河北師大近世代數(shù)課件 第2講--3-7節(jié)代數(shù)運算與三種運算律-一一映射 (9)

1、主講教師主講教師 ： 蔡蔡 炳炳 苓苓 （河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院（河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院)第第9講講 第6節(jié) 置換群 定義定義1：一個有限集合的一個一一變換叫做一：一個有限集合的一個一一變換叫做一個個置換置換。定義定義2： 一個有限集合的若干個置換構(gòu)成的群一個有限集合的若干個置換構(gòu)成的群稱為一個稱為一個置換群置換群。定義定義3：一個含有：一個含有n個元素的有限集合的所有個元素的有限集合的所有置換構(gòu)成一個群，稱為置換構(gòu)成一個群，稱為n次對稱群次對稱群。記作。記作Sn一、置換和置換群一、置換和置換群 定理定理2 任何有限群都同任何有限群都同一個一個置換群同構(gòu)。置換群同構(gòu)。定理定理1

2、：n次對稱群次對稱群Sn的階是的階是n！。！。注：置換群是有限群。二、置換的矩陣表示二、置換的矩陣表示 1,2,An 1212nnppp12:1,2,nppnp 置換置換可表示為可表示為12,nppp其中其中是是1,2,n的全排列的全排列.考慮任意有限集合，不妨設(shè)稱作一個n階置換或n次置換。注注：一個n階置換可以有n!種不同的表示形式。例例1 1 1 , 2 , 3A 0123123 1123132 2123213 3123231 4123312 5123321 3012345,S 設(shè)設(shè), ,求求A的全體置換的全體置換. .三次對稱群為：三次對稱群為：1256,1;11212,1221,SSS

3、S 完全類似地可有完全類似地可有：關(guān)于置換的運算關(guān)于置換的運算1.1.置換的乘積置換的乘積：1212,nnppp 1212nnpppkkk 1212nn 12112npppn 1212nnkkk1212nnppp 2.2.單位（恒等）置換單位（恒等）置換：3.3.置換的逆置換的逆：注意：置換乘法沒有交換律注意：置換乘法沒有交換律。如。如1123132 5123321 123312 153 15123123132321 51123123321132 123231 514 3S是有限非交換群.是最小的有限非交換群.因為我們3S而且，可以說后面會看到，階數(shù)小于6的群都是交換的。設(shè) 是兩個置換，其中則

4、,naaan212111212nnaaa 命題2則111(1)(1)11112(2)(2)11kknkknkknkknjjjjjjjjjjjjjjjj設(shè)命題11112(1)(1)(2)(2)11kknkknjjjjjjjj nS1i2i2ikii,31i定義定義 中的一個將中的一個將變到變到，變到變到變回到變回到，而其余元素（如果還有其他，而其余元素（如果還有其他元素）不發(fā)生元素）不發(fā)生變化的置換，叫做變化的置換，叫做 k k循環(huán)循環(huán)( (置換置換) )或輪換或輪換，記為，記為 123231121)（，（， ，或（kkkki i iii ii ii i ii 注注：循環(huán)置換的表示一般也不是唯一

5、的。習(xí)慣上，稱2-輪換為對換；單位置換常記為(1)(2)(3)( )n 三、循環(huán)置換及置換的循環(huán)置換分解表示三、循環(huán)置換及置換的循環(huán)置換分解表示 0123123 1123132 2123213 3123231 4123312 5123321 3012345,S 例例 三次對稱群為：三次對稱群為：3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S 三次對稱群中所有置換都是循環(huán)置換三次對稱群中所有置換都是循環(huán)置換 注：注：并不是每個置換都是循環(huán)置換。并不是每個置換都是循環(huán)置換。1234534521 12345345211234512345(135)(24)3254114325 不是循

6、環(huán)置換，但不是循環(huán)置換，但 12, ,ki ii 12,sjjj 設(shè)設(shè)和和都是循環(huán)置換都是循環(huán)置換, ,如果如果與與不含相同元素，不含相同元素，是不相連（交）的是不相連（交）的. .則稱則稱與與定理定理3 3 每個置換都可表成不相連循環(huán)置換之積每個置換都可表成不相連循環(huán)置換之積. .121223112kssiiijjjabiiijjjab 12, ,ki ii 證：證： 注注：將置換寫成不相連的循環(huán)置換之積是：將置換寫成不相連的循環(huán)置換之積是表示置換的第二種方法表示置換的第二種方法. .對其變動的數(shù)字個數(shù)作歸納1-循環(huán)) 1 (3-循環(huán)4-循環(huán)2-循環(huán)混合循環(huán))34(),24(),23(),14(),13(),12()243(),234()143(),142(),134(),132(),124(),123()1432(),1423(),1342(),1324(),1243(),1234()23)(14(),24)(13(),34)(12(例：將S4中的置換寫成循環(huán)置換乘積的形式。練習(xí)練習(xí)123456613542123456231654123456316452 求求（1 1）循環(huán)置換分解，（）循環(huán)置換分解，（2 2）逆元，（）逆元，（3 3）階）階（4