歷屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二數(shù)學(xué)精選100題詳析(四)(共18頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上歷屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二數(shù)學(xué)精選題詳析(四)題31 Let point M move along the ellipse ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 橢圓；focus 焦點(diǎn)；coordinate 坐標(biāo))（第十四屆高二第二試第18題）譯文：點(diǎn)M是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是

2、，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)是 .-3 O 1 3 6 9 xM M Q D y P Gl F 解 在橢圓中，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），離心率，右準(zhǔn)線，顯然點(diǎn)P（6，2）在橢圓的外部.過點(diǎn)P、M分別作PG于G，MD于D，過點(diǎn)P作PQMD于Q，由橢圓的定義知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于線段MD上，即點(diǎn)P與Q點(diǎn)重合時取等號.由點(diǎn)P位于線段MD上，MD及點(diǎn)P（6，2），知點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，設(shè)M的橫坐標(biāo)為，即M（，2），則有，解得，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此時點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，2）.評析 若設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

3、x,y)，則可將3|MF|-|MP|表示成x、y的二元無理函數(shù)，然后再求其最大值，可想而知，這是一件相當(dāng)麻煩的事，運(yùn)用橢圓的定義，將3|MF|-|MP|轉(zhuǎn)化為|MD|-|MP|，就把無理運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理運(yùn)算，從而大大簡化了解題過程.拓展 將此題引伸拓廣，可得定理 M是橢圓E：上的動點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓E的一個焦點(diǎn)，為橢圓E的半焦距，P（m,n）為定點(diǎn).1、 若點(diǎn)P在橢圓E內(nèi)，則當(dāng)F是右焦點(diǎn)時，|MF|+|MP|的最小值是；當(dāng)F是左焦點(diǎn)時，|MF|+|MP|的最小值是.2、 若點(diǎn)P在橢圓E外，則F是右焦點(diǎn)，且0m，|n|b時，|MF|-|MP|的最大值是.F是右焦點(diǎn)，且m>，|n|b時，|MP|-|

4、MF|的最小值是.F是左焦點(diǎn)，且m0，|n|b時，|MF|-|MP|的最大值是.F是左焦點(diǎn)，且m，|n|b時，|MP|-|MF|的最小值是.O m F xM N y P M Ql 圖1 簡證 1、如圖1，作MN右準(zhǔn)線l于N，PQl于Q，由橢圓定義，|MN|=|MF|.F m O xN M y Q M Pl 圖2 |MF|+|MP|=|MN|+|MP|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線，且M在P、Q之間時取等號.如圖2，m同理可證|MF|+|MP|=|MN|+|MP|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線，且M在P、Q之間時取等號.2、 如圖3，|MF|-|MP|=|MN|-|MP|MN|-|M

5、R|=|RN|=|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于線段MN上，即P與R重合時取等號.O F m xM M N Qy P l 圖4 如圖4，|MP|-|MF|=|MP|-|MN|MQ|-|MN|=|NQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于直線MN上，即點(diǎn)P與Q重合時取等號.O F m xM M R Ny P Ql 圖3 如圖5，|MF|-|MP|=|MN|-|MP|MN|-|MR|m=|RN|=|PQ|=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于線段MN上，即P與R重合時取等號.m F O xP y Q N M Ml 圖6 m F O xQ P y N R M Ml 圖5 如圖6，|MP|-|MF|=|MP|-|MN|MQ|-|MN|=|NQ|

6、=，當(dāng)且僅當(dāng)P位于直線MN上，即點(diǎn)P與Q重合時取等號.題32 已知雙曲線關(guān)于直線x-y=1對稱的曲線與直線x+2y=1相切，則k的值等于 （ ）A、 B、 C、 D（第十五屆高二培訓(xùn)題第19題）解 設(shè)點(diǎn)P（x0,y0）是雙曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=1的對稱點(diǎn)為P（x,y）,則 ，又，解、聯(lián)立方程組得.P點(diǎn)在雙曲線上， .代入，得 ，此即對稱曲線的方程，由x+2y=1，得x=1-2y,代入并整理，得.由題意，=4-12（k-1）=0，解得k=，故選B.評析 解決此題的關(guān)鍵是求出對稱曲線的方程.由于對稱曲線與直線相切，故由=0便可求得k的值.拓展 關(guān)于直線的對稱，我們應(yīng)熟知下面的結(jié)論 1

7、、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是（x0,-y0）.2、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)是（-x0, y0）.3、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)是（y0,x0）.4、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于y=-x的對稱點(diǎn)是（-y0,-x0）.5、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于y=x+m的對稱點(diǎn)是（y0-m,x0+m）.6、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于y=-x+n的對稱點(diǎn)是（n-y0,n-x0）.7、點(diǎn)（x0,y0）關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)是（x,y），x,y是方程組的解. 根據(jù)以上結(jié)論，不難得到一曲線關(guān)于某直線對稱的曲線的方程，比如曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x+m對稱的曲線的方程是f(y-m,x+m)=0.

8、xAMyOxBCDNF1F2l題33 是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在右支上，且與在同一條直線上，則的最小值是_.（第四屆高二第二試第15題）解 雙曲線,即，如圖，在雙曲線右支上，,故當(dāng)取得最小值時，也取最小值.設(shè)是雙曲線對應(yīng)于的準(zhǔn)線，,垂足為，則由雙曲線定義可知，而，其中是梯形的中位線，當(dāng)時，取最小值，這時，取得最小值,從而取最小值.評析 解決此題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用雙曲線的第一、第二定義，發(fā)現(xiàn)，即，亦即最小時，也最小，并能知道時最?。ㄟ@點(diǎn)請讀者自己證明）.本題雖然也有其他解法，但都不如此法簡單，雙曲線定義及平幾知識的運(yùn)用在簡化本題解題過程中起了決定性的作用.拓展 將本題中的雙曲線一般化，便得定理

9、、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在右支上，且與在同一條直線上，則的最小值是.仿照本題的解法易證該定理（證明留給讀者）.用此定理可知本題中的最小值為.題34 方程表示的曲線是 ( )A、直線 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線 （第十二屆高二培訓(xùn)題第23題）解法1 由的兩邊平方并整理得.令，則，整理得，即，故已知方程表示雙曲線，選C.解法2 已知方程就是，由雙曲線的第二定義，可知動點(diǎn)P到定點(diǎn)（2，2）的距離與到定直線的距離比為，因?yàn)?，所以選C.評析 根據(jù)選擇支，可知解決本題的關(guān)鍵是將已知方程化為某二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或直線方程.顯然，平方可去掉根號與絕對值符號，但卻出現(xiàn)了乘積項(xiàng).如何消去乘積項(xiàng)便成了問題

10、的關(guān)鍵.解法1表明對稱換元是消去乘積項(xiàng)的有效方法.解法2從已知方程的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到兩點(diǎn)距離公式與點(diǎn)線距離公式，發(fā)現(xiàn)方程表示的曲線是到定點(diǎn)（2，2）的距離與到定直線的距離之比為的動點(diǎn)的軌跡，根據(jù)雙曲線定義選C.顯示了發(fā)現(xiàn)與聯(lián)想在解題中的作用.拓展 將此題一般化，我們有下面的定理 若（為常數(shù)，且不全為零），則（1）當(dāng)時，方程表示為一個焦點(diǎn)，直線為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓.（2）當(dāng)時，方程表示為一個焦點(diǎn)，直線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線.（3）當(dāng)且時，方程表示過點(diǎn)且與直線垂直的直線.（4）當(dāng)且時，方程表示為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.讀者可仿照解法2，運(yùn)用二次曲線的第二定義自己證明該定理.題 35 已知，則動點(diǎn)A與點(diǎn)B（

11、1，0）的距離的最小值是_.（第七屆高二第一試第23題）解法1 由已知得 將此式看作以為自變量的二次函數(shù)，,這表明該二次函數(shù)的定義域是.該函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時，.解法 2 令，則 當(dāng)，即時，.xO 1 2By解法 3 設(shè) （t）,兩式平方并相減，得即動點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的右半支在x軸上方的部分（含點(diǎn)（2，0），由圖知|AB|min=1.評析 所求距離|AB|顯然是x的函數(shù)，然而它是一個復(fù)雜的分式函數(shù)與無理函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，在定義域上的最小值并不好求，解法1根據(jù)|AB|0，通過平方，先求，再求|AB|min=，并將看作一個整體，將原問題化為求二次函數(shù)在上的最值問題；解法2通過三角換元，把求|AB

12、|min的問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在的最小值問題，整體思想、轉(zhuǎn)化思想使得問題化繁為簡，化生為熟；解法3則求出點(diǎn)A的軌跡，從圖形上直觀地看出答案，簡捷得讓人拍案叫絕，這應(yīng)當(dāng)歸功于數(shù)形結(jié)合思想的確當(dāng)運(yùn)用.許多最值問題，一旦轉(zhuǎn)化為圖形，往往答案就在眼前.題36拋物線上到直線的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （第九屆高二培訓(xùn)題第27題）解法1 設(shè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則它到直線的距離是，當(dāng)時最小，此時.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是.解法2 如圖，將直線平移至與拋物線相切，則此時的切點(diǎn)即為所求點(diǎn).設(shè)切線方程為，代入，得.由，即，得.解得.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是.xyxO-2-2y=x2解法3 設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P，則過點(diǎn)P的拋物線

13、的切線應(yīng)與直線平行.而其切線方程為，故，. 故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.評析 解法1由點(diǎn)線距離公式將拋物線上的任意一點(diǎn)到直線的距離表示成的二次函數(shù)，再通過配方求最值，體現(xiàn)了函數(shù)思想在解析幾何中的運(yùn)用.解法2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想發(fā)現(xiàn)與直線平行的拋物線的切線的切點(diǎn)就是所求點(diǎn)，設(shè)切線方程為后運(yùn)用方程思想求出，進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo). 解法3則設(shè)切點(diǎn)為P，直接寫出過二次曲線上一點(diǎn)P的切線方程，由切線與已知直線平行.兩斜率相等，求出切點(diǎn)坐標(biāo).解法2、3不僅適用于求拋物線上到直線的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)，同樣也適用于求橢圓、雙曲線上到直線的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)，故為通法.解法3涉及到過拋物線上一點(diǎn)的拋物線的切線方程，下面用導(dǎo)數(shù)證明

14、一般情形的結(jié)論：定理 過拋物線上一點(diǎn)P的切線方程是.證明 設(shè)過點(diǎn)P的拋物線的切線的方程為.，代入得，.點(diǎn)在拋物線上，代入，得切線方程為.拓展 觀察切線方程的特征，就是同時將曲線方程中的分別換成，把分別換成便得切線方程.事實(shí)上，對于一般二次曲線，有下面的定理.定理 過二次曲線上一點(diǎn)的該曲線的切線方程是.運(yùn)用該定理必須注意點(diǎn)在曲線上.例 求過點(diǎn)的曲線的切線的方程.解 經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)在曲線上，根據(jù)上面的定理，所求切線方程為，即. 題37 在拋物線上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則的取值范圍是 . (第十五屆高二培訓(xùn)題第71題)解法1 設(shè)兩點(diǎn)B、C關(guān)于直線對稱，直線BC的方程為，將其代入拋物線方程，得.若設(shè)BC的

15、中點(diǎn)為M，則.因?yàn)镸在直線上，所以.，因?yàn)锽C與拋物線相交于兩個不同點(diǎn)，所以.再將的式子代入，經(jīng)化簡得，即，因?yàn)椋?解法2 由解法1，得，.因?yàn)?，所以，解?解法3 設(shè)B、C是拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，且BC中點(diǎn)為M.因?yàn)?，所以，即，所?又,所以,因?yàn)镸在拋物線的內(nèi)部，所以，即，解得.解法4 設(shè)B、C是拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)， M是BC中點(diǎn).設(shè)M，B，C,則，.-，得.因?yàn)辄c(diǎn)M在直線上，.代入得直線BC的方程為，故直線BC的方向向量為，同理得直線的方向向量.因?yàn)橹本€BC與直線垂直，所以，即，化簡得，得或（舍去）.顯然，解得.因?yàn)镸在拋物線的內(nèi)部，所以，即，又，所以.評析 定（動）圓

16、錐曲線上存在關(guān)于動（定）直線對稱的兩點(diǎn)，求直線（圓錐曲線）方程中參數(shù)的取值范圍.這是解析幾何中一類常見的問題.解決這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造含參數(shù)的不等式，通過解不等式求出參數(shù)的范圍.解法1運(yùn)用二次方程根的判別式，解法2運(yùn)用均值不等式，解法3、4運(yùn)用拋物線弦的中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，分別成功地構(gòu)造了關(guān)于的不等式，這其中，韋達(dá)定理、曲線與方程的關(guān)系、兩垂直直線的方向向量的數(shù)量積為零等為構(gòu)造關(guān)于的不等式起了積極作用.練習(xí) 若拋物線上總存在關(guān)于直線對稱的兩個點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）A、 B、 C、 D、答案：B題38 拋物線的一條弦的傾斜角是,弦長是,那么這種弦都經(jīng)過一定點(diǎn),該定點(diǎn)是 （第十三屆高二培訓(xùn)題

17、第73題）解法1 設(shè)弦過點(diǎn)，則弦所在的直線是，代入拋物線方程，消去得，即(弦長)2=，即，由此得當(dāng)時，弦所在直線方程為，弦長為4由，得或又由弦長，得綜上，這些弦都經(jīng)過點(diǎn)（1，0）解法2 由題意，對任意都得同一結(jié)論，故運(yùn)用特殊化思想解令，則弦長為，此時弦所在直線方程為，代入，得，由題設(shè)，即所以時，弦所在直線方程為再令，則弦長為，設(shè)此時弦所在直線方程為，得，代入并整理，得，弦長，解得，所以時，弦所在直線方程為解，得定點(diǎn)為（1，0）評析 題目本身反映了對于一條確定的拋物線，若確定，則以為其傾斜角的弦的長也確定，變化，則以為其傾斜角的弦的長也變化但不論怎樣變化，這樣的弦都過一個定點(diǎn)，這反映了客觀世界運(yùn)

18、動變化中的相對不變因素的存在由題設(shè)可知，故解法1設(shè)弦過點(diǎn)，并分直線的斜率存在與不存在兩類情形，根據(jù)弦長是，直接求出從而說明不論為何值，弦總過定點(diǎn)（1，0）這是合情合理的常規(guī)思維然而，根據(jù)題意，這些弦過定點(diǎn)肯定是正確的，這就意味著滿足題設(shè)的任意兩弦的交點(diǎn)就是所求定點(diǎn)這就具備了運(yùn)用特殊化思想解題的前提解法2分別令與，得到兩個相應(yīng)的弦所在直線的方程，解其聯(lián)立方程組得其交點(diǎn)為(1,0)，即為所求這種解法的邏輯依據(jù)是“若對一般正確，則對一般中的特殊也正確”至于解法2中為什么令與，而不令與，主要是為了計(jì)算的方便，這也是用此法解題時應(yīng)當(dāng)十分注意的應(yīng)當(dāng)指出，凡解某種一般情形下某確定結(jié)論是什么的問題都可用這種方

19、法解拓展 原題中弦長中的4恰好為拋物線方程中的，而答案中的定點(diǎn)又恰好為拋物線的焦點(diǎn)這是偶然的巧合，還是普遍規(guī)律呢？經(jīng)研究，這 并非巧合，而是一個定理.定理 若拋物線的弦PQ的傾斜角為，則的充分必要條件是PQ經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)證明 先證必要性:由已知，可設(shè)PQ的方程為，代入，得由已知及弦長公式得將的兩根之和與積代入，得，從而得（），解得，即知過焦點(diǎn)容易驗(yàn)證當(dāng)時，結(jié)論也成立再證充分性：由已知可設(shè)的方程為，代入，得 ，將的兩根之和與積代入得容易驗(yàn)證當(dāng)時，結(jié)論也成立應(yīng)用該定理，可解決下面的問題：1斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長2是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦，若，試求的面

20、積（是坐標(biāo)原點(diǎn)）（91年全國高中聯(lián)賽題） 3是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦，是拋物線的頂點(diǎn)，若的面積為4，求的傾斜角（98年上海高考題）答案：1. 8 2. 3.或題39 長為的線段AB的兩端在拋物線上滑動，則線段AB的中點(diǎn)M到軸的最短距離等于 .（第13屆高二第二試第20題）.,解 設(shè)AB的中點(diǎn)為M（），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（），由對稱性知B的坐標(biāo)為，于是有以下關(guān)系成立：+，得 ，-，得 .將、代入，得，即，因?yàn)楫?dāng)時, 有最小值,當(dāng)時, 是單調(diào)增加的.又關(guān)于是單調(diào)增加的,所以,當(dāng)時, 取得最小值.評析 點(diǎn)M到軸的最短距離顯然就是點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值.巧妙利用對稱性，設(shè)出點(diǎn)M、A、B的坐標(biāo)后，利用曲線與方程的關(guān)

21、系及平幾知識，可以得到三個關(guān)系式，這又有何用處呢？我們要求的是的最小值，現(xiàn)在卻出現(xiàn)了四個 變量，能否消去從而得到，再求其最小值呢？果然，可以消去，得到 （這里用到了“設(shè)而不求”及函數(shù)的思想方法）.若變形為，再令，得到 ，則可由方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解求出的最小值，但方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解的充要條件很復(fù)雜.能否用別的什么方法呢？考慮到式中的，故將式變形為 ，由于與的積是定值，故當(dāng)=，即時,有最小值.然而，因?yàn)?，所以，即取不到，故由函?shù)為的單調(diào)增函數(shù)，可知當(dāng).注：形如的函數(shù)，若則當(dāng)時, 取得最小值；若,則單調(diào)遞增, ；若,則單調(diào)遞減，.(請讀者自己證明該結(jié)論)拓展 將此題推廣，可得定理1 長為的線段AB的兩端在

22、拋物線上滑動，線段AB的中點(diǎn)M到軸的距離為，則（1） 當(dāng)（2） .證明 由題意，直線AB的斜率存在.設(shè)則，所以直線AB的方程為，由，消去，得，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線的內(nèi)部，即，所以，又，所以.于是對求導(dǎo)數(shù)，得.（1）若（拋物線的通徑長），令，得，易知，是的唯一極小值點(diǎn)，所以當(dāng) （即軸）時，； （2）若，令，得或，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，. 令定理中的，由定理的結(jié)論（1）可知本賽題的答案為. 此定理盡管也可以用均值不等式加以證明，但配湊的技巧性很強(qiáng).這里，運(yùn)用高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明，顯得較為簡潔.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，順理成章，不必考慮特殊技巧，易被大家接受，應(yīng)當(dāng)加以重視并大力提倡. 此定理還可

23、進(jìn)一步拓廣到橢圓、雙曲線的情形，便得如下：定理2 已知A、B兩點(diǎn)在橢圓上滑動，|AB| = ，線段AB的中點(diǎn)M到軸的距離為，則（1）；（2）當(dāng).定理3 已知A、B兩點(diǎn)同在雙曲線的右（或左）分支上滑動，|AB| =，線段AB的中點(diǎn)M到軸的距離為，則（1）；（2）當(dāng) .為證定理2、3，可以先證引理 在圓錐曲線過焦點(diǎn)的弦中，垂直于對稱軸的弦最短.BAFO證明 設(shè)圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為，其中表 示圓錐曲線的離心率，表示焦點(diǎn)F到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，設(shè)AB是圓錐曲線過焦點(diǎn)F的弦，且A，因?yàn)?，所?=.當(dāng)，即當(dāng)AB與對稱軸軸垂直時，故在圓錐曲線過焦點(diǎn)的弦中，垂直于對稱軸的弦最短.下面運(yùn)用引理證明定理2 .證明 （1）不妨設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F（），A、M、B三點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離分別是由橢圓的第二定義知：|AF|=，|BF|=，|AF|+|BF|AB|=，所以.又過焦點(diǎn)的弦最小值