工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第五版答案04

1、第四章向量組的線性相關(guān)性 1. 設(shè)v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3. 解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T. 3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3´1+2´0-3, 3´1+2´1-4, 3´0+2´1-0)T =(0, 1, 2)T. 2. 設(shè)3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求

2、a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T. 解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 =(1, 2, 3, 4)T. 3. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 證明B組能由A組線性表示, 但A組不能由B組線性表示. 證明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B組能由A組線性表示. 由 知R

3、(B)=2. 因為R(B)¹R(B, A), 所以A組不能由B組線性表示. 4. 已知向量組 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 證明A組與B組等價. 證明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 顯然在A中有二階非零子式, 故R(A)³2, 又R(A)£R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 從而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A組與B組等價. 5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 證

4、明 (1) a1能由a2, a3線性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3線性表示. 證明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4線性無關(guān), 故a2, a3也線性無關(guān). 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3線性相關(guān), 故a1能由a2, a3線性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3線性表示, 則因為a1能由a2, a3線性表示, 故a4能由a2, a3線性表示, 從而a2, a3, a4線性相關(guān), 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3線性表示. 6. 判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān): (1) (-1, 3, 1)T, (2,

5、 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所給向量為列向量的矩陣記為A. 因為 , 所以R(A)=2小于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相關(guān). (2)以所給向量為列向量的矩陣記為B. 因為 , 所以R(B)=3等于向量的個數(shù), 從而所給向量組線性相無關(guān). 7. 問a取什么值時下列向量組線性相關(guān)？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所給向量為列向量的矩陣記為A. 由 知, 當(dāng)a=-1、0、1時, R(A)<3, 此時向量組線性相關(guān).

6、 8. 設(shè)a1, a2線性無關(guān), a1+b, a2+b線性相關(guān), 求向量b用a1, a2線性表示的表示式. 解 因為a1+b, a2+b線性相關(guān), 故存在不全為零的數(shù)l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 由此得 , 設(shè), 則 b=ca1-(1+c)a2, cÎR. 9. 設(shè)a1, a2線性相關(guān), b1, b2也線性相關(guān), 問a1+b1, a2+b2是否一定線性相關(guān)？試舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當(dāng)a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T時, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2

7、+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的對應(yīng)分量不成比例, 是線性無關(guān)的. 10. 舉例說明下列各命題是錯誤的: (1)若向量組a1, a2, × × ×, am是線性相關(guān)的, 則a1可由a2, × × ×, am線性表示. 解 設(shè)a1=e1=(1, 0, 0, × × ×, 0), a2=a3= × × × =am=0, 則a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), 但a1不能由a2, ×

8、; × ×, am線性表示. (2)若有不全為0的數(shù)l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0成立, 則a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性相關(guān). 解 有不全為零的數(shù)l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam +l1b1+

9、× × × +lmbm =0,原式可化為l1(a1+b1)+ × × × +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, × × ×, am=em=-bm, 其中e1, e2, × × ×, em為單位坐標(biāo)向量, 則上式成立, 而a1, a2, × × ×, am和b1, b2, × × ×, bm均線性無關(guān). (3)若只有當(dāng)l1, l2, × × ×, lm全

10、為0時, 等式l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0才能成立, 則a1, a2, × × ×, am線性無關(guān), b1, b2, × × ×, bm亦線性無關(guān). 解 由于只有當(dāng)l1, l2, × × ×, lm全為0時, 等式由l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm =0成立, 所以只有當(dāng)l1, l2, × &#

11、215; ×, lm全為0時, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ × × × +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, × × ×, am+bm線性無關(guān). 取a1=a2= × × × =am=0, 取b1, × × ×, bm為線性無關(guān)組, 則它們滿足以上條件, 但a1, a2, × × ×, am線性相關(guān). (4)若a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), b1, b

12、2, × × ×, bm亦線性相關(guān), 則有不全為0的數(shù), l1, l2, × × ×, lm使l1a1+ × × × +lmam=0, l1b1+ × × × +lmbm=0同時成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T, l1a1+l2a2 =0Þl1=-2l2,l1b1+l2b2 =0Þl1=-(3/4)l2,Þl1=l2=0, 與題設(shè)矛盾. 11. 設(shè)b1=a1+a2, b2=a

13、2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 證明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 證明 由已知條件得 a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,于是 a1 =b1-b2+a3 =b1-b2+b3-a4 =b1-b2+b3-b4+a1,從而 b1-b2+b3-b4=0, 這說明向量組b1, b2, b3, b4線性相關(guān). 12. 設(shè)b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量組a1, a2, × × 

14、5; , ar線性無關(guān), 證明向量組b1, b2, × × × , br線性無關(guān). 證明 已知的r個等式可以寫成,上式記為B=AK. 因為|K|=1¹0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 從而向量組b1, b2, × × × , br線性無關(guān). 13. 求下列向量組的秩, 并求一個最大無關(guān)組: (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1與a2的分量不成比例, 故a1, a2線

15、性無關(guān), 所以a1, a2是一個最大無關(guān)組. (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, -1, -5, -6), a3T=(1, -3, -4, -7). 解 由, 知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因為向量a1T與a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T線性無關(guān), 所以a1T, a2T是一個最大無關(guān)組. 14. 利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組: (1); 解 因為,所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組. (2). 解 因為,所以第1、2、3列構(gòu)成一個最大無關(guān)組. 15. 設(shè)向量組(a, 3, 1)T, (2, b, 3

16、)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩為2, 求a, b. 解 設(shè)a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因為, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 16. 設(shè)a1, a2, × × ×, an是一組n維向量, 已知n維單位坐標(biāo)向量e1, e2,× × ×, en能由它們線性表示, 證明a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 證法一 記A=(a1, a2, ×

17、× ×, an), E=(e1, e2,× × ×, en). 由已知條件知, 存在矩陣K, 使E=AK. 兩邊取行列式, 得|E|=|A|K|.可見|A|¹0, 所以R(A)=n, 從而a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 證法二 因為e1, e2,× × ×, en能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 所以R(e1, e2,× × ×, en)£R(a1, a2, × &#

18、215; ×, an),而R(e1, e2,× × ×, en)=n, R(a1, a2, × × ×, an)£n, 所以R(a1, a2, × × ×, an)=n, 從而a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 17. 設(shè)a1, a2, × × ×, an是一組n維向量, 證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是: 任一n維向量都可由它們線性表示. 證明 必要性: 設(shè)a為任一n維向量. 因為a1, a2, × &#

19、215; ×, an線性無關(guān), 而a1, a2, × × ×, an, a是n+1個n維向量, 是線性相關(guān)的, 所以a能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一n維向量都可由a1, a2, × × ×, an線性表示, 故單位坐標(biāo)向量組e1, e2, × × ×, en能由a1, a2, × × ×, an線性表示, 于是有n=R(e1, e2, × × ×,

20、en)£R(a1, a2, × × ×, an)£n,即R(a1, a2, × × ×, an)=n, 所以a1, a2, × × ×, an線性無關(guān). 18. 設(shè)向量組a1, a2, × × ×, am線性相關(guān), 且a1¹0, 證明存在某個向量ak (2£k£m), 使ak能由a1, a2, × × ×, ak-1線性表示. 證明 因為a1, a2, × × ×,

21、am線性相關(guān), 所以存在不全為零的數(shù)l1, l2, × × ×, lm, 使l1a1+l2a2+ × × × +lmam=0,而且l2, l3,× × ×, lm不全為零. 這是因為, 如若不然, 則l1a1=0, 由a1¹0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2£k£m), 使lk¹0, lk+1=lk+2= × × × =lm=0,于是 l1a1+l2a2+ × × × +lkak=0,ak=-(1/lk

22、)(l1a1+l2a2+ × × × +lk-1ak-1),即ak能由a1, a2, × × ×, ak-1線性表示. 19. 設(shè)向量組B: b1, × × ×, br能由向量組A: a1, × × ×, as線性表示為(b1, × × ×, br)=(a1, × × ×, as)K, 其中K為s´r矩陣, 且A組線性無關(guān). 證明B組線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)=r. 證明令B=(b1, &#

23、215; × ×, br), A=(a1, × × ×, as), 則有B=AK. 必要性: 設(shè)向量組B線性無關(guān). 由向量組B線性無關(guān)及矩陣秩的性質(zhì), 有 r=R(B)=R(AK)£minR(A), R(K)£R(K), 及 R(K)£minr, s£r.因此R(K)=r. 充分性: 因為R(K)=r, 所以存在可逆矩陣C, 使為K的標(biāo)準形. 于是 (b1, × × ×, br)C=( a1, × × ×, as)KC=(a1, × &

24、#215; ×, ar). 因為C可逆, 所以R(b1, × × ×, br)=R(a1, × × ×, ar)=r, 從而b1, × × ×, br線性無關(guān). 20. 設(shè),證明向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn等價. 證明 將已知關(guān)系寫成,將上式記為B=AK. 因為,所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量組a1, a2, × × 

25、15;, an與向量組b1, b2, × × ×, bn可相互線性表示. 因此向量組a1, a2, × × ×, an與向量組b1, b2, × × ×, bn等價. 21. 已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x=3Ax-A2x, 且向量組x, Ax, A2x線性無關(guān). (1)記P=(x, Ax, A2x), 求3階矩陣B, 使AP=PB; 解 因為 AP=A(x, Ax, A2x) =(Ax, A2x, A3x) =(Ax, A2x, 3Ax-A2x) , 所以. (2)求|A|. 解 由A3x=3A

26、x-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因為x, Ax, A2x線性無關(guān), 故3x-Ax-A2x¹0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)<3, |A|=0. 22. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: (1); 解對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有 , 于是得 . 取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(-16, 3)T; 取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(-16, 3, 4, 0)T, x2=(0, 1, 0, 4)T. (2). 解 對系數(shù)矩陣進行初等行變換, 有

27、, 于是得 . 取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(-2, 14)T; 取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(-2, 14, 19, 0)T, x2=(1, 7, 0, 19)T. (3)nx1 +(n-1)x2+ × × × +2xn-1+xn=0. 解 原方程組即為xn=-nx1-(n-1)x2- × × × -2xn-1. 取x1=1, x2=x3= × × × =xn-1=0, 得xn=-n;

28、 取x2=1, x1=x3=x4= × × × =xn-1=0, 得xn=-(n-1)=-n+1; × × × ; 取xn-1=1, x1=x2= × × × =xn-2=0, 得xn=-2. 因此方程組的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 0, 0, × × ×, 0, -n)T, x2=(0, 1, 0, × × ×, 0, -n+1)T, × × ×, xn-1=(0, 0, 0, × × ×

29、;, 1, -2)T. 23. 設(shè), 求一個4´2矩陣B, 使AB=0, 且R(B)=2. 解 顯然B的兩個列向量應(yīng)是方程組AB=0的兩個線性無關(guān)的解. 因為 , 所以與方程組AB=0同解方程組為 . 取(x3, x4)T=(8, 0)T, 得(x1, x2)T=(1, 5)T; 取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(-1, 11)T. 方程組AB=0的基礎(chǔ)解系為 x1=(1, 5, 8, 0)T, x2=(-1, 11, 0, 8)T. 因此所求矩陣為. 24. 求一個齊次線性方程組, 使它的基礎(chǔ)解系為x1=(0, 1, 2, 3)T , x2=(3, 2

30、, 1, 0)T . 解 顯然原方程組的通解為, 即, (k1, k2ÎR), 消去k1, k2得,此即所求的齊次線性方程組. 25. 設(shè)四元齊次線性方程組 I: , II: . 求: (1)方程I與II的基礎(chǔ)解系; (2) I與II的公共解. 解 (1)由方程I得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, 1)T. 因此方程I的基礎(chǔ)解系為 x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(-1, 1, 0, 1)T. 由方程II得. 取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(

31、x1, x2)T=(0, 1)T; 取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T. 因此方程II的基礎(chǔ)解系為 x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(-1, -1, 0, 1)T. (2) I與II的公共解就是方程 III: 的解. 因為方程組III的系數(shù)矩陣 , 所以與方程組III同解的方程組為 . 取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程組III的基礎(chǔ)解系為 x=(-1, 1, 2, 1)T. 因此I與II的公共解為x=c(-1, 1, 2, 1)T, cÎR. 26. 設(shè)n階矩陣A滿足A2=A, E為n階

32、單位矩陣, 證明R(A)+R(A-E)=n. 證明 因為A(A-E)=A2-A=A-A=0, 所以R(A)+R(A-E)£n. 又R(A-E)=R(E-A), 可知R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)³R(A+E-A)=R(E)=n,由此R(A)+R(A-E)=n. 27. 設(shè)A為n階矩陣(n³2), A*為A的伴隨陣, 證明. 證明 當(dāng)R(A)=n時, |A|¹0, 故有 |AA*|=|A|E|=|A|¹0, |A*|¹0, 所以R(A*)=n. 當(dāng)R(A)=n-1時, |A|=0, 故有 AA*=|A|E=0,即A*的列

33、向量都是方程組Ax=0的解. 因為R(A)=n-1, 所以方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中只含一個解向量, 即基礎(chǔ)解系的秩為1. 因此R(A*)=1. 當(dāng)R(A)£n-2時, A中每個元素的代數(shù)余子式都為0, 故A*=O, 從而R(A*)=0. 28. 求下列非齊次方程組的一個解及對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: (1); 解 對增廣矩陣進行初等行變換, 有. 與所給方程組同解的方程為. 當(dāng)x3=0時, 得所給方程組的一個解h=(-8, 13, 0, 2)T. 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為. 當(dāng)x3=1時, 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x=(-1, 1, 1, 0)T. (2). 解 對

34、增廣矩陣進行初等行變換, 有 . 與所給方程組同解的方程為. 當(dāng)x3=x4=0時, 得所給方程組的一個解h=(1, -2, 0, 0)T. 與對應(yīng)的齊次方程組同解的方程為. 分別取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系x1=(-9, 1, 7, 0)T. x2=(1, -1, 0, 2)T. 29. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3, 已知h1, h2, h3是它的三個解向量. 且h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,求該方程組的通解. 解 由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是4, 系數(shù)矩陣的秩為3, 所以對應(yīng)的

35、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量, 且由于h1, h2, h3均為方程組的解, 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得2h1-(h2+h3)=(h1-h2)+(h1-h3)= (3, 4, 5, 6)T為其基礎(chǔ)解系向量, 故此方程組的通解: x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (kÎR). 30. 設(shè)有向量組A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, b, -1)T, 問a, b為何值時 (1)向量b不能由向量組A線性表示; (2)向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一; (3)向量

36、b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式. 解 . (1)當(dāng)a=-4, b¹0時, R(A)¹R(A, b), 此時向量b不能由向量組A線性表示. (2)當(dāng)a¹-4時, R(A)=R(A, b)=3, 此時向量組a1, a2, a3線性無關(guān), 而向量組a1, a2, a3, b線性相關(guān), 故向量b能由向量組A線性表示, 且表示式唯一. (3)當(dāng)a=-4, b=0時, R(A)=R(A, b)=2, 此時向量b能由向量組A線性表示, 且表示式不唯一. 當(dāng)a=-4, b=0時, 方程組(a3, a2, a1)x=b的解為 , cÎR. 因此

37、 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1, 即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cÎR. 31. 設(shè)a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 證明三直線 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2¹0, i=1, 2, 3) l3: a3x+b3y+c3=0,相交于一點的充分必要條件為: 向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 證明 三直線相交于一點的充分必要條件為方程組, 即有唯一解. 上述方程組可寫為xa+yb=-

38、c. 因此三直線相交于一點的充分必要條件為c能由a, b唯一線性表示, 而c能由a, b唯一線性表示的充分必要條件為向量組a, b線性無關(guān), 且向量組a, b, c線性相關(guān). 32. 設(shè)矩陣A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4線性無關(guān), a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解. 解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一個解. 由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一個解. 由a2, a3, a4線性無關(guān)知R(A)=3, 故方程A

39、x=b所對應(yīng)的齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系中含一個解向量. 因此x=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的基礎(chǔ)解系. 方程Ax=b的通解為x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, cÎR. 33. 設(shè)h*是非齊次線性方程組Ax=b的一個解, x1, x2, × × ×, xn-r ,是對應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系, 證明: (1)h*, x1, x2, × × ×, xn-r線性無關(guān); (2)h*, h*+x1, h*+x2, × × ×, h*+xn-r線性無

40、關(guān). 證明 (1)反證法, 假設(shè)h*, x1, x2, × × ×, xn-r線性相關(guān). 因為x1, x2, × × ×, xn-r線性無關(guān), 而h*, x1, x2, × × ×, xn-r線性相關(guān), 所以h*可由x1, x2, × × ×, xn-r線性表示, 且表示式是唯一的, 這說明h*也是齊次線性方程組的解, 矛盾. (2)顯然向量組h*, h*+x1, h*+x2, × × ×, h*+xn-r與向量組h*, x1, x2, 

41、5; × ×, xn-r可以相互表示, 故這兩個向量組等價, 而由(1)知向量組h*, x1, x2, × × ×, xn-r線性無關(guān), 所以向量組h*, h*+x1, h*+x2, × × ×, h*+xn-r也線性無關(guān). 34. 設(shè)h1, h2, × × ×, hs是非齊次線性方程組Ax=b的s個解, k1, k2, × × ×, ks為實數(shù), 滿足k1+k2+ × × × +ks=1. 證明x=k1h1+k2h2+ &#

42、215; × × +kshs也是它的解. 證明 因為h1, h2, × × ×, hs都是方程組Ax=b的解, 所以 Ahi=b (i=1, 2, × × ×, s), 從而 A(k1h1+k2h2+ × × × +kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ × × × +ksAhs =(k1+k2+ × × × +ks)b=b. 因此x=k1h1+k2h2+ × × × +kshs也是方程的解. 35

43、. 設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣的秩為r, h1, h2, × × ×, hn-r+1是它的n-r+1個線性無關(guān)的解. 試證它的任一解可表示為x=k1h1+k2h2+ × × × +kn-r+1hn-r+1, (其中k1+k2+ × × × +kn-r+1=1). 證明因為h1, h2, × × ×, hn-r+1均為Ax=b的解, 所以x1=h2-h1, x2=h3-h1, × × ×, xn-r=h n-r+1-h1均為Ax=b的解.

44、 用反證法證: x1, x2, × × ×, xn-r線性無關(guān). 設(shè)它們線性相關(guān), 則存在不全為零的數(shù)l1, l2, × × ×, ln-r, 使得 l1x1+ l2x2+ × × × + l n-r x n-r=0,即 l1(h2-h1)+ l2(h3-h1)+ × × × + l n-r(hn-r+1-h1)=0,亦即 -(l1+l2+ × × × +ln-r)h1+l1h2+l2h3+ × × × +l n-r

45、hn-r+1=0,由h1, h2, × × ×, hn-r+1線性無關(guān)知 -(l1+l2+ × × × +ln-r)=l1=l2= × × × =ln-r=0,矛盾. 因此x1, x2, × × ×, xn-r線性無關(guān). x1, x2, × × ×, xn-r為Ax=b的一個基礎(chǔ)解系. 設(shè)x為Ax=b的任意解, 則x-h1為Ax=0的解, 故x-h1可由x1, x2, × × ×, xn-r線性表出, 設(shè) x-h1=

46、k2x1+k3x2+ × × × +kn-r+1xn-r =k2(h2-h1)+k3(h3-h1)+ × × × +kn-r+1(hn-r+1-h1), x=h1(1-k2-k3 × × × -kn-r+1)+k2h2+k3h3+ × × × +k n-r+1hn-r+1. 令k1=1-k2-k3 × × × -kn-r+1, 則k1+k2+k3 × × × -kn-r+1=1, 于是 x=k1h1+k2h2+ &#

47、215; × × +kn-r+1hn-r+1. 36. 設(shè)V1=x=(x1, x2, × × ×, xn)T | x1, × × ×, xnÎR滿足x1+x2+ × × × +xn=0,V2=x=(x1, x2, × × ×, xn)T | x1, × × ×, xnÎR滿足x1+x2+ × × × +xn=1,問V1, V2是不是向量空間？為什么？ 解 V1是向量空間, 因為任取 a=(a1, a2, × × ×, an)T ÎV1, b=(b1, b2, × × ×, bn)T ÎV1, lÎÎR,有 a1+a2+ × × × +an=0, b1+b2+ × × × +bn=0, 從而 (a1+b1)+(a2+b2)+ ×