第9章 傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性ok

1、第第9 9章章 傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性第第9 9章章 傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性史密斯史密斯- -麥克米倫形麥克米倫形傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠處的極點和零點傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠處的極點和零點傳遞函數(shù)矩陣的評價值傳遞函數(shù)矩陣的評價值傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項式基傳遞函數(shù)矩陣的零空間和最小多項式基傳遞函數(shù)矩陣的虧數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的虧數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性是復(fù)頻域分析和綜合的基礎(chǔ)傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)特性是復(fù)頻域分析和綜合的基礎(chǔ)n極點和零點的分布屬性極點和零

2、點的分布屬性 決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運動行為決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運動行為n極點和零點的不平衡屬性極點和零點的不平衡屬性 反映系統(tǒng)的奇異特性和奇異程度反映系統(tǒng)的奇異特性和奇異程度重點掌握的內(nèi)容重點掌握的內(nèi)容nSmith-McMillan型型n極點和零點極點和零點n結(jié)構(gòu)指數(shù)結(jié)構(gòu)指數(shù)9.1 史密斯史密斯-麥克米倫形麥克米倫形定義定義當且僅當秩為當且僅當秩為r的的qp有理分式矩陣有理分式矩陣M(s)具有如下形式：具有如下形式：其中，其中， i(s), i(s)為互質(zhì)，為互質(zhì)， i=1, 2, , r ； 滿足整除性滿足整除性i+1(s)| i(s)和和i(s)|i+1(s)，i=1, 2, , r-1000

3、)()()()()()()(2211sssssssMrrSmith-McMillan型構(gòu)造原理型構(gòu)造原理對于對于qp有理分式矩陣有理分式矩陣G(s)，設(shè)，設(shè) r = Rank G(s) minq, p則必存在則必存在qq和和pp單模陣單模陣U(s)、V(s)，使得變換后傳遞函數(shù)，使得變換后傳遞函數(shù)矩陣矩陣U(s)G(s)V(s)為為Smith-McMillan型型例：導(dǎo)出下列例：導(dǎo)出下列22嚴格真有理分式矩陣嚴格真有理分式矩陣G(s)的的Smith-McMillan型型解：首先定出解：首先定出G(s)各元有理分式最小公分母各元有理分式最小公分母d(s)和相應(yīng)分子多項和相應(yīng)分子多項式矩陣式矩陣N

4、(s)，有，有 22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG22222)1()1()1()(,)2()1()(ssssssssNsssd進而，取單模陣對進而，取單模陣對U(s)、V(s)，10)1(1)(,1)1(01)(22ssVssU)()(1sNsd222222)2()1()2()1(00)2()1()()()()()(1)(sssssssssVsGsUssdsM本例得到的本例得到的Smith-McMillan型型M(s)不再保持為嚴格真不再保持為嚴格真)2()1(0010)1(1)1()1()1(1)1(01)()()()(2222222sssssssssssss

5、sVsNsUs200)2()1()()()()(222ssssssVsGsUsM化化N(s)為為Smith型型 (1) Smith-McMillan型型M(s)的惟一性的惟一性 有理分式矩陣有理分式矩陣G(s)的的Smith-McMillan型型M(s)為惟一。為惟一。 (4) 非奇異非奇異G(s)的屬性的屬性 對對qq非奇異有理分式矩陣非奇異有理分式矩陣G(s)，下列等式成立：，下列等式成立：其中，其中，為非零常數(shù)。為非零常數(shù)。)()()(det1sssGiiqi (3) Smith-McMillan型型M(s)的非保真性的非保真性 嚴真性有理分式矩陣嚴真性有理分式矩陣G(s)的的Smith

6、-McMillan型型M(s)不保持嚴真性，不保持嚴真性，M(s)甚至可能為非真性。甚至可能為非真性。 注：導(dǎo)致注：導(dǎo)致M(s)非保真性的原因是，單模變換陣對非保真性的原因是，單模變換陣對U(s)，V(s)的引入，的引入，可能會在可能會在M(s)中附加引入乘子中附加引入乘子sk，k = 1, 2, 。如前例。如前例7-5。 (2) 將將G(s)化成化成M(s)的單模陣對的單模陣對U(s)，V(s)不惟一性不惟一性 化有理分式矩陣化有理分式矩陣G(s)為為Smith-McMillan型型M(s)的單模陣對的單模陣對U(s)，V(s)不惟一。不惟一。Smith-McMillan型的基本特性型的基本

7、特性 (5) M(s)的的MFD表示：表示： 對秩為對秩為r的的qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其，其Smith-McMillan型型M(s)為為 則可將則可將M(s)表示為右表示為右MFD， M(s) = Er(s)r-1(s) 如若引入如若引入000)()()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrrrprrrprqrrIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21 (5) M(s)的的MFD表示：表示： 對秩為對秩為r的的qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其，其Smith-McMillan型型M(s)為為 000)(

8、)()()()()()()()()(2211sssssssVsGsUsMrr則可將則可將M(s)表示為左表示為左MFD， M(s) = l-1(s)El(s) rqrlrprqrlIssssssssE00)()()()(,000)()()()(21)()(21 (6) G(s)基于基于Smith-McMillan型型M(s)的不可簡約的不可簡約MFD： 對對qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其，其Smith-McMillan型為型為M(s)，單模變換陣對，單模變換陣對為為U(s)，V(s)，M(s)的右的右MFD和左和左MFD為為 M(s) = Er(s)r-1(s) 和和 M(s) =

9、l-1(s)El(s)若取若取 Nr(s) = U-1(s)Er(s) ， Dr(s) = V(s)r(s) 則則Nr(s)Dr-1(s)為為G(s)的不可簡約右的不可簡約右MFD。若取。若取 Nl(s) = El(s)V-1(s) ， Dl(s) = l(s)U(s) 則則Dl-1(s)Nl(s)為為G(s)的不可簡約左的不可簡約左MFD。9.2 傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點MIMO線性時不變系統(tǒng)的極點、零點線性時不變系統(tǒng)的極點、零點n有限極點零點有限極點零點n無窮遠處極點零點無窮遠處極點零點 考慮考慮qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)， r = Ran

10、k G(s) minq, p，導(dǎo)出其，導(dǎo)出其Smith-McMillan型為型為M(s)為為000)()()()()()()(2211sssssssMrr傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點傳遞函數(shù)矩陣的有限極點和有限零點對秩為對秩為r的的qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)，Smith-McMillan型型M(s)有有 G(s)有限極點有限極點 = “M(s)中中 i(s) = 0 根，根， i=1, 2, , r ” G(s)有限零點有限零點 = “M(s)中中 i(s) = 0 根，根， i=1, 2, , r ” 解：解：G(s)的的Smith-McMillan型型M(s)為為例：求例：求

11、22傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)的有限極點和有限零點的有限極點和有限零點22222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssMG(s)有限極點有限極點G(s)有限零點有限零點s = -1 (二重二重)， s = -2 (三重三重)s = 0 (三重三重) 說明說明(1) 適用性適用性 只適用于傳遞函數(shù)矩陣只適用于傳遞函數(shù)矩陣G(s)在有限復(fù)數(shù)平面上的極、零點在有限復(fù)數(shù)平面上的極、零點 不適用于不適用于G(s)在無窮遠處的極、零點在無窮遠處的極、零點(2) G(s)極點、零點分布的特點極點、零點分布的特點 與與SISO線性定常系統(tǒng)的標量傳

12、遞函數(shù)線性定常系統(tǒng)的標量傳遞函數(shù)g(s)不同不同 MIMO線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣G(s)的極點、零點可位的極點、零點可位于復(fù)平面上的同一位置上而不構(gòu)成對消。于復(fù)平面上的同一位置上而不構(gòu)成對消。對對qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)，設(shè) r = Rank G(s) minq, p 表表Nr(s)Dr-1(s)和和Dl-1(s)Nl(s)為為G(s)任一不可簡約右任一不可簡約右MFD和任一不和任一不可簡約左可簡約左MFD，則，則 G(s)有限極點有限極點 = “detDr(s) = 0 根根”或或“detDl(s) = 0 根根” G(s)有限零點有限零點 =

13、“Rank Nr(s) r 的的s值值”或或“Rank Nl(s) r 的的s值值” 極點零點的推論性定義極點零點的推論性定義1例：求出傳遞函數(shù)矩陣例：求出傳遞函數(shù)矩陣G(s)= Nr(s)Dr-1(s) ，Rank G(s)=2的有限極、零點的有限極、零點解：解：1)12)(1(0)(,1120)1()(3sssssDssssNrrDr(s), Nr(s)為右互質(zhì)為右互質(zhì)Nr(s)Dr-1(s)為為G(s)的一個不可簡約右的一個不可簡約右MFDG(s)有限極點有限極點G(s)有限零點有限零點detDr(s) = s3(-s+1) = 0 根根s = 0 (三重三重)， s = 1Rank N

14、r(s) 2 的的s值值s = 0，s = -10CBAsI極點零點的推論性定義極點零點的推論性定義2 對對qp嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，設(shè)其外部等價的任一狀態(tài)空，設(shè)其外部等價的任一狀態(tài)空間描述為間描述為A nn, B nn, C nn，A，B完全可控，完全可控， A，C完全可觀測，則有完全可觀測，則有G(s)有限極點有限極點 = “det(sI - A) = 0 根根”G(s)有限零點有限零點 = 使使 降秩的降秩的s值值 對對qp嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣嚴格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，表其所屬線性時不變系，表其所屬線性時不變系統(tǒng)的一個可控和可觀測狀態(tài)空間描述為統(tǒng)的一個可控和可觀測

15、狀態(tài)空間描述為A，B，C，z0為為G(s)的的任一零點，則對滿足關(guān)系式：任一零點，則對滿足關(guān)系式：的所有非零初始狀態(tài)的所有非零初始狀態(tài)x0和所有非零常向量和所有非零常向量u0，系統(tǒng)輸出對形如，系統(tǒng)輸出對形如的一類輸入向量函數(shù)的一類輸入向量函數(shù)具有阻塞作用具有阻塞作用，即其所引起的系統(tǒng)強制輸，即其所引起的系統(tǒng)強制輸出出y(t) 0。0000)(0BuxAIzCxtzeutu00)(對零點的直觀解釋對零點的直觀解釋n極點決定系統(tǒng)輸出運動組成分量的模式極點決定系統(tǒng)輸出運動組成分量的模式n零點反映系統(tǒng)對與零點關(guān)聯(lián)的一類輸入函數(shù)具有阻塞性零點反映系統(tǒng)對與零點關(guān)聯(lián)的一類輸入函數(shù)具有阻塞性9.3 傳遞函數(shù)矩

16、陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)傳遞函數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)指數(shù)結(jié)構(gòu)指數(shù)的定義結(jié)構(gòu)指數(shù)的定義對對qp傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)， r = Rank G(s) minq, p，表，表 Spz = G(s)的有限極點和有限零點的集合的有限極點和有限零點的集合 那么，若對任一那么，若對任一k Spz導(dǎo)出對應(yīng)的導(dǎo)出對應(yīng)的rr對角陣：對角陣：則稱則稱1(k), , r(k)為為G(s)在在 s = k 的一組結(jié)構(gòu)指數(shù)。的一組結(jié)構(gòu)指數(shù)。)()()()()(1krkkkksssM例：求傳遞函數(shù)矩陣例：求傳遞函數(shù)矩陣G(s)在各個極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)在各個極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)解解 ：r = Rank G(s) = 2， G(s)的的

17、Smith-McMillan型為型為G(s)極點和零點集合極點和零點集合 Spz = -2， -1，0進而，直接由進而，直接由Smith-McMillan型型M(s)，即可定出，即可定出nG(s)在在“s = -2” 結(jié)構(gòu)指數(shù)結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(-2) ，2(-2) = -2，-1nG(s)在在“s = -1” 結(jié)構(gòu)指數(shù)結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(-1) ，2(-1) = -2， 0nG(s)在在“s = 0” 結(jié)構(gòu)指數(shù)結(jié)構(gòu)指數(shù) 1(0) ，2(0) = 1， 222222)2()2()2()2()1()(ssssssssssG200)2()1()(222ssssssM對結(jié)構(gòu)指數(shù)的討論對結(jié)構(gòu)指數(shù)的討論給定給定G(

18、s)在在 s = k 的結(jié)構(gòu)指數(shù)組的結(jié)構(gòu)指數(shù)組1(k), , r(k)，對對i(k)，有，有ni(k) = 正整數(shù)正整數(shù) G(s) 在在 s = k 有有i(k)個零點個零點 ni(k) = 負整數(shù)負整數(shù) G(s) 在在 s = k 有有| i(k)|個極點個極點 ni(k) = 零零 G(s) 在在 s = k 無極點和零點無極點和零點 給定給定G(s)在在 s = k 的結(jié)構(gòu)指數(shù)組的結(jié)構(gòu)指數(shù)組1(k), , r(k)，則有，則有 G(s) 在在“s = k ”極點重數(shù)極點重數(shù) = 1(k), , r(k)中中負負指數(shù)之和的指數(shù)之和的 絕對值絕對值 G(s) 在在“s = k ”零點重數(shù)零點重數(shù) = 1(k), , r(k)中中正正指數(shù)之和指數(shù)之和 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)在非極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)必恒為在非極點零點處的結(jié)構(gòu)指數(shù)必恒為0。即，給。即，給定定G(s) ，若，若 Spz為任意有限值，則有為任意有限值，則有 i() = 0，i = 1, 2, , r 基于結(jié)構(gòu)指數(shù)的基于結(jié)