數(shù)學(xué)建模習(xí)題指導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)建模習(xí)題指導(dǎo)第一章 初等模型討論與思考討論題1 大小包裝問題在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w的關(guān)系，并解釋其實際意義。提示：決定商品價格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。 單價隨重量增加而減少單價的減少隨重量增加逐漸降低思考題2 劃艇比賽的成績賽艇是一種靠漿手劃槳前進的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同，但形狀相似。T.A.McMa

2、hon比較了各種賽艇19641970年四次2000m比賽的最好成績(包括1964年和1968年兩次奧運會和兩次世界錦標賽)，見下表。建立數(shù)學(xué)模型解釋比賽成績與漿手數(shù)量之間的關(guān)系。各種艇的比賽成績與規(guī)格艇種2000m成績t(min)艇長l(m)艇寬 b(m)l/bW0 (kg) 與n之比1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.6103

3、0.014.7第二章 線性代數(shù)模型森林管理問題森林中的樹木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲，每當砍伐一棵樹時，應(yīng)該就地補種一棵幼苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木，其價值取決于樹木的高度。開始時森林中的樹木有著不同的高度。我們希望能找到一個方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟價值。思考：試解釋為什么模型中求解得到的 為每周平均銷售量會略小于模型假設(shè)中給出的1。練習(xí)：將鋼琴銷售的存貯策略修改為：當周末庫存量為0或1時訂購，使下周初的庫存達到3架；否則，不訂購。建立馬氏鏈模型，計算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。

4、2.將鋼琴銷售的存貯策略修改為：當周末庫存量為0時訂購本周銷售量加2架；否則，不訂購。建立馬氏鏈模型，計算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。第三章 優(yōu)化模型討論題1）最優(yōu)下料問題用已知尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤。給出幾種加工排列方法，比較出最優(yōu)下料方案。2）廣告促銷競爭問題甲乙兩公司通過廣告競爭銷售商品，廣告費分別為 x 和 y。設(shè)甲乙公司商品的售量在兩公司總售量中所占份額是它們的廣告費在總廣告費中所占份額的函數(shù)又設(shè)公司的收入與售量成正比，從收入中扣除廣告費后即為公司的利潤。試構(gòu)造模型的圖形，并討論甲公司怎樣確定廣告費才能使利潤最大。（1）令（2）寫出甲公司的利潤表達式對一定的

5、 y ，使 p(x) 最大的 x 的最優(yōu)值應(yīng)滿足什么關(guān)系。用圖解法確定這個最優(yōu)值。練習(xí)1三個家具商店購買辦公桌：A需要30張，B需要50張，C需要45張。這些辦公桌由兩個工廠供應(yīng)：工廠1生產(chǎn)70張，工廠2生產(chǎn)80張。下表給出了工廠和商店的距離（單位公里） ，假設(shè)每張每公里運費0.5元。尋求一個運送方案使運費最少？工廠 家具店ABC11053027205 A 1 B 2 C商店工廠 A B C170280305045練習(xí)2 下料問題某車間有一批長度為180公分的鋼管（數(shù)量充分多）今為制造零件，要將其截成三種不同長度的管料，70公分，52公分，35公分。生產(chǎn)任務(wù)規(guī)定，這三種料的需要量分別不少于10

6、0根，150根，100根。我們知道，截分鋼管時不免要產(chǎn)生“邊角料”，從節(jié)約原料的觀點來考慮，應(yīng)該采取怎樣的截法，才能在完成任務(wù)的前提下，使總的邊角料達到最小限度？所 有 可 能 的 截 法截法(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)需要量長度7052352 1 1 1 0 0 0 00 2 1 0 3 2 1 01 0 1 3 0 2 3 5100150100邊料（cm）5 6 23 5 24 6 23 5現(xiàn)用 分別表示采用每個截法的次數(shù)，則問題變成在約束條件：下求目標函數(shù)： 的最小值。實例1 加工奶制品的生產(chǎn)計劃一奶制品廠用牛奶生產(chǎn)A和B兩種奶制品，一桶牛奶可以在設(shè)備甲

7、上用12 小時加工成3 公斤A，或者在設(shè)備乙上用8 小時加工成4 公斤B。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)的A，B全能出售，且每公斤A獲利24元，每公斤B獲利16元。現(xiàn)在加工每天能得到50 桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總勞動時間為480小時，并且設(shè)備甲每天至多能加工100 公斤A，設(shè)備乙的加工能力沒有限制。試為該廠制訂一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大，并試為該廠制訂一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大，并進一步討論以下3個附加問題：（1）若用35元買到1 桶牛奶，應(yīng)否作這項投資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶？（2）若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時幾元？（3）由于市場需求變化，每公斤A獲利

8、增加到30元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？第四章 概率統(tǒng)計模型練習(xí)：利用上述模型計算，若每份報紙的購進價為0.75元，售出價為1元，退回價為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報童每天應(yīng)購進多少份報紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？用本章所學(xué)方法，思考以下幾個方面的問題：1）酒店酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠信之上，因此通常不會再接受有過失信記錄的顧客的預(yù)訂。一些酒店在接受預(yù)訂時會要求顧客交納押金，以此來確保顧客住房的概率（施行這種方案的一般是低價酒店，因為它們的周轉(zhuǎn)資金往往不多），而另一些酒店則可能會給長期訂房或是預(yù)付房費的顧客打折。這種多價格系統(tǒng)的經(jīng)營方式是可以考慮的。2）

9、汽車出租公司汽車出租公司一般會保留固定數(shù)量的汽車（至少在短期內(nèi)）以出租給顧客。出租公司可能會為頻繁租借汽車的顧客打折，以此來確保公司能有最低量的收入。而一些長期出租品（一次出租一周或一個月）也會標上優(yōu)惠的價格，因為這給出了一個至少確定了未來的一段日子會有收入的策略。在預(yù)測一些車輛的預(yù)訂可能會被取消的情況下，一間公司有可能充分地留出比它們計劃中要多的汽車。3）圖書館圖書館都有可能購買一些暢銷書籍的多種版本。特別是在學(xué)院或大學(xué)圖書館里，時常購買一系列課本。某些版本極有可能僅限在圖書館內(nèi)，以方便學(xué)生們的使用?？梢試L試建立書籍使用的模型。練習(xí)：下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本（元）的數(shù)據(jù)，從散

10、點圖，可以明顯的發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時，單位成本對生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系，生產(chǎn)批量超過500時服從另一種線性關(guān)系，此時單位成本明顯下降。希望你構(gòu)造一個合適的回歸模型全面地描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50第五章 離散模型思考：多名專家的綜合決策問題五 練習(xí)1合理分配資金問題 某工廠有一筆企業(yè)留成利潤，要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用?？晒┻x擇的方案有：以獎金名義發(fā)給職工；擴建集體福利設(shè)施；購進新設(shè)備等。為了進一步促進企業(yè)發(fā)展，如何合理

11、使用這筆利潤。2 足球隊排名次（CUMCM）1993年 B 題China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling3 自己設(shè)計有關(guān)題目如：高考填報志愿問題， 選擇職業(yè)問題，排名（排序）問題。合理分配資金問題1 層次結(jié)構(gòu)模型合理利用企業(yè)利潤Z提高企業(yè)的技術(shù)水平改善職工的生活條件調(diào)動職工的積極性引進新設(shè)備擴建福利事業(yè)發(fā)獎金2 求解Z-C矩陣Z C1 C2 C3 WC1C2C3 1 1/5 1/3 5 1 3 3 1/3 10.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0330.1 OKC-P矩陣C1 P1 P2 WP1

12、P2 1 3 1/3 1 0.750.25CI1RI200 OK 0.75, 0.25, 0C2 P2 P3 WP2P3 1 1/5 5 1 0.1670.833CI2RI200 OK0, 0.167, 0.833C3 P1 P2 WP1P2 1 2 1/2 1 0.6670.333CI3RI200 OK0.667, 0.333, 0Z-P矩陣 ZP C1 C2 C30.105 0.637 0.258總排序權(quán)值P1P2P30.75 0 0.6670.25 0.167 0.333 0 0.833 00.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=0

13、000.1第六章 微分方程模型思考2 屋檐的水槽問題 房屋管理部門想在房頂?shù)倪呴馨惭b一個檐槽，其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋檐的房頂可看成是一個12米長，6米寬的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在 。 b a現(xiàn)有一公司想承接這項業(yè)務(wù)，允諾：提供一種新型的檐槽，包括一個橫截面為半圓形（半徑為7.5cm）的水槽和一個豎直的排水管（直徑為10cm），不論天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?。房管部門猶豫，考慮公司的承諾能否實現(xiàn)。請你建立數(shù)學(xué)模型，論證這個方案的可行性。 b a1 問題的簡化水槽的容量能否足以排出雨水的問題，簡化為水箱的流入流出問題。從房頂上流下的雨水量是流入量；順垂直

14、于房頂?shù)呐潘芘懦龅氖橇鞒隽?。水槽能否在沒有溢出的情況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時間的函數(shù)關(guān)系。2 假設(shè)（1）雨水垂直下落并且直接落在房頂上；（2）落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）直接落入水槽中的雨水可忽略不計；（4）落在房頂上的雨沒有濺到外面去；（5）在排水系統(tǒng)中不存在一些預(yù)料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹葉等。3 符號說明 有關(guān)因素因素類型符號單位降水速度輸入變量rms-1時間變量ts房頂?shù)膬A斜角輸入?yún)?shù) 弧度房頂?shù)拈L度輸入?yún)?shù)dm房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)am水槽中水的高度輸出變量hm水槽中水的容量變量Vm3流入水槽的流速變量Q1m3s-1流出水槽的流速變量Q0m3s-1排水管的橫截面積參數(shù)Am24 模型的建立根據(jù)速度平衡原理，對于房頂排水系統(tǒng)水槽中水的容量的變化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。分別是單位時間流入水槽和從水槽流出的雨水量的體積。 雨表示單位時間里落在水平面上雨水的深度，房