最新數(shù)學(xué)建模-傳染病模型-(1)

1、精品文檔傳染病模型醫(yī)學(xué)科學(xué)的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā) 或流行，危害人們的健康和生命。社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化、風(fēng)俗習(xí)慣等因素都會(huì)影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳 染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible),指未得病者, 但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染；I類，感病者(Infective)，指染上傳染 病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal),指被隔離或因病愈而具有免疫 力的人。問題提出請建立傳染病模型，并分析被傳染的

2、人數(shù)與哪些因素有關(guān)？如何預(yù)報(bào)傳染病高潮的到 來？為什么同一地區(qū)一種傳染病每次流行時(shí)，被傳染的人數(shù)大致不變？關(guān)鍵字：傳染病模型、建模、流行病摘要：隨著衛(wèi)生設(shè)施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的傳染性疾病已經(jīng)得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳 染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀(jì)80年代十分險(xiǎn)惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來 極大的危害。還有最近的 SARS病毒和禽流感病毒，都對人類的生產(chǎn)生活造成了重大的損 失。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。 不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點(diǎn)，弄清這些特點(diǎn)需要相

3、當(dāng)多的病理知識(shí)， 這里不可能從醫(yī)學(xué)的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機(jī)理建 立幾種模型。模型1在這個(gè)最簡單的模型中，設(shè)時(shí)刻t的病人人數(shù)x(t)是連續(xù)、可微函數(shù)，并且每天每個(gè)病人有效 接觸(足使人致病)的人數(shù)為常數(shù) 考察t到t t病人人數(shù)的增加，就有 x(t t) x(t) x(t) t再設(shè)t 訓(xùn)有Xo有個(gè)病人，即得微分方 程d xx, x(0) Xo(1)dt方程(1)的解為x(t) xe t(2)結(jié)果表明，隨著t的增加，病人人數(shù)x(t)無限增長，這顯然是不符合實(shí)際的。建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在

4、改進(jìn)的模型中必須區(qū)別健康人和病人這兩種人。模型2 SI模型假設(shè)條件為1 .在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為 易感染者即健康人(Susceptible ) (S)和已感染者即病人(Infective ) (i)兩類(取兩 個(gè)詞的第一個(gè)字母，稱之為SI模型)，以下簡稱健康者和病人。時(shí)刻t這兩類人在總?cè)藬?shù) 中所占比例分別記作s(t)和i(t)。2 .每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率。當(dāng)病人與健康者接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?。根?jù)假設(shè)，每個(gè)病人每 天可使s(t)個(gè)健康者變?yōu)椴∪耍?為病人數(shù)為Ni(t),所以每天共 有Ns(t)i(t

5、)個(gè)健康者被感染，于是 Nsi就是病人數(shù)Ni的增加率，即s(t) i(t) 1(4)i(1 i),i(0) i0(5)N d-i-Nsidt再記初始時(shí)刻(t0)病人的比例為i0,則dl方程(5)是Logistic模型。它的解為(6)i (t) 儕口 i的圖形如圖1和圖2所7Ko由(5),(6)式及圖1可知，第一，當(dāng)i 1/2時(shí)生到達(dá)最大值 更 dtdt,這個(gè)時(shí)刻為tm1 ln這時(shí)病人增加的最快，可以認(rèn)為是醫(yī)院的門診量最大的一天，意味著傳染病高潮的到來, 是醫(yī)療衛(wèi)生部門應(yīng)該關(guān)注的時(shí)刻。精品文檔精品文檔tm與 成反比，因?yàn)槿战佑|率 表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，越小衛(wèi)生水平越高。所 以改善保 健設(shè)施、提高

6、衛(wèi)生水平 可以推遲傳染病高潮的 到來。第二，當(dāng)t 時(shí)i 1,即所有人終 將被傳染，全變?yōu)椴∪耍@顯然不符合實(shí)際情況。其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會(huì)再變 成健康者。模型3 SIS模型有些病毒人在感染并治愈之后，沒有免疫性，即還有可能再被感染。模型假設(shè)在模型二假設(shè)條件的前提下我們再增加一個(gè)假設(shè)條件3.病人每天治愈的比例為日治愈率。 / 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)模型構(gòu)成于是有 N i(tt)-iNs(t)i(t) t- Ni(t)(8)可得微分方程 di-i(1-i)- i i(0) i0(9)dt得到 %t i i (1 1/)(10)模型4

7、SIR 模型大多數(shù)傳染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以冰域的人即非 易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統(tǒng)，我們稱之為移除者，記為R類SIR模型是指易感染者被傳染后變?yōu)楦腥咀。胁≌呖梢员恢斡?，并?huì)產(chǎn)生免疫力， 變?yōu)橐瞥?。人員流動(dòng)圖為：S-I-R。假設(shè)：1總?cè)藬?shù)為常數(shù)N,且i (t) +s (t) +r (t) =1;2 .病人的日接觸率(每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù))為常數(shù) 入，日治愈率(每天 被治愈的病人占總病人數(shù)的比例)為常數(shù)內(nèi)顯然平均傳染期為1/%傳染期接觸數(shù)為66 /件該模型的缺陷是結(jié)果常與實(shí)際有一定程度差距，這是因?yàn)槟Ｐ椭屑僭O(shè)有效接觸率傳 染力是不變的。

8、3單位時(shí)間內(nèi)病愈免疫的人數(shù)與但是的病人人數(shù)成正比，比例系數(shù)l o稱為恢復(fù)系數(shù)。在以上三個(gè)基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：入si模型結(jié)構(gòu)在假設(shè)1中顯然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為NtNi(2)不妨設(shè)初始時(shí)刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為So (So0), io (i00), r0=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下：dt ds dt dr dts(t),si isi(3)i4)求求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來預(yù)估計(jì)s(t) ,i的一般變化規(guī)律。數(shù)值計(jì)算在方程(3)中設(shè) 入=1 =0.3 i (0) = 0

9、.02, s (0) =0.98,用 MATLAB 軟件編程： function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.20,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)輸出的簡明計(jì)算結(jié)果列入表 1。i(t) , s的圖形以下兩個(gè)圖形，is圖形稱為相軌線，初值 i(0)=0.02,s(0)=0.98相當(dāng)于圖2中的P0點(diǎn)，隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運(yùn)動(dòng).由表1、圖1、 圖2可以看出，。由初值增長

10、至約 t=7時(shí)達(dá)到最大值，然后減少,t -Hi -0型期調(diào)減 少,t -oo,s -0.039肝分析i(t),s的一般變化規(guī)律.表1i(t),s的數(shù)值計(jì)算結(jié)果t012345678i(t)0.02000.03900.073210.1285 10.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.054

11、30.04340.04080.04010.03990.03990.0398精品文檔精品文檔相軌線分析我們在數(shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i (t) ,s (t)的性質(zhì)。D = (s, i) | sQ i 0, s + i在方程(3)中消去dt并注意到的定義，可得dids一 1 i Is s0ioS (T(5)i s 1di 1dsios0s CT1所以：di1 dss (T(6)精品文檔精品文檔利用積分特性容易求出方程(5)的解為：i (% io) s lln-So在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時(shí)間t的增加 s和i的變化趨向圖3下面分析

12、s(t),i和r的變化情況(t 一麗它們的極限值分別記作s , i和r ).1 .不論初始條件s0,i0如何，病人將消失，即：t ,i 01 s2 .最終未被感染的健康者的比例是，在式中令i=0得到，是方so io s -ln 0so在(0,1/肉)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(。,1/內(nèi)波點(diǎn)的橫坐標(biāo)3 .若%1/現(xiàn)J開始有51 o, i(t)先增加，令5A1或 可得當(dāng)s=1/時(shí),i(t)dss bdss b達(dá)到最大值：1，、im so io (1 In so)然后s1/（7即（71/s（射傳染病就會(huì)蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)6即提高閾值1/6使得S0 0 1/即（6& ISo）,傳染病就不

13、會(huì)蔓延（健康者比例的初始值So是一定的，通?？烧J(rèn)為So接近1）。并且，即使So1/ * （T減小時(shí)，S增加（通過作圖分析），im降低,也控制了蔓延的程度.我們注 意到在（7=入也人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率入越小;醫(yī)療水平越高，日治愈率以越大，于是 越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延 .從另一方面看，S S?1/是傳染期內(nèi)一個(gè)病人傳染的健康者的平均數(shù)，稱為交換數(shù)，其 含義是一病人被 S個(gè)健康者交換.所以當(dāng)So 1/ 即So 1時(shí)必有.既然交換數(shù)不超過1,病人比例i絕不會(huì)增加，傳染病不會(huì)蔓延。群體免疫和預(yù)防：根據(jù)對SIR模型的分析，當(dāng)So 1/時(shí)傳染病不會(huì)蔓延.所以為制止蔓延

14、，除了提高衛(wèi)生和醫(yī) 療水平，使閾值1/疫大以外，另一個(gè)途徑是降低So，這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的 辦法做到.忽略病人比例的初始值1有“ 1ro,于是傳染病不會(huì)蔓延的條件So 1/ 可以表為r 11o1這就是說，只要通過群體免疫使初始時(shí)刻的移出者比例（即免疫比例）就可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時(shí)印度等國天花傳染病的接觸數(shù)（7=5至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高r,也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的6更高，根除就更加困難。模型

15、驗(yàn)證：上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了a的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)dt對SIR模型作了驗(yàn)證。首先，由方程（2）, （3）可以得到之 Si Sis在dtdt上式兩邊同時(shí)乘以dt可1dsdr,兩邊積分得SsSdrlns|Sr e。0 r6So所以：s(t) se r(t)(8)一 d.再 i (1 r s) (1 r s0e r)(9)dt當(dāng)r 1/ 時(shí)，取(13)式右端eTaylor展開式的前3項(xiàng)得：,2 2二(1 r soSor -)(10)dt2在初始值ro=O下解高階常微分方程得：1t-、r

16、(t) 2 (So 1) th(-)(11)So2其中2 (So1)2 2soio 2, ths1從而容易由(1O)式得出:ddt2so 2ch2(T)精品文檔然后取定參數(shù)so,6等，畫出（11）式的圖形，如圖4中的曲線，實(shí)際數(shù)據(jù)在圖中用圓點(diǎn) 表示，可以看出，理論曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯(cuò)。模型的應(yīng)用與推廣:根據(jù)傳染病的模型建立研究進(jìn)而推廣產(chǎn)生了傳染病動(dòng)力學(xué)模型。傳染病動(dòng)力學(xué)1是對進(jìn)行理論性定量研究的一種重要方法，是根據(jù)種群生長的特性，疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播，發(fā)展規(guī)律，以及與之有關(guān)的社會(huì)等因素，建立能反映傳染病動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型 通過對模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)的定性，定量分析和數(shù)值模擬，來分析疾病的發(fā)展過程，揭示流行規(guī)律,預(yù)測變化趨勢,分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。對于2003年發(fā)生的SARS8E情，國內(nèi)外學(xué)者建立了大量的動(dòng)力學(xué)模型研究其傳播規(guī)律和趨勢, 研究各種隔離預(yù)防措施的強(qiáng)度對控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關(guān)SARS專播動(dòng)力學(xué)研究多數(shù)采用的是 SIR或SEIR模型 . 評(píng)價(jià)措施效果或擬合實(shí)