2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題

1、高考大題增分課(五)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問題命題解讀1.圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是高考必考知識(shí)，主要以一個(gè)小題一個(gè)大題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上.2.高考中的選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的基本性質(zhì)， 高考中的解答題， 在第(1)問中常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在第(2)問以求作或證明位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、 范圍、探索性問題為主.這些試題的命制有一個(gè)共同特點(diǎn)， 就是起點(diǎn)低， 但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問題的能力要求較高圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性I I題型1|1|質(zhì)圓錐曲線的方程與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線的漸近線是常見題型，多

2、以 選 擇 題 或 填 空 題 的 形 式 考 查 ， 各 種 難 度 均 有 可 能 .22【例1111(2017 全國卷田)已知雙曲線 C:皋一=1(a0,b0)的一條漸近線方程為 y=*x,且與橢圓X+2=1 有公共焦點(diǎn)，則 C 的方程為()2123B由 y=x 可得 a=*x2y2由橢圓行+:=1 的焦點(diǎn)為(3,0),(3,0),123可得 a2+b2=9.由可得 a2=4,b2=5.22所以C的方程為:一 y=1.45故選 B.規(guī)律方法解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握各曲線的定義、性質(zhì)及相關(guān)參數(shù)問2噫-2XC.?一W=14=122xyB-4522xyD”3二 1二 1的聯(lián)系.掌握一些常用

3、的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力取除維(1)(2017 全國卷 H)若雙曲線 C:點(diǎn)一(=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4 所截得的弦長為 2,則 C 的離心率為()A.2B.V3C.V2D.羋3(2)(2017 全國卷 I)已知 F 為拋物線C:y2=4x 的焦點(diǎn)， 過 F 作兩條互相垂直的直線 11,12,直線 11與 C 交于 A,B 兩點(diǎn)，直線 12與 C 交于 D,E 兩點(diǎn)，則 AB|十|DE|的最小值為()(1)A(2)A(1)設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為v=圓的圓心為(2,0),半徑為 2,由弦長為 2 得出圓心到漸近線的距離為22-12飛.根據(jù)點(diǎn)到直線的

4、距離公式得，2*=也，解得 b2=3a2Va2+b2所以 C 的離心率 e=言=/I+3=2.故選 A.(2)因?yàn)?F 為 y2=4x 的焦點(diǎn)，所以 F(1,0).1由題底直線 l1,l2的斜率均存在，且不為 0,設(shè) l1的斜率為 k,則 l2的斜率為k故直線 1I,l2的方程分別為 y=k(x-1),y=-(x-1).y=kx1,ztr9999由2得 k2x2(2k2+4)x+k2=0.y=4x,A.16B.14C.12D.10所以|AB|=5+k2|xix2|=、1+k2X1+X224X1X212k2+4241+k2-k2-4=同理可得|DE|=4(1+k2).一 41+k2c所以|AB|

5、+|DE|=k2+4(1+k2)二 49+1+1+k2=8+4k2+(8+4X2=16,1當(dāng)且僅當(dāng) k2=1，即 k=小時(shí)，取得等號(hào).故選 A.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問1 1堰型2|2|題定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標(biāo)等定值問題.22【例 2】(2017 全國卷I)已知橢圓 C：X2+*=1(ab0),四點(diǎn) P1(1,1),P2(0,1),P31,坐，P41,當(dāng)中恰有三點(diǎn)在橢圓 C 上.(1)求 C 的方程；(2)設(shè)直線 l 不經(jīng)過 P2點(diǎn)且與 C 相交于 A,B 兩點(diǎn).若直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為一

6、1,證明：l 過定點(diǎn).解(1)由于 P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于 y 軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓 C 經(jīng)過 P3,P4兩點(diǎn).又由2+白4+；32知，橢圓 C 不經(jīng)過點(diǎn) P1,aba4b所以點(diǎn) P2在橢圓 C 上.b2-1,a2=4,0 x22因此 13 解得b21 故橢圓 C 的方程為+y2=1.尹 4?=1，b=.設(shè) A(XI,y1),B(x2,y2),則XI+X2=2k2+4k2，XIX2=1,證明：設(shè)直線 P2A 與直線 P2B 的斜率分別為 k1,k2.如果 l 與 x 軸垂直，設(shè) l:x=t,由題設(shè)知 tw0,且|t|0.y11而 k1+k2=2+x1kx1+m1kx2+m1x12kx1x2+m1

7、x1+x2二.x1x2由題設(shè) k1+k2=1,故(2k+1)x1x2+(m1)(x1+x2)=0.口 n4m24-8kmm+1即(2k+1)4+(m1)4k77=0,解得 k=一.當(dāng)且僅當(dāng) m1 時(shí)，0,m+1,于是 l:y=-2x+m,所以 l 過定點(diǎn)(2,-1).規(guī)律方法1.證明直線過定點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)已知條件建立直線方程中斜率k 或截距 b的關(guān)系式，此類問題中的定點(diǎn)多在坐標(biāo)軸上.2 .解決定值問題應(yīng)以坐標(biāo)運(yùn)算為主，需建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，然后代入相應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)果即可得到.別為 t,當(dāng)工，t,一業(yè)/，則 ki+k2=2t2t=1,得 t=2,設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則 x1+x

8、2=8km4k2+1x1x2=4m244k21.y21x2x2即 y+1=一m+1-(x-2),3 .無論定點(diǎn)或定值問題，都可先用特殊值法求出，然后再驗(yàn)證即可，這樣可確定方向和目標(biāo).小 05m2.所以|BN|2=|BM|2+|MNF=NAC|2+|MN|故 B,N 兩點(diǎn)間的距離為定值 120圓錐曲線中的范圍、最值問圓錐曲線中的最值問題大致分為兩類：一類是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二類是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最HEEiS 田已知橢圓 E:=1(ab0)過點(diǎn)(0,1),且離心率為岑.求橢圓 E 的方程；、一，1(2)設(shè)直線 l:y=臥+m 與橢圓 E 父

9、于 A,C 兩點(diǎn)，以 AC 為對(duì)角線作正萬形 ABCD,記直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 N,問 B,N 兩點(diǎn)間的距離是否為定值？如果是，求出定值;如果不是，請(qǐng)說明理由.解(1)由題意可知,橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上,橢圓過點(diǎn)(0,1),則 b=1.由橢圓的離心率e=c=/Ia2=半，解得 a=2,所以橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)設(shè) A(xi,yi),C(x2,y2),線段 AC 的中點(diǎn)為 M(x0,y0).1，一y=,x+m,由2%y2=1,整理得 x2+2mx+2m22=0.由 A=(2m)24(2m22)=84m20,解得一/2mb0)右焦點(diǎn)的直1線 x+y-。3=0 父 M 于

10、A,B 兩點(diǎn)，P 為 AB 的中點(diǎn)，且 OP 的斜率為.求 M 的方程;(2)C,D 為 M 上的兩點(diǎn)，若四邊形 ACBD 的對(duì)角線 CDXAB,求四邊形 ACBD面積的最大值.y1)，B(x2,y2),P(xo,yo),2闿y2y1bx2x12.上日 bx2+x1y2-y1/由此可得六一-=1.ay2+yx2x1yo1因?yàn)?xi+x2=2xo,yi+y2=2yo,北=2,X04所以 a2=2b2.又由題意知，M 的右焦點(diǎn)為他,0),故因此a2=6,b2=3.解(1)設(shè) A(xi,222y1x2+b2=1，a2+a2b2=3.22所以M的方程為=1.x+yV3=0,由 xy2,9+3=1，解得

11、4,3x=3_小V=3x=0,或y=3.因止匕|AB|=&63由題意可設(shè)直線 CD 的方程為y=x+n53n0)交于_.,_A,B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA+OB=(4,-12).求直線 l 和拋物線 C 的方程；拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P 從 A 到 B 運(yùn)動(dòng)時(shí)，求ABP 面積的最大值.得 x2+2pkx4P=0.設(shè) A(XI,y1),B(x2,y?),則XI+x2=2pk,yi+y2=k(xi+x2)4=2pk24.因?yàn)?OA+OB=(xi+x2,yi+y2)=(2pk,2pk24)=(4,12),所以直線 l 的方程為 y=2x-2,拋物線 C 的方程為 x2=2y.(2)設(shè) P(x。，yo)

12、,依題意，知拋物線過點(diǎn) P 的切線與 l 平行時(shí)，4ABP 的面積最乂V=一 x,所以一 xo=2,y=kx2,解由2py,所以2pk=4,2pk24=12,解得p=1,k=2.一 1O、.故 X0=2,y0=2X2=2,所以 P(-2,-2).y=2x2,2由2得 X+4x4=0,故 xi+x2=4,xix2=4,x2=2y,，所以|AB|=4l+k2X弋xi+x224xix=口 1+22X-42-4X-4=410.410X455所以 AABP 面積的最大值為-=為伍1 1題型4|4|圓錐曲線中的證明與探索性問題圓錐曲線中的證明問題是高考的常考熱點(diǎn)， 其命題切入點(diǎn)較多， 既可以考查位置關(guān)系，

13、也可以與定點(diǎn)、定值、存在性問題綜合命題，有時(shí)也涉及一些否定質(zhì)命題，證明時(shí)一般常用直接法或反證法.難度一般較大.2【例 4】(本小題滿分 12 分)(2018 全國卷 I)設(shè)橢圓 C:+黃=1 的右焦點(diǎn)為 F,過 F 的直線 l 與 C 交于 A,B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng) l 與 x 軸垂直時(shí)，求直線 AM 的方程；(2)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/OMA=/OMB.信息提取看到求直線方程，想到利用先求斜率再利用點(diǎn)斜式求直線方程；看到證明兩角相等，想到利用兩直線的斜率之和為 0 可證明兩角相等.規(guī)范解答(1)由已知得 F(1,0),l 的方程為 x=1.1 分由已知可得，點(diǎn)

14、 A 的坐標(biāo)為 1,*或 1,乎.2 分又 M(2,0),所以 AM 的方程為 y=當(dāng) x+也或 y=*x亞 3 分(2)證明：當(dāng) l 與 x 軸重合時(shí)，/OMA=/OMB=0.4 分當(dāng) l 與 x 軸垂直時(shí)，OM 為 AB 的垂直平分線，所以/OMA=/OMB.5 分此時(shí)點(diǎn) P 到直線 l 的距離 d=|2X222|44y522+-12耶5當(dāng) l 與 x 軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè) l 的方程為 y=k(x1)(kw0),A(x1，y1)，B(x2,則次啦，乩痘，直線 MA，MB 的斜率之和為，+kM”總+3.7 分由 yi=kxik,y2=kx2k 得2將 y=k(xi)代入+y2=i 得(2

15、k2+i)x24k2x+2k22=0.4k22k22所以 xi+x2=2k2+i，xix2=2G+i.9 分從而 kMA+kMB=0,故 MA,MB 的傾斜角互補(bǔ).所以/OMA=/OMB.綜上，/OMA=/OMB.i2 分易錯(cuò)與防范 解答本題(2)時(shí)易漏掉對(duì)特殊情況討論， 即直線與 x 軸重合及直線與 x軸垂直， 想當(dāng)然認(rèn)為斜率一定存在而致錯(cuò)， 解答此類問題時(shí)應(yīng)特別注意直線斜率存在與否.通性通法圓錐曲線中的證明問題多涉及證明定值、點(diǎn)在定直線上等，有時(shí)也涉及一些否定性命題，證明方法一般是采用直接法或反證法.2跟蹤維田在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C：y=，與直線 l：y=kx+a(a0)交于

16、M,N 兩點(diǎn).(1)當(dāng) k=0 時(shí)，分別求 C 在點(diǎn) M 和 N 處的切線方程；(2)y 軸上是否存在點(diǎn) P,使得當(dāng) k 變動(dòng)時(shí)，總有/OPM=/OPN?說明理由.解(1)由題設(shè)可得 M(27a,a),N(-2，a,a),或 M(2,a),N(2,a).xx2又 y=2,故丫=4 在乂=2處的導(dǎo)數(shù)值為 ya,所以 C 在點(diǎn)(2 暇，a)處的切線方程為ya=g(x2g),即,axya=0.2y=在 x=2g 處的導(dǎo)數(shù)值為Va,C 在點(diǎn)(2,a)處的切線方程為 y-a=.a(x+2a),y2),kMA+kMB=2kxix23kxi+x2+4kxi2x222kxix23k(xi+x2)+4k=4k3

17、4ki2k3+8k3+4k2k2+i=0. ii 分即，ax+y+a=0.故所求切線方程為也 xya=0 和 6x+y+a=0.(2)存在符合題意的點(diǎn).證明如下：設(shè) P(0,b)為符合題意的點(diǎn)，M(xi,yi),N(x2,y2),直線 PM,PN 的斜率分別為 ki,k2.將 y=kx+a 代入 C 的方程，得 x1234kx-4a=0.故 xi+x2=4k,xix2=4a.、yiby2b從而 ki+k2=r-+x-xIx22kxix2+abxi+x2ka+b=.xix2a當(dāng)b=一 a 時(shí)，有 ki+k2=0,則直線 PM 的傾斜角與直線 PN 的傾斜角互補(bǔ)，故/OPM=/OPN,所以點(diǎn) P(

18、0,a)符合題意.大題增分專訓(xùn)2(20i9 衡水聯(lián)考)已知橢圓C:x2+y2=i(ab0)過點(diǎn)(一丑，i),離心率為當(dāng),ab2直線l:kx-y+2=0 與橢圓 C 交于 A,B 兩點(diǎn).(i)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；一.,一.(2)是否存在實(shí)數(shù) k,使得|OA+OB|=|OAOB|(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn))成立？若存在，求出實(shí)數(shù) k 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.i,32故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4+=i.解(i)依題意，得C=2a2，a2=b2+c2,解彳3a2=4,b2=2,c2=2,消去 y 并整理，得(i+2k2)x2+8kx+4=0.則 A=64k2-i6(i+2k2)0,即 k乎或 k0).1(1)證明：k萬;設(shè) F 為 C 的右焦點(diǎn)，P 為 C 上一點(diǎn)，且 FP+FA+FB=0.證明：2|FP|=|FA|十|FB|.、十 5、皿 3y1/x2y2/證明(1)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),則彳+5=1,7+=1.、小乂上 y1一 y2,/口XI+X2y1+y2兩式相減，并由=卜得一-+ak=0.x1x243ig、n“ix1+x2,y1+y2-口.3由題設(shè)知一 2 一=1,2=m，于是 k=4m.一 3.1由題設(shè)得 0m2，故 k2.(2)由題意得 F(1,0).設(shè) P(x3,y3)