空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運(yùn)算

1、一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系2已知空間一點(diǎn)已知空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y，z)；(1)與與M點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(2)與與M點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(x，y，z)(x，y，z)2已知空間一點(diǎn)已知空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x，y，z)；(1)與與M點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(2)與與M點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(3)與與M點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(4)與與M點(diǎn)關(guān)于面點(diǎn)關(guān)于面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(5)與與M點(diǎn)關(guān)

2、于面點(diǎn)關(guān)于面xOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(6)與與M點(diǎn)關(guān)于面點(diǎn)關(guān)于面yOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；(7)與與M點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)二、空間向量及其運(yùn)算二、空間向量及其運(yùn)算1 1空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算(1)在空間中，具有在空間中，具有_和和_的量叫做向量的量叫做向量_相相同且同且_相等的有向線段表示同一向量或相等向相等的有向線段表示同一向量或相等向_ _稱為稱為a的相反向量的相反向量(2)空間向量的有

3、關(guān)知識(shí)實(shí)質(zhì)上是平面向量對(duì)應(yīng)的知識(shí)空間向量的有關(guān)知識(shí)實(shí)質(zhì)上是平面向量對(duì)應(yīng)的知識(shí)的推廣，如有關(guān)的概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算律等等的推廣，如有關(guān)的概念、運(yùn)算法則、運(yùn)算律等等2空間向量基本定理：如果三個(gè)向量空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、_，那么對(duì)空間任一向量那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使，使_，其中，其中a，b，c叫做空間的叫做空間的一個(gè)一個(gè)_，a、b、c都叫做基向量都叫做基向量大小大小方向方向方向方向模模與與a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量長(zhǎng)度相等而方向相反的向量不共面不共面pxaybzc基底基底三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算2已知空

4、間兩個(gè)向量已知空間兩個(gè)向量a、b，則，則ab_(向量表示向量表示)_(坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示)3空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用已知已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)判斷垂直：判斷垂直：ababx1x2y1y2z1z2_.x1x2y1y2z1z2|a|b|cosa，ba，b0，01在空間直角坐標(biāo)系中，在空間直角坐標(biāo)系中， 點(diǎn)點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ()A(1,2,3)B(1，2，3)C(1, 2, 3) D(1 ,2, 3)解析解析：點(diǎn)：點(diǎn)P(x，y，z)關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，

5、y，z)答案答案：B2與向量與向量a(1，3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是 ()答案答案：C答案答案：C1建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住“相交于相交于同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線同一點(diǎn)的兩兩垂直的三條直線”，要在題目中找出或構(gòu)，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系垂直關(guān)系(即線線垂直、線面垂直、面面垂直即線線垂直、線面垂直、面面垂直)，同時(shí)要，同時(shí)要注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系在右手空間直角坐標(biāo)系下

6、，點(diǎn)的坐標(biāo)既可根據(jù)圖中在右手空間直角坐標(biāo)系下，點(diǎn)的坐標(biāo)既可根據(jù)圖中有關(guān)線段的長(zhǎng)度，也可根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出有關(guān)線段的長(zhǎng)度，也可根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出2空間向量的知識(shí)和內(nèi)容是在平面向量知識(shí)的基礎(chǔ)空間向量的知識(shí)和內(nèi)容是在平面向量知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以利用類比平面向量的方法解上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以利用類比平面向量的方法解決本節(jié)的很多內(nèi)容決本節(jié)的很多內(nèi)容(1)零向量是一個(gè)特殊向量，在解決問(wèn)題時(shí)要特別注零向量是一個(gè)特殊向量，在解決問(wèn)題時(shí)要特別注意零向量，避免對(duì)零向量的遺漏意零向量，避免對(duì)零向量的遺漏(2)a是一個(gè)向量，若是一個(gè)向量，若0，則，則a0；若；若0，a0，則則a0.(3)討論向量的

7、共線、共面問(wèn)題時(shí)，注意零向量與任討論向量的共線、共面問(wèn)題時(shí)，注意零向量與任意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性(4)數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，即數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，即abbc ac.數(shù)量積的運(yùn)算不適合乘法結(jié)合律，即數(shù)量積的運(yùn)算不適合乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定不一定等于等于a(bc)這是由于這是由于(ab)c表示一個(gè)與表示一個(gè)與c共線的向量，共線的向量，而而a(bc)表示一個(gè)與表示一個(gè)與a共線的向量，而共線的向量，而c與與a不一定共線不一定共線空間向量沒(méi)有除法運(yùn)算空間向量沒(méi)有除法運(yùn)算(5)借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、借助空間向量

8、可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，如：判斷線線平行距離等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，如：判斷線線平行或諸點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為或諸點(diǎn)共線，轉(zhuǎn)化為“ab(b0)ab”；證明線線垂；證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為直，轉(zhuǎn)化為“abab0”，若，若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則轉(zhuǎn)化為計(jì)算，則轉(zhuǎn)化為計(jì)算a1b1a2b2a3b30；在計(jì)算異面；在計(jì)算異面直線所成的角直線所成的角(或線面角、二面角或線面角、二面角)時(shí)，轉(zhuǎn)化為求向量的時(shí)，轉(zhuǎn)化為求向量的兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角與兩異面直線對(duì)應(yīng)的向量與兩異面直線對(duì)應(yīng)的向量a，b的夾角關(guān)系為的夾角關(guān)系為cos |co

9、sa，b|.4運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量的坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；的坐標(biāo)；寫出向量的坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論考點(diǎn)一求點(diǎn)的坐標(biāo)考點(diǎn)一求點(diǎn)的坐標(biāo)【案例案例1】(2009安徽安徽)在空間直角坐標(biāo)系中，已在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，3,1)，點(diǎn)，點(diǎn)M在在y軸上，且軸上，且M到到A與與到到B的距離相等，則的距離相等，則M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是_關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：設(shè)出：設(shè)出M點(diǎn)的坐

10、標(biāo)后利用空間兩點(diǎn)間的距點(diǎn)的坐標(biāo)后利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解離公式求解解析解析：本題主要考查空間兩點(diǎn)距離的計(jì)算：本題主要考查空間兩點(diǎn)距離的計(jì)算設(shè)設(shè)M(0，y,0)，因，因|MA|MB|，由空間兩點(diǎn)間距離，由空間兩點(diǎn)間距離公式得公式得1y241(y3)21，解得，解得y1.答案答案：(0，1,0)(即時(shí)鞏固詳解為教師用書獨(dú)有即時(shí)鞏固詳解為教師用書獨(dú)有)【案例案例2】如圖，已知正方體如圖，已知正方體ABCDABCD的棱的棱長(zhǎng)為長(zhǎng)為a，M為為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)N在在AC上，且上，且|AN|3|NC|，試求試求MN的長(zhǎng)的長(zhǎng)關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系后再求出各點(diǎn)的坐：建立空間直角坐標(biāo)系后

11、再求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出標(biāo)，然后求出MN的長(zhǎng)的長(zhǎng)解解：以：以D為原點(diǎn)，建立如圖所為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為a，所以所以B(a，a,0)，A(a,0，a)，C(0，a，a)，D(0,0，a)【即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固1】如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD為正方形，為正方形，且邊長(zhǎng)為且邊長(zhǎng)為2a，棱，棱PD底面底面ABCD，PD2b，取各側(cè)棱的中點(diǎn)，取各側(cè)棱的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，寫出點(diǎn)寫出點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)的坐標(biāo)解解：由圖形知，：由圖形知，DADC，DCDP，DPDA，故，故以以D為原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系為

12、原點(diǎn)，建立如圖空間坐標(biāo)系Dxyz.因?yàn)橐驗(yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為側(cè)棱中點(diǎn)，由立體幾何知識(shí)可知，平面分別為側(cè)棱中點(diǎn)，由立體幾何知識(shí)可知，平面EFGH與與底面底面ABCD平行，從而這平行，從而這4個(gè)點(diǎn)的豎坐標(biāo)都為個(gè)點(diǎn)的豎坐標(biāo)都為P的豎坐標(biāo)的的豎坐標(biāo)的一半，也就是一半，也就是b.由由H為為DP中點(diǎn)，得中點(diǎn)，得H(0,0，b)E在底面上的投影為在底面上的投影為AD中點(diǎn)，所以中點(diǎn)，所以E的橫坐標(biāo)和縱的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為坐標(biāo)分別為a和和0，所以，所以E(a,0，b)，同理，同理G(0，a，b)；F在在坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面xOz和和yOz上的投影分別為點(diǎn)上的投影分別為點(diǎn)E和和G，故，故F與與E橫坐橫坐標(biāo)相同都是標(biāo)相同都是a，與，與G的縱坐標(biāo)也同為的縱坐標(biāo)也同為a，又，又F的豎坐標(biāo)為的豎坐標(biāo)為b，故故F(a，a，b)考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用考點(diǎn)二空間向量基本定理的應(yīng)用關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：利用空間向量基本定理將所求向量表示成：利用空間向量基本定理將所求向量表示成已知向量的形式已知向量的形式答案答案：B【即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固3】如圖所示，在如圖所示，在60的二面角的二面角AB中，中，AC，BD，且，且ACAB，BDAB，垂足分，垂足分別為別為A、B，已知，已知ABACBDa，求，求線段線段CD的長(zhǎng)的長(zhǎng)考點(diǎn)三證明垂直問(wèn)題考點(diǎn)三證明垂直問(wèn)題(1)求證：求證：EFB1C；(2