2010《高考風向標》·（理科）數(shù)學第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）及函數(shù)的應(yīng)用

1、第二章 基本初等函數(shù)（）及函數(shù)的應(yīng)用知識網(wǎng)絡(luò)基本初等函數(shù)()冪函數(shù)有理指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪無理指數(shù)冪運算性質(zhì)定義對數(shù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)圖像與性質(zhì)定義定義圖像與性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用函數(shù)與方程對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)幾類不同增長的函數(shù)模型二分法函數(shù)的零點用已知函數(shù)模型解決問題建立實際問題的函數(shù)模型第1講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識梳理一、 分數(shù)指數(shù)冪1 根式如果，那么稱為的次實數(shù)方根；式子叫做根式，其中叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)方根的性質(zhì)：當n為奇數(shù)時，=a.當n為偶數(shù)時，=|a|=2分數(shù)指數(shù)冪（1）分數(shù)指數(shù)冪的意義:a=，a=（a0，m、n都是正整數(shù)，n1）.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：二、指數(shù)函

2、數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=ax（a0且a1）叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的圖像底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：R； 值域：（0，）；過點（0，1）；即x=0時，y=1.當a1時，在R上是增函數(shù)；當0a1時，在R上是減函數(shù).畫指數(shù)函數(shù)y=ax（a0且a1）的圖像時，應(yīng)該抓住兩點：一是過定點（0，1），二是x軸是其漸近線重、難點突破重點：有理指數(shù)冪的定義及性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)難點：綜合運用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題重難點：1.指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的判斷，方法主要有兩種： （1）利用單調(diào)性的定義（可以作差，也可以作商）（2）利用復合

3、函數(shù)的單調(diào)性判斷形如的函數(shù)的單調(diào)性：若，則的單調(diào)增（減）區(qū)間，就是的單調(diào)增（減）區(qū)間；若，則的單調(diào)增（減）區(qū)間，就是的單調(diào)減（增）區(qū)間；2. 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)() 指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示,對應(yīng)關(guān)系為（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx則在軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在軸左側(cè),圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小,即無論在軸左側(cè)還是右側(cè),底數(shù)按逆時針方向變大.() 指數(shù)函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于軸對稱3.指數(shù)型的方程和不等式的解法()形如的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化為利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決，或“取對數(shù)”等方法；()形如或的

4、形式，可借助于換元法轉(zhuǎn)化為二次方程或不等式求解。熱點考點題型探析考點1 指數(shù)冪的運算例1 （湛江市09屆統(tǒng)考）計算：解題思路 根式的形式通常寫成分數(shù)指數(shù)冪后進行運算。解析原式名師指引根式的運算是基本運算，在未來的高考中一般不會單獨命題，而是與其它知識結(jié)合在一起，比如與二項展開式結(jié)合就比較常見新題導練1.（高州中學09屆月考）經(jīng)化簡后，的結(jié)果是 解析 ；2. 解析 ; 考點2 指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用題型1：由指數(shù)函數(shù)的圖象判斷底數(shù)的大小例2 下圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx，（3）y=cx，（4）y=dx的圖像，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是（ ）A; B；C；D解題思路 顯然

5、,作為直線x=1即可發(fā)現(xiàn)a、b、c、d與1的大小關(guān)系解析 B;令x=1，由圖知,即名師指引 由指數(shù)函數(shù)的圖象確定底數(shù)的大小關(guān)系,關(guān)鍵要從具體圖象進行分析題型2：解簡單的指數(shù)方程例3 方程的解是_解題思路將方程化為最簡單的指數(shù)方程解析；在方程的兩邊同時乘以得，從而得所以名師指引解指數(shù)方程要觀察其特征，在本題中，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)與的關(guān)系：題型3：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域例4 已知2（）x2，求函數(shù)y=2x2x的值域.解題思路求函數(shù)y=2x2x的值域應(yīng)利用考慮其單調(diào)性解析 222（x2），x2+x42x，即x2+3x40，得4x1.又y=2x2x是4，1上的增函數(shù)，2424y221.故所求函數(shù)y的值域

6、是，.名師指引利用函數(shù)的單調(diào)性確定其值域是高考熱點，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性新題導練3不等式的解集是_解析 ；由不等式得，解得4（金山中學09屆月考）若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_. 解析 ；畫出函數(shù)的草圖知，若直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，則，即5（廣東恩城中學09年模擬）不論為何正實數(shù),函數(shù)的圖象一定通過一定點,則該定點的坐標是_解析；因為函數(shù)的圖象通過定點，故函數(shù)的圖象一定通過定點6（廣東廣雅中學09屆月考）已知函數(shù)（其中）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)的圖象是( )A BC D解析 A；由的圖象知，所以函數(shù)的圖象是A7（08年安徽改編）若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，

7、且滿足，則、的大小關(guān)系為 解析；因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以有，得，可見在上是增函數(shù)，故，又由知，因此所以考點3 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的含參數(shù)問題例5 要使函數(shù)y=1+2x+4xa在x（，1上y0恒成立，求a的取值范圍.解題思路欲求的取值范圍,應(yīng)該由1+2x+4x0將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值解析 由題意，得1+2x+4xa0在x（，1上恒成立，即a在x（，1上恒成立.又=（）2x（）x=（）x+2+，當x（，1時值域為（，a名師指引由某個不等式在某個范圍內(nèi)恒成立，求參數(shù)的取值范圍是高考中的熱點,處理的方法往往是通過分離參數(shù), 轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值,但要注意端點的值能否取到；指數(shù)函數(shù)的綜合問題常常涉

8、及指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、過定點、單調(diào)性、奇偶性、圖像特征,要用到數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.指數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對蘊含其中的函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖像與性質(zhì)并能進行一定的綜合運用。新題導練8(2008上海) 已知函數(shù),若對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍解析 ;當 即 故m的取值范圍是 9設(shè),如果當時有意義,求a的取值范圍.解析 ；當時，恒成立，即恒成立令，則時，備選例題 （廣州六校09屆聯(lián)考）已知函數(shù), 將的圖象向右平移兩個單位, 得到的圖象. (1) 求函數(shù)的解析式; (2) 若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于

9、直線對稱, 求函數(shù)的解析式; 解析 (1) 由題設(shè)得 (2) 設(shè)點在的圖象上, 點在的圖象上, 且與點關(guān)于直線對稱, 則即. 搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓練：1（高州中學09屆月考）與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱的曲線C對應(yīng)的函數(shù)為，則的值為 （ ） A；B；C；D解析 D；依題意得，所以2（廣東南海09屆月考）已知函數(shù)，www.ks5 且，則下列結(jié)論中，必成立的是（ ） A;B; C; D解析 D；由函數(shù)的圖象及和知，所以，從而3（09年執(zhí)信）oxyo1-1oxyo1-1ooxyo1-1ooxyo1-1oo函數(shù)的圖象的大致形狀是ooxxxxx 解析 ；當時，又，可排除、；當時，又，可排除4. （四會中學09

10、屆月考）不等式的解集為 解析 ； 不等式即為，由函數(shù)的單調(diào)性得，解得5（四會中學09屆月考）滿足條件m（mm）2的正數(shù)m的取值范圍是_解析 或；由得，當時，得，解得；當時，得，解得6.若關(guān)于x的方程25|x+1|4·5|x+1|m=0有實根，求m的取值范圍.解析解法一：設(shè)y=5|x+1|，則0y1，問題轉(zhuǎn)化為方程y24ym=0在（0，1有實根.設(shè)f（y）=y24ym，其對稱軸y=2，f（0）0且f（1）0，得3m0.解法二：m=y24y，其中y=5|x+1|（0，1，m=（y2）243，0）綜合提高訓練：7已知函數(shù)，滿足且，當時，試比較與的大小。解析 ，關(guān)于對稱，又 ，當時，；當時，

11、第2講 對數(shù)及對數(shù)函數(shù)知識梳理一、 對數(shù)的概念如果ab=N（a0，a1），那么b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN=bab=NlogaN=b（a0，a1，N0）.二、對數(shù)的運算性質(zhì)loga（MN）=logaM+logaN. loga=logaMlogaN.logaMn=nlogaM.（M0，N0，a0，a1）三、對數(shù)換底公式：logbN=（a0，a1，b0，b1，N0）.四、對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)函數(shù)y=logax（a0，a1）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，圖像如下對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：（0，+）； 值域：R； 過點（1，0），即當x=1時，y=0.當a1時，在（0，+）上是增函數(shù)；當0a1

12、時，在（0，+）上是減函數(shù)。五、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱.。重、難點突破重點：掌握對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。難點：綜合運用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題。重難點：1對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的拓展（）同底數(shù)的兩個對數(shù)值與的大小比較若，則若，則（）同真數(shù)的對數(shù)值大小關(guān)系如圖對應(yīng)關(guān)系為（1），（2），（3），（4）則作直線得即圖象在軸上方的部分自左向右底數(shù)逐漸增大2常見對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式的解法（1）形如轉(zhuǎn)為，但要注意驗根對于，則當時，得；當時，得（2）形如或的方程或不等式，一般用換元法求解。（3）形如的方程化為求解，對于的形式可以考慮利用對數(shù)

13、函數(shù)的單調(diào)性來解決熱點考點題型探析考點1 對數(shù)式的運算例1（湛江市09屆高三統(tǒng)考）已知用表示 解題思路應(yīng)設(shè)法對數(shù)換底公式將換成以常用對數(shù)，并且設(shè)法將12與45轉(zhuǎn)化為2、3來表示解析名師指引 對數(shù)式的運算一般都是運用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)換底公式，在未來的高考中，對數(shù)式的運算可能要綜合其他知識交匯命題新題導練1（高州中學09屆月考）的結(jié)果是 解析1；2（中山市09屆月考）若，求的值 解析 ； 3（廣東吳川市09屆月考）如果，那么的最小值是（ ）A4；B；C9；D18解析18；由得，所以，又由題知從而，當且僅當時取“=”考點2對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)題型1：由函數(shù)圖象確定參數(shù)的值例2 函數(shù)ylog2ax

14、1（a0）的圖象的對稱軸方程是x2，那么a等于( )A.;B.;C.2;D.2解題思路由于函數(shù)圖象的對稱軸方程是x2,所以可以利用特殊值法求解解析 如利用f（0）=f（4），可得0=log2|4a1|.|4a+1|=1.4a+1=1或4a+1=1.a0，a=.故選B名師指引函數(shù)圖象的對稱性是?？贾R點，高考要求要掌握幾種基本的對稱。題型2：求復合函數(shù)值域及單調(diào)區(qū)間例3 已知f（x）=log3(x1)2，求f（x）的值域及單調(diào)區(qū)間.解題思路通過研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性解析 真數(shù)3(x1)23，log3(x1)2log3=1，即f（x）的值域是1，+）.又3(x1)20，得1x1+，x（1，1時，

15、3(x1)2單調(diào)遞增，從而f（x）單調(diào)遞減；x1，1+）時，3(x1)2單調(diào)遞減，f（x）單調(diào)遞增.名師指引對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復合函數(shù)的最值（值域）與單調(diào)性是常考知識點，解決的辦法就是充分利用組成復合函數(shù)的各個基本函數(shù)的單調(diào)性以及復合函數(shù)的單調(diào)性法則。新題導練4（東皖高級中學09屆月考）若函數(shù)是定義域為R的增函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是 （ ）解析 D；由函數(shù)是定義域為R的增函數(shù)知，所以函數(shù)在上的減函數(shù)，將的圖象向左平移一個單位即得的圖象，故應(yīng)選D5（09年山東濟寧）設(shè)，函數(shù)的圖象如圖2，則有 A；BC；D解析 A；由圖知，并且由圖象知的圖象是由的圖象向下平移得到的，故考點3 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜

16、合應(yīng)用題型1：利用對數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的單調(diào)性求值域 例4 已知x滿足, 函數(shù)y的值域為, 求a的值解題思路欲求a的值就設(shè)法尋找a的等式，但是這里沒有等式，我們應(yīng)該利用函數(shù)的單調(diào)性，求出其值域，依據(jù)已知條件尋求關(guān)于a的不等式組解析 由由y, 當時, 為單調(diào)增函數(shù), 且,此時a的值不存在. 當時, 為單調(diào)減函數(shù),，.名師指引對數(shù)函數(shù)是重要的基本初等函數(shù), 高考中既考查雙基, 又考查對蘊含其中的函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運用. 因此應(yīng)做到能熟練掌握它的圖像與性質(zhì)并能進行一定的綜合運用.題型2：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)關(guān)系例5設(shè)函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）=的反函數(shù)，則f（4x2）

17、的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A.0，+）；B.（，0；C.0，2）；D.（2，0解題思路 先根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)寫出函數(shù)f（x）的表達式，然后再研究復合函數(shù)的單調(diào)性求其單調(diào)遞增區(qū)間解析顯然，從而得，其定義域為.時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減.故選C名師指引 對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是一對特殊的基本初等函數(shù)，它們互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，高考中時有涉及新題導練5（執(zhí)信中學09屆月考）已知，則的大小關(guān)系是（ ）A B C D解析 C；由于，所以應(yīng)選擇C6.（四會中學09年月考）若，則（ ）A<<；B<<；C<<；D << 解析 C；由得，

18、從而，備選例題 （廣東實驗中學09屆月考）若函數(shù)的定義域為M。當時，求的最值及相應(yīng)的x的值。解析，解得：， = ， f(x)= （）由二次函數(shù)性質(zhì)可知：； 當 綜上可知：當f(x)取到最大值為，無最小值。搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓練：1（1）；（2）_解析（1）1；（2）；2已知，則= 解析3；由得，所以3(2007·全國)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則_。解析；由題意知，是函數(shù)的反函數(shù)，故 4（廣州市09屆高三年級第一學期中段考）若偶函數(shù)滿足且時,則方程的根的個數(shù)是( )A. 2個；B. 4個；C. 3個；D. 多于4個解析 A；由知是周期為2的函數(shù)，又時, 由是偶函數(shù)和周期性，在

19、同一坐標系中作出和的圖象，可知它們的圖象有兩個交點，故方程的零點個數(shù)是25設(shè)，則x屬于區(qū)間（ ）A（2，1）；B（1，2）；C（3，2）；D（2，3）解析 D；因為，而，所以x屬于（2，3）綜合提高訓練：6（潮州金山中學09屆高三檢測）若點在第一象限且在上移動，則（ ） A最大值為1；B最小值為1；C最大值為2；D沒有最大、小值解析 A；依題意知，因為，所以當且僅當時取到“=”，故應(yīng)選A7（湛江市09屆統(tǒng)測）給出四個函數(shù)圖象分別滿足：與下列函數(shù)圖象對應(yīng)的是（ ） A B. C. D. 解析 D；顯然滿足的函數(shù)應(yīng)是這種類型，故圖象應(yīng)是；滿足應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)，故圖象應(yīng)是；滿足的應(yīng)是對數(shù)函數(shù)，故圖象應(yīng)

20、是；滿足的應(yīng)是冪函數(shù)，就本題而言，其圖象應(yīng)是8（深圳翠園、寶安中學09屆聯(lián)考）下列表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的：358915 請將錯誤的一個改正為 解析lg15=3a-b+c；如果，則可見，是錯誤的，那么也是錯誤的，這與題意矛盾；反過來，也不是錯誤的，否則是錯誤的；同樣，如果，則，如果是錯誤的，那么也錯誤，這與題意矛盾；顯然也不是錯誤的，否則也錯誤；所以，所以應(yīng)將最后一個錯誤的改正為9（重慶南開中學09屆模擬）函數(shù)，若（其中、均大于），則的最小值為 （ ）A；B；C；D解析 B；由得，從而得，所以10已知函數(shù)（1）若的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若的值域為，求實數(shù)的取值范圍；解析（1

21、）或；（2）（1） 依題意對一切恒成立 當時，必須有，即或 當時，當時，滿足題意，當時不合題意故或（2） 依題意，只要能取到的任何值，則的值域為，故有，即又當時，即，當時符合題意，當時，不合題意故第3講 冪函數(shù)知識梳理一、冪函數(shù)的概念一般地，形如（R）的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)二、冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點；當時函數(shù)的圖像都過原點；當時，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如

22、）；當時，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）當時，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）當時，的的圖像不過原點，且在第一象限是“下滑”曲線（如）重、難點突破重點：冪函數(shù)的概念、幾個特殊冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)。難點：綜合運用幾個特殊冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決問題。重難點：冪函數(shù)性質(zhì)的拓展當時，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點；（2）在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3）在第一象限內(nèi)，時，圖象是向下凸的；時，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過點后，圖象向右上方無限伸展。當時，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點；（2）在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3）在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無限地接近；

23、向右無限地與軸無限地接近；（4）在第一象限內(nèi)，過點后，越大，圖象下落的速度越快。無論取任何實數(shù)，冪函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。熱點考點題型探析考點 冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)題型1：利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例1（中山市09屆月考）已知，試比較的大?。唤忸}思路欲比較這幾個數(shù)的大小，因為它們的指數(shù)相同，應(yīng)考慮某個冪函數(shù)的單調(diào)性解析 在上單調(diào)遞增，又 .名師指引比較幾個數(shù)式的大小，是解題過程中常常遇到的知識考點，往往都要用到函數(shù)的單調(diào)性，我們應(yīng)該熟練掌握規(guī)定的幾個特殊冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及圖像特征.題型2：由冪函數(shù)的性質(zhì)確定解析式 例2 已知函數(shù)f(x)=x(pZ)在(0

24、,+)上是增函數(shù)，且在其定義域上是偶函數(shù)。（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f(x)的解析式。（2）對于（1）中求得的函數(shù)f(x)，設(shè)函數(shù)g(x)=qff(x)+(2q1)f(x)+1，問是否存在實數(shù)q(q<0)，使得g(x)在區(qū)間(,4上是減函數(shù)，且在區(qū)間(4,0)上是增函數(shù)。若存在，請求出來；若不存在，請說明理由。解題思路（1）由函數(shù)f(x)=x(pZ)在(0,+)上是增函數(shù)即可知，又由pZ即可確定p的值（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用函數(shù)單調(diào)性的定義進行探索求解。解析 （1）若y=在x(0,+)上是遞增函數(shù)，則有>0。f(x)在(0,+)上是增函數(shù)，p2+p+>0 解得：1&

25、lt;p<3,而pZ p=0,1,2當p=0或2時，有f(x)=不是偶函數(shù)，故p=1，此時,f(x)=x2。O（2）設(shè)t=x2，由g(x)在(,4上是減函數(shù)，在(4,0)上是增函數(shù)，而t=x2在16，+和(0,16)上都是增函數(shù)，得h(t)=qt2+(2q1)t+1在（0，16）上是增函數(shù)，在16，+上是減函數(shù)，從而可得=16，q=故存在實數(shù)q=，使得g(x)在(,4上是減函數(shù)，且在(4,0)上是增函數(shù)。名師指引（1）解決這類問題要緊扣冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，依單調(diào)性從其指數(shù)入手；（2）復合函數(shù)的單調(diào)規(guī)則是我們處理復合函數(shù)的單調(diào)性的重要依據(jù)。新題導練1（珠海斗門中學09屆月考）冪函數(shù),及直線

26、，將直角坐標系第一象限分成八個“卦限”：，（如圖所示），那么冪函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是（ ）A， ；B ，；，；D ，解析 D；由于當時，當時，故冪函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過的“卦限”是，2若，則的取值范圍是 解析 ；令，則在上是減函數(shù)，故得，解得3求函數(shù)的定義域、值域，并判斷其單調(diào)性解析因為必為奇數(shù)，并且所以函數(shù)的定義域為，類比的圖象可知，所求函數(shù)的值域為，并且在上為增函數(shù)備選例題已知函數(shù)滿足（1）求的值并求出相應(yīng)的的解析式；（2）對于（1）中得到的函數(shù)，試判斷是否存在，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為？若存在，求出；若不存在，說明理由解題思路利用求，易得的解析式，再利用表達從而求解解析

27、（1）因為，所以在第一象限是增函數(shù)故，解得又，所以或，當或時，所以（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)，由（1）知，因為，所以兩個最值點只能在端點和頂點處取到而，所以，解得，所以存在滿足題意搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓練：1在函數(shù)中，冪函數(shù)的個數(shù)為（ ）A0 B1 C2 D3解析 B；顯然，根據(jù)冪函數(shù)可知，只有是冪函數(shù)2(2007·山東改編)設(shè)，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有的值為 解析 1,3；當及時，的定義域都不是R，當及時，的定義域都都是R，并且都是奇函數(shù)3如圖所示,曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像,已知分別取四個值,則相應(yīng)圖像依次為： 解析 ；根據(jù)冪函數(shù)的圖象特征知，當分別取時，相應(yīng)圖像依次為4

28、(2007·廣東實驗中學)設(shè)，如果是正比例函數(shù)，則m=_,如果是反比例函數(shù)，則m=_,如果是冪函數(shù)，則m=_解析 ，2；若是正比例函數(shù)，則，即；若是反比例函數(shù)，則，即；若是冪函數(shù)，則，即5函數(shù)的圖象只可能是( ) A B C D解析顯然，是偶函數(shù)，故可排除A和B，又，所以應(yīng)選擇C綜合提高訓練：6討論函數(shù)的定義域、值域及函數(shù)值y隨x變化規(guī)律，并畫出其圖象解析 ，函數(shù)的定義域，值域由圖象可知，在區(qū)間(0，+)上函數(shù)值y隨x的增加而減小7當時，下列不等式中正確的是（ ）；解析 ；由知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，又由知，所以可排除和；又冪函數(shù)是增函數(shù)，故，而由指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)知，即，從而排除第4講 函

29、數(shù)與方程知識梳理一、函數(shù)的零點方程的實數(shù)根又叫做函數(shù)的零點。 方程有實根函數(shù)的圖像與x軸有交點函數(shù)有零點；如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，且有，則函數(shù)在區(qū)間上有零點。二、二分法1如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且，通過不斷地把函數(shù)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。2給定精度，用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度；（2）求區(qū)間的中點；（3）計算：若，則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）；若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精度；即若，則得到零點值（或）；否則重復步驟（2）-（4）重、難點突

30、破重點：函數(shù)零點的概念，掌握用二分法求函數(shù)零點的近似值難點：用二分法求函數(shù)的零點近似值重難點：1函數(shù)零點的理解（1） 函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，實質(zhì)是同一個問題的三種不同表達形式，方程根的個數(shù)就是函數(shù)的零點的個數(shù)，亦即函數(shù)的圖像與x軸交點的個數(shù)（2） 變號零點與不變號零點若函數(shù)在零點左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點為函數(shù)的變號零點若函數(shù)在零點左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則稱該零點為函數(shù)的不變號零點若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則是在區(qū)間內(nèi)有零點的充分不必要條件。2 用二分法求曲線交點的坐標要注意兩個問題（1）曲線交點坐標即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為求方程的根（2）求曲

31、線和的交點的橫坐標，實際上就是求函數(shù)的零點，即求方程的根3關(guān)于用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟須注意的問題：（1）第一步中要使：區(qū)間長度盡量小；的值比較容易計算且；（2）根據(jù)函數(shù)的零點與相應(yīng)方程根的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求相應(yīng)方程根是等價的。對于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點即方程的根。熱點考點題型探析考點1 零點的求法及零點的個數(shù)題型1：求函數(shù)的零點.例1 求函數(shù)的零點.解題思路求函數(shù)的零點就是求方程的根解析令 ，即函數(shù)的零點為-1，1，2。名師指引 函數(shù)的零點不是點，而是函數(shù)函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，即零點是一個實數(shù)。題型2：確定函數(shù)零點的個數(shù).例2 求函數(shù)f(x)=lnx2x 6

32、的零點個數(shù).解題思路求函數(shù)f(x)=lnx2x 6的零點個數(shù)就是求方程lnx2x 6=0的解的個數(shù)解析方法一：易證f(x)= lnx2x 6在定義域上連續(xù)單調(diào)遞增，又有，所以函數(shù)f(x)= lnx2x 6只有一個零點。方法二：求函數(shù)f(x)=lnx2x 6的零點個數(shù)即是求方程lnx2x 6=0的解的個數(shù)即求的交點的個數(shù)。畫圖可知只有一個。名師指引求函數(shù)的零點是高考的熱點，有兩種常用方法：（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖像聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點題型3：由函數(shù)的零點特征確定參數(shù)的取值范圍例3 (2007·廣東)已知a是實數(shù),函數(shù)

33、,如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求a的取值范圍。解題思路要求參數(shù)a的取值范圍，就要從函數(shù)在區(qū)間上有零點尋找關(guān)于參數(shù)a的不等式（組），但由于涉及到a作為的系數(shù)，故要對a進行討論 解析 若 , ,顯然在上沒有零點, 所以 . 令 , 解得 當 時, 恰有一個零點在上; 當，即時，在上也恰有一個零點. 當在上有兩個零點時, 則 或解得或綜上所求實數(shù)的取值范圍是 或 .名師指引二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式是一個有機的整體，也是高考熱點，要深刻理解它們相互之間的關(guān)系，能用函數(shù)思想來研究方程和不等式，便是抓住了關(guān)鍵.二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像形狀、對稱軸、頂點坐標、開口方向等是處理二次函

34、數(shù)問題的重要依據(jù). 新題導練1（09年浙江五校聯(lián)考）函數(shù)有且僅有一個正實數(shù)的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A；B；C；D解析 B；依題意得（1）或（2）或（3）顯然（1）無解；解（2）得；解（3）得又當時，它顯然有一個正實數(shù)的零點，所以應(yīng)選B2（中山市09屆統(tǒng)測）方程的實數(shù)解的個數(shù)為 _ 解析 2；在同一個坐標系中作函數(shù)及的圖象，發(fā)現(xiàn)它們有兩個交點故方程的實數(shù)解的個數(shù)為2考點2 用二分法求方程的近似解例4（斗門一中09屆模擬）利用計算器，列出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：2.63.03.41.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.

35、010.5560.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程的一個根位于下列區(qū)間的（ ）. A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D. （2.6，3.0）解題思路判斷函數(shù)在各個區(qū)間兩端點的符號解析由，故排除A；由，故排除B；由，故可確定方程的一個根位于下列區(qū)間（1.8，2.2），所以選擇C名師指引用二分法求方程的近似解的關(guān)鍵是先尋找使得函數(shù)在兩端點異號的某區(qū)間，然后依次取其中點，判斷函數(shù)在中點的符號，接著取兩端函數(shù)值異號的區(qū)間作為新的區(qū)間，依次進行下去，就可以找到符合條件的近似解。新題導練 3用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)計

36、算，可得其中一個零點 ，第二次應(yīng)計算 ，這時可判斷 解析 ，；由二分法知，這時，故考點3 根的分布問題例4 已知函數(shù)f（x）=mx2+（m3）x+1的圖像與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，求實數(shù)m的取值范圍解題思路由于二次函數(shù)的圖象可能與x軸有兩個不同的交點，應(yīng)分情況討論解析（1）若m=0，則f（x）=3x+1，顯然滿足要求.（2）若m0，有兩種情況： 原點的兩側(cè)各有一個，則m0； 都在原點右側(cè)，則解得0m1，綜上可得m（，1.名師指引二次方程根的分布是高考的重點和熱點，需要熟練掌握有關(guān)二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布有關(guān)的結(jié)論：方程f（x）=0的兩根中一根比r大，另一根比r小

37、a·f（r）0.二次方程f（x）=0的兩根都大于r二次方程f（x）=0在區(qū)間（p，q）內(nèi)有兩根二次方程f（x）=0在區(qū)間（p，q）內(nèi)只有一根f（p）·f（q）0，或f（p）=0，另一根在（p，q）內(nèi)或f（q）=0，另一根在（p，q）內(nèi).方程f（x）=0的兩根中一根大于p，另一根小于q（pq）新題導練3已知二次函數(shù)f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在區(qū)間1，1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是_. 解析 (3，） 只需f(1)=2p23p+9>0或f(1)=2p2+p+1>0即3p或p1.p(3, ).4若方程x2+(k-2

38、)x+2k-1=0的兩根中,一根在0和1之間,另一根在1和2之間,求實數(shù)k的取值范圍.解析 ；令，則依題意得，即，解得5.(2007·韶關(guān))若關(guān)于x的方程4x+2x a+a+1=0有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.解析令t=2x，t>0關(guān)于x的方程4x+2x a+a+1=0有實數(shù)根等價于方程t2+at+a+1=0(t>0)有正實數(shù)根,令f(t)= t2+at+a+1，且故方程t2+at+a+1=0(t>0)有正實數(shù)根等價于（1）方程有一個正根一個負根：由f(0)<0,得a<-1（2）方程有兩個相等的正數(shù)根：由（3）方程有兩個不相等的正數(shù)根或有一個零根一個正根

39、時：由求（1）（2）（3）的并集，得實數(shù)a的取值范圍：備選例題 （佛山市三水中學09屆）下圖是函數(shù)和圖象的一部分,其中時,兩函數(shù)值相等.(1)給出如下兩個命題:當時,;當時,.判斷命題的真假并說明理由.(2)求證:解析(1) 命題是假命題,反例:,則,但是,不成立.命題是真命題,因為在上是減函數(shù),函數(shù)在上是增函數(shù),所以當時,.(2)構(gòu)造函數(shù),則,所一在區(qū)間有零點.有因為在區(qū)間是增函數(shù),所以在區(qū)間有唯一個零點,即,所以.搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓練：1.（深圳九校09屆聯(lián)考）下圖是函數(shù)的圖像，它與軸有個不同的公共點.給出下列四個區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù)在區(qū)間（ ）上的零點 A；B C；D 解析 B；由

40、于用二分法判斷函數(shù)在區(qū)間上有零點的必要條件是，而從圖可以看出，在區(qū)間 的兩端的符號相同，故不能用二分法求出函數(shù)在這個區(qū)間上的零點2（華僑中學09屆月考）設(shè)函數(shù)與的圖象的交點為，則所在的區(qū)間是（ ）A；B；C；D解析 B；令，則，可見所在的區(qū)間是3方程2x=2x的解的個數(shù)為_.解析1；方程2x=2x的解可看作函數(shù)y=2x和y=2x的圖象交點的橫坐標,分別作出這兩個函數(shù)圖象（如下圖）. 由圖象得只有一個交點，因此該方程只有一個解.4（湛江市09年高三統(tǒng)考）方程的解所在區(qū)間是（ ）A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）解析 A；令，則，所以方程的解所在區(qū)間是（0，1）5（金山

41、中學09屆月考）用二分法求方程在區(qū)間上的近似解，取區(qū)間中點，那么下一個有解區(qū)間為解析 ；令，則，故下一個有解區(qū)間為6（09年韶關(guān)市第一次調(diào)研考）已知函數(shù)，若實數(shù)是方程的解，且，則的值（ ）A恒為正值；B等于零；C. 恒為負值； D.不大于零解析 A在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖象，發(fā)現(xiàn)，并且當時，綜合提高訓練：7（09年深圳寶安中學） 定義域和值域均為-a,a (常數(shù)a>0)的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像如圖所示，給出下列四個命題中： (1) 方程fg(x)=0有且僅有三個解； (2) 方程gf(x)=0有且僅有三個解； (3) 方程ff(x)=0有且僅有九個解； (4)方程gg(

42、x)=0有且僅有一個解。-aaxyy=g(x)Oa-a-aaxyy=f(x)Oa-a那么，其中正確命題的個數(shù)是（ )A 1;B. 2;C. 3;D. 4解析 B；由圖可知，由左圖及fg(x)=0得，由右知方程fg(x)=0有且僅有三個解，即(1)正確；由右圖及gf(x)=0得，由左圖知方程gf(x)=0有且僅有一個解，故(2)錯誤；由左圖及ff(x)=0得，又由左圖得到方程ff(x)=0最多有三個解，故(3)錯誤；由右圖及gg(x)=0得，由右圖知方程gg(x)=0有且僅有一個解，即(4)正確，所以應(yīng)選擇B8（2008·惠州調(diào)研）若函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)

43、據(jù)如下：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（ ）. A1.2; B1.3;C1.4 ; D1.59已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根,其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.解析(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得.(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組 (這里0<m<1是因為對稱軸x=m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)第5講 函數(shù)模型及其應(yīng)用知識梳理1我們學習過的基本初等函數(shù)主要有

44、：一次函數(shù)、二次函數(shù)、正（反）比例函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，我們要熟練掌握這些函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以便利用它們來解決一些非基本函數(shù)的問題。2用基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)問題的途徑：（1）化整為零：即將非基本函數(shù)“拆”成基本初等函數(shù)，以便用已知知識解決問題；（2）圖象變換：某些非基本函數(shù)的圖象可看成是由基本初等函數(shù)圖象通過圖象變換得到的，如果搞清了變換關(guān)系，便可借助基本初等函數(shù)解決非基本函數(shù)的問題。3函數(shù)的性質(zhì)主要：周期性、有界性、單調(diào)性、奇偶性等，靈活運用這些性質(zhì)，可以解決方程、不等式方面的不少問題。4在解決某些應(yīng)用問題時，通常要用到一些函數(shù)模型，它們主要是：一次函數(shù)模型、二

45、次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型、分式函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等。重、難點突破重點：掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)模型；培養(yǎng)閱讀理解、建立數(shù)學模型和分析問題、解決問題的能力掌握解函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟。難點：建立數(shù)學模型和分析問題、解決問題的能力的培養(yǎng)。重難點：1常見函數(shù)模型的理解（1）直線模型，即一次函數(shù)模型，其增長特點是直線上升（的系數(shù)），通過圖象可很直觀地認識它。（2）指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”。（3）對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)函數(shù)表達式表達的函數(shù)模型

46、，其增長特點是開始階段增長得較快，但隨著的逐漸增大，其函數(shù)值變化越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”。（4）冪函數(shù)模型：能用冪函數(shù)表示表達的函數(shù)模型，其增長情況隨中的取值變化而定，常見的有二次函數(shù)模型。（5）“對勾” 函數(shù)模型：形如的函數(shù)模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，常利用“基本不等式”解決，有時通過利用導數(shù)研究其單調(diào)性來求最值。2構(gòu)建函數(shù)模型的基本步驟（1）審題：弄清題意，分析條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，恰當選擇數(shù)學模型；（2）建模：將文字語言、圖形（或者數(shù)表）等轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；（4）還原：將利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論

47、，還原為實際問題的意義熱點考點題型探析考點1 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1 （汕頭金山中學09屆?？迹┠车貐^(qū)上年度電價為0.8元/（千瓦·時），年用電量為a千瓦·時.本年度計劃將電價降到0.55元（千瓦·時）至0.75元（千瓦·時）之間，而用戶期望電價為0.4元（千瓦·時）.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)電力的成本價為0.3元（千瓦·時）.（1）寫出本年度電價下調(diào)后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)k0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上

48、年至少增長20%?注：收益實際用電量×（實際電價成本價）解題思路先根據(jù)題意寫出收益y與實際電價x的函數(shù)關(guān)系式，然后再列出不等式求解解析 （1）設(shè)下調(diào)后的電價為x元（千瓦·時），依題意知用電量增至a，電力部門的收益為y（a）（x0.3）（0.55x0.75）.（2）依題意有整理得解此不等式得0.60x0.75.答：當電價最低定為0.60元（千瓦·時）時，仍可保證電力部門的收益比去年至少增長20%.名師指引 函數(shù)應(yīng)用問題是高考的熱點，解函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟：第一步：閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，在此基礎(chǔ)上，分析

49、出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學問題.第二步：引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型.一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時引入其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實際問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學化，即所謂建立數(shù)學模型.第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題（即數(shù)學模型）予以解答，求得結(jié)果.第四步：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.新題導練1某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為和，其中為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為（ ）A45.606；B45.6；C45.56；D45.51 解析 B；設(shè)甲地銷售輛，則乙地銷售輛，從而總利潤為顯然，當時，取得最大值2某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2000萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元,又知總收入