2016陜西省數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題及其答案

1、2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西賽區(qū)預(yù)賽試題(4 月 24 日上午 8:30 11:00)第一試、選擇題（每小題 6分，共48分.給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、已知集合M =1,2,3,10A是M的子集，且A中各元素的和為8,則滿足條件的子集A共有（）A. 8個B. 7個C. 6個D.5個2、在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組B.3J3y 2 0表示的平面區(qū)域的面積是（0C. 2D. 2 .33、設(shè)a, b ,c是同一平面內(nèi)的三個單位向量,且a b，則（c a） （c b）的最大值是B. 12C. /2 1D. 14、從1,2, ，20這20個數(shù)中，任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成等

2、差數(shù)列的概率為1A.一51B.103 C. 193D.385、A, B是拋物線3 x2上關(guān)于直線x y 0對稱的相異兩點，則| AB |等于A.B. 4D.4 26、如圖,則三棱錐在棱長為1的正四面體ABCD中, M BCD的外接球的表面積為（7、8、A.設(shè)函數(shù)f (a)f (x)x3f (b)A. 16設(shè)非負(fù)實數(shù)A. 22 axb3,B.bxc （a,b, c均為非零整數(shù)）則c的值是（）C. 4D. 16a, b, c 滿足 abB. 3bcca a b0,則 TabBCD的重心,Vbc Vca的最小值為D. 2 . 2二、填空題(每小題8分，共32分)9、在數(shù)列an中，a4 1,aii 9

3、,且任意連續(xù)三項的和都是15，則22?；?_.10、設(shè)m,n均為正整數(shù)，且滿足 24m n4 ,則m的最小值是.11、設(shè)f (x)、g(x)分別是定義在 R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f (x)+g(x) 2x,若對x 1,2, 不等式af (x)+g(2x) 0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 .12、設(shè) x R ,則函數(shù) f (x) | 2x 1| | 3( 2 | | 4x 3 | | 5c 4 |的最小值為 .第二試、(本題滿分20分)設(shè)x, y均為非零實數(shù)，且滿足x sin - y cos-55x cosy sin 一559 tan20,求sin 2 A 2cosB的最大值.(1)求y的值；(

4、2)在 ABC中，若tanC x二、（本題滿分 20分）已知直線l : y J3x 4,動圓O : x2 y2 r2 （1 r 2）,菱形ABCD的一個內(nèi)角為60,頂點A,B在直線l上，頂點C,D在圓O上，當(dāng)r變化時，求菱 形ABCD的面積S的取值范圍.三、（本題滿分20分）如圖，圓01與圓02相交于P,Q兩點，圓01的弦PA與圓02相切,圓02的弦PB與圓01相切，直線PQ與 PAB的外接圓0交于另一點 R.求證：PQ QR .四、(本題滿分30分)設(shè)函數(shù)f (x) ln x ai 1 1), a R，且f (x)的最小值為0 ,x(1 )求a的值； (2 )已知數(shù)列&滿足a 1 , a-

5、f (an) 2(n N ),設(shè)&aia2a3 an ,其中m表示不超過 m的最大整數(shù).求 Sn .五、(本題滿分30分)設(shè)a, b, c為正實數(shù)，且滿足 abc 1,對任意整數(shù) n 2 ,證明:can；a-2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽陜西褰區(qū)預(yù)賽 試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1 .評國迷4kH.訃依本評棹泄.一“第一人讓6套”。分西*;第二期尺途8分或0 分西檔;二玫非一二、三HS分為一個卷次題I。分為一個種次.不叁再增加具它中冏* *2 .如氯蟲的就3才安“本僑3不同,只要。合H.及正在訐$廿彳，累公評分伴才 設(shè)方劃分”次評分.第一試一,選授:本其8小.小6分.共48分荏備小!出的四個逸項中,只有

6、一事是科 合目要來的.1.巳知東合”11.2.3.10I.4是“的子集.且4中3元4的孫為8,9，型條件的子集.4 共有()A.8個B.7個C6個D.5個：G元“力$的于編4本：|81|17|/2./3.g.|17.，|“.3.1，共6個.I&-yO.一 75y OO.我承的平面區(qū)域的面枳是()y0A 亨B.6C2。,26鯽:B不等式IB表承的平面區(qū)域是一個三角形的內(nèi)部(包括邊界3城中三個旗點的型標(biāo)分別是 4( “0八0(0。)1(1.6).同知少08的面枳S/x2x萬萬3.設(shè)、機(jī)。是同一平面內(nèi)的三個單位向量,且。則“-)-的班大值是(兒】mc-id.iM：A.【方法1出為 111。11 .所

7、以,立&向與的賓角為0剜(e -)( -)c -e (。) 0) lcl: - Icl* la*1 -63$) = (cmtf - I)crntf (in( tint -1) cmb*dn：。- ( cm# Mn 1,).放、5（共:）（一取得最大值.e大值為1 /4從1.2.20這20個數(shù)中,任取3個不同的我明這3個效構(gòu)成等差鼓刻的演率為（）X :B.C.白D. 4nbutv：D.從這20個數(shù)中傳取3個數(shù).不網(wǎng)的以法共 V IM0乩若取出的3個效成等是以列.婀。.!以。、（ 同為奇數(shù).或同為偶數(shù),旦小 定后.6吆之而匕故所求微率為，Gj三G;表.人3是嵬窈線y3-/上關(guān)于直線一10對稱的相舞

8、兩點財I等于（）A.3B.4U3D.46：C（方法I】因為點4、B關(guān)于直我心廣。而珍所以- 1.QX找48的方取為y，s,代入y3/.用/630.由,糊4設(shè)4（。1）、8（巧.娟,.45的中點為“小.），則與=主尹-y.從而,兀f 664又點“（在直線 y0匕所以-/6-/=0.地6:1.垮 bl ttACP,科/20.陽/ -2.it-I.所以4（ -2-1）、8.2）.故認(rèn)例=3五.【方法2】因為a4 4關(guān)于允妓* 0用冰所以可設(shè),，）、 -& -a）.又點4淖在旭 物線,3-/上，所以d” 叫;二:;味:：不妨設(shè) 4（ -2.-1） Jl（lt2）.|l4l.3A6如陽I 在檢氏為I的正

9、用鹵體4偵如中.G為MC0的重心盟是/ 線段4c的中點則二蛾UW-fiCO的外接球的灰向根為（）/ 乂 口C鼻咯念乩M;K如用I 連結(jié)BC.內(nèi)力C為正ABCD的重心.所以AC 1平面BCD.從A I加速年全舄GfT/Q0*19*區(qū)像4*1$4答*匍MFC.在 3CH中.AB1 .BC q 吟專扁AG的 厚 千足.MG吟4G. ,在以WG8中.M8。JMC，Bd &.從而.C 工所以梟廣 MC31AC1.所以 MHlMC. H.MClMD.MDLMB.所以三檢饞M-8C0的外接球的R徑等于以JMLMC.M為 校的正方體的對角或長設(shè)三校維WTCO的外援肆半役為人則2犬=6加亭 故外按球的我 田|

10、枳 S =4 萬(* = *r.7 .收函數(shù)x) / 0,則+店-石的最小值為(A.2B.3C6D.2五解:A不妨設(shè)由均值不等式,將(a * & 4c)( Yab Tic /ca)=(a ) Jab (6 *c)yic (e *a) Jca (c 7a6 *a /be & /)(a *4) Ta? (6*c)ySr * (c a)2 JU*2 yic , ySe *2 Jca s2(a6 *k +0 .所以 /Q v/2.由 c sO.a =b.ab &+ = a+6-c海。=b=2.e =0.收力a 94 卜育西個為2 一個為。時. 后 而取得屬小海為2.二、境空國：本題共4小題,缶小量8分

11、,共32分將答案填在地中的橫虢上.9.數(shù)列I aj中d -1.%1,9.只任意連城三項的和郡是1S則%h,M：5.依密總對任On、.4 A.i + .4VW )2(l-yl Ix-yl) *3( llx-y I lx-y I ) *41* - jl2l(M-y) -(-y)l 3l(-y) I *31-1-l當(dāng)且僅當(dāng)(/)(* -/)（1）求上的值;（2）在 AABC P.UnC = +求 tin24 -2eB 的最大值.由牛工 J第：（口由已知得一二tan書.，5tan Und QQ令工=39則 Un /，即Un(夕區(qū))工M1 “205 M1 - UnAan -所以8TM療黑即8A沙寮*.Z

12、).故*ur6hm(右手)* Un L s44(2)rtl(l)tonC-L因為0C”,所以C嚀從前/*8則24苧-26.所以&04 d/，(竽-28) 4 2cmAs - c2B 2roB s - 2x2 B 2eos 1- -2(coai! -y)1 4y*故當(dāng)cmll -y ,BP 8 半時.AM .Zcot。取褥最大值為宏10分15分20分10分二（本期滿分20分）已知直線/：，后*4.動圓0：/，（| / (W.證法I :如圖3,連結(jié)，。分別交PQ.PO于點W./V.MeO, X勺旦M為&的中點.il籍5 因為/M與回?！肯嗲?所以又PA為制0,與18 0的公共弦.所以PA 1010

13、.所以0,。,。 10分所以四邊形附00,為平行四邊形.從而,N為P0的中點.乂 M為PQ的中點.所以“火0。.即ao,oe 15分陽為州，所以O(shè)QSQ.即收，網(wǎng).又OQ = O/J ,故Q為網(wǎng)的中點，即枚=Q/L 20分證法2：如圖4,連結(jié)AQ、BQ、AR、即因為/M與闕02相切,P8 與1Hoi柏切所以乙AQ=f6Q4/MQ=/8PQ. 5分所以4/MQsM股.所以留留即什4Q/?Q 又乙AQR= CAPQ LPAQ* LAPQ- LBPQ = LAPB,LQKA APRAn CPBA .所以 AQARAPAB.同碑/(MWsA/MR 15 分所以 AQARQRB.所以器=篇即函,a枚P八

14、 Q曾取PQnQR. 20分四(本滿分30分)諛由數(shù)/U)=lnxrd-l).iR且/(*)的最小值為0.(I)求。的值，(2)已知數(shù)列 |。/屬足如 l.a.i /() 2(n N. ). fit S. 0,財/(，)在(0+8)上詞遞增.無被小值,不含題他當(dāng)。0時.若0jra.則/(、)0,西/,(/)0.所以函數(shù)/(“)在(0G上電商遞 減.在(.)上單商通所以人外一 人0) .剜 g (a) a -Ia a0a0tal99lf () ”,所以函數(shù).()在(CM)上軼調(diào)遞增在 8)上單調(diào)遞減.所以g(Gwg(D=0,當(dāng)11僅當(dāng)。1時.等號成立.故當(dāng)。取得最小但0. I。分(2)由(1)知0”).所以?！? /()*2 = Inn. * 1.由 a1 = I .得 5 = 2.從而必10吟因為/ln2l .所以2% 3.下面用數(shù)學(xué)內(nèi)納法證明：當(dāng)n3時2i.3.20分(I)當(dāng)。=3時,結(jié)論巳成立.(11)做設(shè)。=H33)時.2，3.綁么,當(dāng)hl時4山知/(%) “.) 2hu*l在(2J) t：單調(diào)遞增.所以 M2)*(aj “(3) .即 ln2A(oJ ln3