解，得到擬合方程：代入和，

20、得到即，在人均GDP與平均收入的影響下所預測的2010年房價為3928元/平米。圖10 對二元線性回歸模型的誤差分析圖由上圖可知此二元線性回歸方程的確定性系數(shù)為0.986066。因此判斷該方程的擬合程度很高，誤差較小。但是，3928元/平米的2010年房價預測值并非最終所求的合理房價值。還要經(jīng)過以下步驟的修改后才可最終確定。Step3:以上的房價定制模型只是單純的基于人均GDP和平均收入因素。通過網(wǎng)上收集信息及向峨眉規(guī)劃設計院咨詢，可從以下兩個方面對確定2010年該地區(qū)合理房價的模型進行修改。通過“房價收入比”確定合理房價。所謂“房價收入比”是指住房價格與城市居民家庭年收入之比。國際上通用的房價收入比的計算方式，是以住宅套價的中值，除以家庭年收入的中值。 通過網(wǎng)上查得的數(shù)據(jù)，截至20