走進(jìn)數(shù)學(xué)思維——聽(tīng)鄭毓信教授的學(xué)術(shù)報(bào)告---文本資料

1、聽(tīng)鄭毓信教授的學(xué)術(shù)報(bào)告走進(jìn)數(shù)學(xué)思維2009年 10月 31 日， 我們帶著一種敬仰到西南大學(xué)聆聽(tīng)了南京大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師鄭毓信教授的報(bào)告 走進(jìn)數(shù)學(xué)思維。 鄭老風(fēng)趣幽默又不失嚴(yán)謹(jǐn),他以極富魅力智慧的講座傳遞著最前沿的學(xué)科知識(shí)，數(shù)學(xué)文化和人文素養(yǎng)。鄭老的報(bào)告用精辟深邃的理論和淺顯易懂的語(yǔ)言，深入淺出的引發(fā)了我們對(duì)“走進(jìn)數(shù)學(xué)思維”這一主題的認(rèn)識(shí)和思考，使我從中收益非淺。數(shù)學(xué)思維是一個(gè)持續(xù)的熱點(diǎn)，現(xiàn)實(shí)中的思想障礙與問(wèn)題是：第一， 由于小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，因此就不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維；第二， 在現(xiàn)實(shí)中我們可經(jīng)?？吹健昂?jiǎn)單組合”、 “隨意拔高”等作法。 所以當(dāng)務(wù)之急是如何針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際情

2、況、包括具體的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知水平更為深入去開(kāi)展工作。特別是，概念的清楚界定；如何很好處理具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容（包括知識(shí)與技能）的教學(xué)與數(shù)學(xué)思維的教學(xué)之間的關(guān)系。報(bào)告中鄭教授分五個(gè)部分進(jìn)行闡述：一、從數(shù)學(xué)抽象談起鄭老先給我們呈現(xiàn)了幾個(gè)發(fā)人深省的案例，我在這里摘錄其一。（父：“如果你有一個(gè)橘子，我再給你兩個(gè)，你數(shù)數(shù)看一共有幾個(gè)橘子？”子：“不知道！在學(xué)校里，我們都是用蘋果數(shù)數(shù)的，從來(lái)不用橘子。 ）“數(shù)學(xué)， 對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的一種解讀。 ”數(shù)學(xué)最基本的特性是抽象性。抽象性在簡(jiǎn)單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)。我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)。我們?cè)?/p>

3、學(xué)校學(xué)的是抽象的乘法表總是數(shù)字的乘法表， 而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目，或是蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價(jià)錢等等。學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的首要涵義是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象（模式化）。數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。這就是指， 數(shù)學(xué)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵是應(yīng)超越問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境過(guò)渡到抽象的數(shù)學(xué)模式。（ “去情境化”）數(shù)學(xué)教學(xué)必定包括“去情景化、去個(gè)人化和去時(shí)間化”。 模式化的一個(gè)重要手段是引入適當(dāng)?shù)膱D形或符號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)與具體情境在一定程度上的分離。二、數(shù)學(xué)中的分類分類與思考：數(shù)學(xué)中分類與生活中分類不同。什么是數(shù)學(xué)中的分類？數(shù)學(xué)中又為什么要進(jìn)行分類？分

4、類：1、應(yīng)具有明確的目的性。歸類是數(shù)學(xué)抽象的直接基礎(chǔ)；不同類別的區(qū)分：由簡(jiǎn)到繁、由特殊到一般地去開(kāi)展研究。2、分類問(wèn)題也需要優(yōu)化。（用數(shù)學(xué)家的眼光去看待世界、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。）學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維的又一重要內(nèi)涵：思維的必要優(yōu)化。三、數(shù)學(xué)中的類比類比常常被列為最基本的一種數(shù)學(xué)思維。也就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)中我們常?？梢酝ㄟ^(guò)兩類不同對(duì)象的比較獲得一定的聯(lián)想，包括由已知的結(jié)論引出關(guān)于未知對(duì)象的新的猜測(cè)， 以及由已有的知識(shí)獲得關(guān)于如何求解所面臨的新問(wèn)題的有益啟示等。盡管在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們也可找到類比的諸多應(yīng)用，但同時(shí)又應(yīng)清楚地看到這樣一點(diǎn)： 相對(duì)于簡(jiǎn)單的比較與分類而言，類比應(yīng)當(dāng)說(shuō)代表了更為復(fù)雜的一種思維形式。因

5、為作為類比的對(duì)象必定是兩類不同的對(duì)象，盡管在類比時(shí)也用到了比較，但我們的目的是“觸類旁通”， 即如何能夠通過(guò)找出兩類不同對(duì)象之間的類似之處從而引出一定的聯(lián)想，而聯(lián)想的核心就在于“求同存異”。 “求同”是指， 為了應(yīng)用類比，我們并不需要相關(guān)對(duì)象在所有各個(gè)方面都彼此相似，而只要求兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的；所謂的“存異”則是指新的猜測(cè)的產(chǎn)生并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)、模仿， 而是一種創(chuàng)造性的工作，特別是在由已知事實(shí)去引出新的猜測(cè)時(shí)，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異，并依據(jù)對(duì)象的具體情況作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。正因?yàn)轭惐缺仨氁砸欢ǖ闹R(shí)作為聯(lián)想的基礎(chǔ)，而且要用到“求同存異”這樣一種相當(dāng)復(fù)雜的思維形式

6、，因此， 要求小學(xué)生，特別是低年級(jí)小學(xué)生掌握這樣一種思維方式是十分困難的；毋寧說(shuō)， 我們應(yīng)首先要求學(xué)生較好地掌握簡(jiǎn)單的比較與分類。數(shù)學(xué)思維的合理發(fā)展：歸類-分類f類比（聯(lián)想），成功應(yīng)用類比聯(lián)想的關(guān)鍵是求同存異。為了應(yīng)用類比，我們并不需要相關(guān)的對(duì)象在所有各個(gè)方面都完全一樣，而只要求在這兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的，這就是所謂“求同”，也即如何能在抽象分析的基礎(chǔ)上找出兩個(gè)對(duì)象的“類似之處”，所謂的“存異”則是指新的猜測(cè)的產(chǎn)生并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)、 模仿， 而是一種創(chuàng)造性的工作， 特別是， 在由已知事實(shí)去引出新的猜測(cè)時(shí)，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異。另外， 以下的真實(shí)故事顯然也就表明

7、：與所謂的“集合思想”相比， 要求小學(xué)生掌握分類的思想可能更為恰當(dāng)。四、數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)作為一線數(shù)學(xué)教師我們更應(yīng)加強(qiáng)對(duì)于數(shù)學(xué)方法論（ 更為一般地說(shuō)，就是數(shù)學(xué)思維）的學(xué)習(xí)。 在數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)中，應(yīng)抓住兩套主線：、 問(wèn)題解決與問(wèn)題提出。、概念的生成、分析與組織。應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：就所說(shuō)的學(xué)習(xí)而言，關(guān)鍵不在于“求全”，而是“求用”。五、數(shù)學(xué)思維的教學(xué)我們應(yīng)當(dāng)從事數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，前提： 應(yīng)當(dāng)更為清楚地界定，就小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)習(xí)階段而言究竟什么是相關(guān)的數(shù)學(xué)思維；相對(duì)于專門性的思維教學(xué)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想的滲透，即用數(shù)學(xué)思想的分析指導(dǎo)、帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)。還是來(lái)看一個(gè)案例吧。【案例】“除非它

8、們都能站起來(lái)!這一故事發(fā)生在20 世紀(jì) 60 年代，當(dāng)時(shí)“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”作為風(fēng)靡全球的一次數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)正處于高潮之中，而其核心思想就是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育作出改造。由于集合的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，因此，下述情況的出現(xiàn)就不足為奇了。一個(gè)數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回到家中，父親問(wèn)她今天學(xué)到了什么。女兒高興地回答道：“我們今天學(xué)了集合。”數(shù)學(xué)家覺(jué)得這樣一個(gè)高度抽象的概念，對(duì)于女兒這樣年齡的孩子來(lái)說(shuō)實(shí)在太難理解了，因此就關(guān)切地問(wèn)道： “你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂！一點(diǎn)也不難。”“這么抽象的概念會(huì)這樣容易理解嗎 ?”聽(tīng)了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親仍然放心不下，因此

9、又追問(wèn)道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“老師先讓班上所有的男孩子站起來(lái)，然后告訴大家這就是男孩子的集合；她又讓所有的女孩子站起來(lái)，并說(shuō)這是女孩子的集合；接下來(lái)，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合最后，教師問(wèn)全班：大家是否都懂了? 她得到了肯定的答復(fù)?！憋@然， 這個(gè)教師所采用的教學(xué)方法并沒(méi)有什么問(wèn)題，甚至可以說(shuō)相當(dāng)不錯(cuò)。因此，父親就決定用以下的問(wèn)題作為最后的檢驗(yàn)： “那么， 我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個(gè)集合?”女兒遲疑了一會(huì)，最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來(lái)！” 很天真的孩子，這就是她的理解！我們是否會(huì)在發(fā)笑過(guò)后引發(fā)一些思考？用思維分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)

10、容的教學(xué)的關(guān)鍵應(yīng)該是方法論的重建，從而真正實(shí)現(xiàn)化神奇為平凡、化難為易。我們應(yīng)該使數(shù)學(xué)教學(xué)真正講活、講懂、講深；使數(shù)學(xué)思維真正成為可以理解的、可以學(xué)到手的、和可以加以推廣應(yīng)用的?！爸v活”，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)活動(dòng)向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作， 而不是死的數(shù)學(xué)知識(shí)； “講懂”， 教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗，死記硬背；“講深”，教師不僅應(yīng)幫助學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且也應(yīng)幫助學(xué)生深入領(lǐng)會(huì)并逐漸掌握內(nèi)在的思維方法。在報(bào)告結(jié)束時(shí)，教授還不忘語(yǔ)重心長(zhǎng)地建議我們努力加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維（數(shù)學(xué)方法論）的學(xué)習(xí)， 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思維學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是不要求全，而要求用，也即應(yīng)當(dāng)密切聯(lián)系自己的教學(xué)

11、實(shí)踐去進(jìn)行學(xué)習(xí)，學(xué)以致用。還希望我們能長(zhǎng)期的向著理論指導(dǎo)下的自覺(jué)實(shí)踐方向努力。鄭毓信：培養(yǎng)學(xué)科氣質(zhì)，做大氣的數(shù)學(xué)教師南京大學(xué)哲學(xué)系教授鄭毓信認(rèn)為，數(shù)學(xué)的核心是理性精神 。 無(wú)論課程教學(xué)怎么改革，數(shù)學(xué)教育都要牢牢抓住數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題。什么是數(shù)學(xué)教育的基本問(wèn)題?數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)教育思想。目前我們的數(shù)學(xué)課，在學(xué)科氣質(zhì)上仍有許多不足之處?！氨热缯n堂評(píng)價(jià)語(yǔ)言。我們聽(tīng)得比較多的是，很好，你真棒。這是什么語(yǔ)言?社會(huì)性語(yǔ)言?，F(xiàn)在的關(guān)鍵是怎么從社會(huì)性的用語(yǔ)向?qū)W科性的用語(yǔ)轉(zhuǎn)變。一個(gè)班級(jí)討論文化的塑造必須經(jīng)歷心理的、社會(huì)的、科學(xué)的發(fā)展階段。”而較為嚴(yán)重的問(wèn)題是，作為學(xué)科氣質(zhì)的核心內(nèi)容，思維的深刻性并未受到重視，最明顯的表現(xiàn)是，課堂思考多為即時(shí)型，長(zhǎng)時(shí)思考幾乎為空白，而正是長(zhǎng)時(shí)思考決定了思考的深度。獲諾貝爾獎(jiǎng)的日本數(shù)學(xué)家廣中平佑說(shuō)：“我認(rèn)為思考問(wèn)題的態(tài)度有兩種，一種是花費(fèi)較短時(shí)間的即時(shí)思考型，一種是花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間的長(zhǎng)期思考型，所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對(duì)象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人，但是現(xiàn)在的教育環(huán)境不是一