【高考數(shù)學(xué)大題精做】專題06三角形中的最值問題(第一篇)(解析版)

1、第一篇三角函數(shù)與解三角形30 / 18專題06三角形中的最值問題對應(yīng)典例求二角形中角相關(guān)的最值問題典例1求二角形中邊相關(guān)的最值問題典例2求二角形中面積相關(guān)的最值問題典例3求二角形中周長相關(guān)的最值問題典例4平面圖形中三角形面枳的最值問題典例5求二角形中相關(guān)的混合型的最值問題典例6求二角形中線段的最值問題典例7【典例1】【湖南省益陽市、湘潭市 2020屆高三9月調(diào)研考試】已知銳角三角形 ABC中，內(nèi)角A, B,C的對2a b cos B邊分別為a,b,c,且c cosC(1)求角C的大小.(2)求函數(shù)y sin A sin B的值域.【思路引導(dǎo)】(1)由2a b cosBc cosC利用正弦定理得

2、 2sin AcosC sin BcosC sinCcosB ,根據(jù)兩角和的正弦公式及誘1_導(dǎo)公式可得cosC ,可求出C的值；（2）對函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，利用兩角和與差的正弦公式及2輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系式變形成同一個(gè)角正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用定義域求出函數(shù)的值域“,2a b cos B解：(1)由,c cosCsinCcosB ,利用正弦定理可得 2sin AcosC sin BcosC可化為 2sin AcosC sin CB sin A,一 .一一 一1 一Q sin A 0, cosC Q C20，2，C(2) y sin A sinB sin Asinsin A&osA

3、 IsinA、3sin A 6-2QA B ,0 A322.3 ,3 二A , sin A ,1 , y -, v3363622【典例2】【2020屆海南省高三第二次聯(lián)合考試】 在ABC中，角A, B , C所對的邊分別是a, b, c,且2a c 2bcosC .求sin A2c B的值；(2)若bJ3 ,求c a的取值范圍【思路引導(dǎo)】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得cosB,進(jìn)而求得B和A C ,代入求得結(jié)果；(2)利用正弦定理可將 c a表示為2sinC 2sin A,利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為2sin C 一,根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合C

4、的范圍可求得結(jié)果3解：(1)由正弦定理可得：2sin A sinC 2sin BcosCsin A sin B C2sin B Csin C 2sin B cosC 2cos Bsin C sin C2sin BcosC即 2cosBsinC sinC八八1Q C 0,sin C 0 cosB 一2一2QB 0,B - AC 33AC-. 2.3sin B sin -232(2)由(1)知:.R .3sin Bsin 32a c b3 2sin A sinC sinB32c 2sin C , a 2sin Ac a 2sin C 2sin A 2sin C 2sin B C 2sin C 2s

5、in BcosC 2cos Bsin C2sin C3cosC sin C sin C .1 3 cosC2sin C 3C 一一，一33 322QA C 0 C 332sin C 3石,石，即c a的取值范圍為品，宓【典例3】【山西省平遙中學(xué) 2020屆高三上學(xué)期11月質(zhì)檢】已知小BC的內(nèi)角A, B, C滿足sin Asin Bsin Csin Csin Bsin A sin B sin Cb2c2 bc 2bc bc bc,從解：(1)設(shè)內(nèi)角A, B,C所對的邊分別為a, b, c.(1)求角A；(2)若那BC的外接圓半徑為1,求 ABC的面積S的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)利用正弦定理將角

6、化為邊可得a 一 一.而由S -bscinA可得解. 2 b2 c2 bc ,再由余弦定理即可得A;a(2)由正弦定理 2R 可得a,由基本不等式利用余弦定理可得 sinAsinA sinB sinCsin B根據(jù)，可得sinCsinA sinB sinCa2 b2 c2 bc,所以cosA,22b c a2bcbc 12bc 2又因?yàn)? A ，所以A . 3(2) 2R a 2RsinA 2sin - 73,sinA31所以 3 b c bc 2bc bc bc ,所以 S bcsinA 21 c ,. 33223、. 34c時(shí)取等號(hào))r(sin B,1 cosB) , n (2,0).【典

7、例4】【2020屆河北省保定市高三上學(xué)期期末】ur已知 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)m(1)若 Bir , r , 一，求m與n的夾角(2)若 |rm|1,33 ,求ABC周長的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)將 Bif代入可求得 m.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得irmrn，由數(shù)量積的定義即可求得 cosb2(ac) .結(jié)合基本不等式即可求得4可求得ac的取值范圍,進(jìn)而求得周長的最大值.解：(1)B -，所以3irm.3 32 , 2r，因?yàn)?n (2,0),irm3,ir又| m |'.3，自2,it r-m n .3it r _|m| |n|2,3u(

8、2)因?yàn)?|m| 1，即 |十|.sin2 B (1 cosB)222cos B 1,所以B 一,方法1.由余弦定理得b23c2 2ac cos B .(ac)2 3ac (a c)2 3 -c2(a c)24(a c)，即a c<273,(當(dāng)且僅當(dāng) 4a c時(shí)取等號(hào))進(jìn)而得夾角 r .(2)根據(jù)| m| 1及向量模的坐標(biāo)表不，可求得B .再由余弦定理可得a c的最大值，即可求得周長的最大值；或由正弦定理，用角表示出a c,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍，即所以 ABC周長的最大值為方法2.由正弦定理可知，不需sin C sin B2sin A, c 2sin C , A C23所以2si

9、n A 2sinA 3sin A,3 cos A 2、3sin2，- A 3 6656sin A 一 61 ,1 ,2(73,2百,所以當(dāng)A 一時(shí),a c取最大值2 33 .3所以ABC周長的最大值為3.3.【典例5】【2020屆吉林省長春市東北師大附中等六校高三聯(lián)合模擬】如圖，在矩形 ABCD中，AB 1, BCBC、CD 上,FAE 3EAB 06(1)求AE , AF (用表示)；(2)求 EAF的面積S的最小值.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)ABRtABE和Rt ADF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出 AE和AF即可;(2)由條件知1S -AE2AFsin 3、3 2sin 2 一 3,然后根據(jù)

10、 的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出S的最小值.解：(1)在 Rt ABE 中,AB1 ,所以AEABcos EAB cos在 Rt ADF 中，AD 邪,DAFEABAFcos DAFcosS(2)1AE AFsin 32sin cos 2 3 cos2因?yàn)?4cos cos 一 64cos331 .cos sin22sin 23、.3 cos 22sin 22sin32,時(shí)，即當(dāng)32時(shí), 12S取最小值3)】【典例6】【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)(已知VABC中，內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且(ac)sin C(a b)(sin A sin B).(1

11、)求 B；(2)設(shè)b 33, VABC的面積為S,求2s sin 2c的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)用正弦定理化角為邊后，再用余弦定理可求得角sin 2c acsin B sin2C(2)用正弦定理把邊用角表示，即 a 2sin A, c 2sin C ,這樣2s2sin A 2sin C y sin2C,又 sinA sin(B C) sin(- C),2s sin2c 就表示為 C 的三角函數(shù),由三角函數(shù)恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值.解：(1)由正弦定理(a c)c (ab)(ab) 222b)，a c b ac,(2)由正弦定理sin AcsinCbsi

12、n Ba 2sin A, c 2sin C2S sin 2C acsin Bsin2C2sin A 2sin C 立 2sin 2c2、.3 sin Asin Csin 2c2,3sin(C B)sin Csin2C、3sin2C3sin C cosC sin 2C.32.31, cos2c sin 2c-cos2c sin 2C sin 2C -222sin 2C 1巫.當(dāng)且僅當(dāng)C325,12時(shí)等號(hào)成立，故最大值為【典例7】【福建省寧德市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查(期末)1c 272從而求得A的值;ABC的內(nèi)角A，B, C的對邊分別為a, b, c,且72b c 缶 co

13、sC ,(1)求 A;(2)若 ABC為銳角三角形， D為BC中點(diǎn)，求AD的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)由正弦定理，將式子 J2b c J2a cosC中的邊化成角得到cosA 立，2(2)由(1)知a 可得C的范圍，再將b表示成關(guān)于tanC的函數(shù)，從而求得 b的取值范圍.4解：(1)因?yàn)閼?yīng)b c 72a cosC,由正弦定理，得近sin B sin C 2 sin AcosC ，又 sinB sin (A C) sin(A C),所以 向sin AcosC cosAsin C) sin C 夜 sinAcosC,所以 V2 cos Asin C sin C 0，因?yàn)? C ，所以sin C

14、0 ,所以cosA返，又0 A ，所以A 一242- 八解得一C 一420(2)由(1)知A根據(jù)題意得4在ABC中，由正弦定理得sin C sin B所以 2 2sin(C 4) 2sin C 2cosc .2b - 2sinCsinCtanC因?yàn)?C (4,2),所以 tanC (1,)，所以 b (2,4). uur i uuur uur因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以AD -(AC AB), uuir 2 1 uur uuu 21212所以 AD -(AC AB) (b 4b 8) (b 2)1444'因?yàn)閎 (2,4),所以ad的取值范圍為(75,麗).【針對訓(xùn)練】1.1陜西省2019年

15、高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測】在 ABC中，a、b、c分別是角 A、b、C的對邊，且(a b c)(a b c) 3ab.(1)求角C的值；(2)若c 2,且 ABC為銳角三角形，求 a b的取值范圍.【思路引導(dǎo)】1(1)根據(jù)題意，由余弦定理求得 cosC -,即可求解C角的值;2(2)由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得到a b 4sin A ,再根據(jù) ABC為銳角三角形,6求得一A 一,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.62解：(1)由題意知(a b c)(a b c) 3ab, . . a2 b2 c2 ab,2,22由余弦定理可知,c a b ccosC 2ab又 C (0, ) , .

16、 c -.3a(2)由正弦定理可知，sin Absin Bsin 34V3sin A,b -V3sin B 33a b 4 73(sin A sin B)43 sin A sin A333273sin A 2cos A 4sin A 晟，0 A -2r 一又 ABC為銳角三角形，2,即,0 B A - 322則一 A ，所以2百 4sin A 4,3636綜上a b的取值范圍為(2 J3,4.2.【遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期11月月考】 a,b,c分別為VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊.已知a sin A 4sin B 8sin A.(1)若 b 1,A 一，求 s

17、in B ； 6(2)已知C ,當(dāng)VABC的面積取得最大值時(shí)，求 VABC的周長. 3【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)正弦定理，將a sinA4sin B8sinA,化角為邊，即可求出a ,再利用正弦定理即可求出sin B；1 一一 -(2)根據(jù)C 選擇S absinC ,所以當(dāng)VABC的面積取得最大值時(shí)，ab最大，衛(wèi)合(1)中條32件a 4b 8,即可求出ab最大時(shí)，對應(yīng)的a,b的值，再根據(jù)余弦定理求出邊 c ,進(jìn)而彳#到VABC的周長.解：(1)由 a sin A 4sin B 8sin A,得 a a 4b 8a ,即a 4b 8.因?yàn)閎 1,所以a 4.上，1由. sin B ,得 sin B

18、-.sin86(2)因?yàn)?a 4b 8 2j4ab 4Tab ,所以ab 4,當(dāng)且僅當(dāng)a 4b 4時(shí)，等號(hào)成立.11因?yàn)?VABC 的面積 S absinC 4 sin J3. 223所以當(dāng)a 4b 4時(shí)，VABC的面積取得最大值，此時(shí) c2 42 12 2 4 1 cos- 13,則 c 713, 3-所以VABC的周長為5 職.3.【2019年云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足bsin A acos B 6(1)求角B的大小;(2)若D為AC的中點(diǎn)，且BD 1 ,求S abc的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)利用正弦定理邊角互化

19、思想得出sinB cos B 一，再利用兩角差的余弦公式可得出tanB的值,6結(jié)合角B的范圍可得出角 B的大小; uuu uur uuu(2)由中線向量得出2BD BA BC，將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義，并結(jié)合基本不等式得出ac的最大值，再利用三角形的面積公式可得出ABC面積的最大值解：(1)由正弦定理及bsin A acos B 一 得sin Bsin A6sin Acos B 一 ,6由 A 0,知 sin A 0 ,則 sin B cos B 一 6cosB 工 sinB,化簡得 sin B V3cosB , tan B 73 . 22又B 0,因此，B ；3(2)

20、如下圖，由S ABCABClacsinB 遮ac, 24uir unrBA BC，等式兩邊平方得4BD2UUU2 BCuur2BCuirBAuur2BA '所以4 a2urn 2BAurnrBCac3ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)取等號(hào)，因此,ABC的面積最大值為由44.12020屆湖南省常德市高三上學(xué)期期末】ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 ccosB bcosC2cos A(1)求 A;(2)若aJ3,求b c的最大值.【思路引導(dǎo)】A.(1)根據(jù)正弦定理即正弦的和角公式，將表達(dá)式化為角的表達(dá)式.即可求得，即可求得b c的最大值.(2)利用正弦定理，表示出b c,結(jié)合三角函數(shù)

21、的輔助角公式及角的取值范圍解：(1) ccosB bcosC2cos A由正弦定理得sin CcosB sin BcosCsin Asin A從而有sin B C sin A 0 , cosA(2)由正弦定理得:2cos A1-, 02 asin Asin Asin B2cos A sin A2cos AsinC2,b 2sin B,c 2sinC,則 b2c 2 sin B sinC 2sin B 2sin 33sin B 3 cos B 2、3sin B 0 B5-6，當(dāng)B 一時(shí),b c取得最大值2點(diǎn)； 35.12020屆江西省吉安市高三上學(xué)期期末】rr在 ABC 中，a,b,c 分別是角

22、 A,b,C 的對邊，已知向量 m (2cos C, b), n (1,acosC c cos A),一 r r且 m n.(1)求角C的大小;(2)若c "，求 ABC的周長的取值范圍【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)向量平行列出方程，再利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，然后求出角C的大小;(2)根據(jù)余弦定理求出 a b的取值范圍，再根據(jù)三角形邊的幾何性質(zhì)求出周長的取值范圍由正弦定理asin Absin Bcsin C解：(1)由 mn 得 2a cos2 C 2ccosAcosC b,得 2cosc (sin AcosC sinC cos A)即 2cosCsin(A C) sin B ,12因?yàn)樵?/p>

23、三角形中sin(A C) sin B 0,則cosC ,又 C (0,),故 C 23(2)在ABC中，因c J3,C 2-,由余弦定理得c2 a2 b2 ab 3,32即(a b)2 3 ab 3 b ,當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取等號(hào)，解得 a b 2,2又由三角形性質(zhì)得abc 技故73 ab 2,則2J3 a b c 2 J3,即 ABC的周長的取值范圍為 2石,2 J3 6.12020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)(二 )如圖，在四邊形 ABCD中，A為銳角，2cos Asin(A C) J3sin C 一 611(2)設(shè)AABD、VCBD的外接圓半徑分別為 R,r2 ,若一 一ri 27

24、m 恒成立，求實(shí)數(shù) m的最小值.DB【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)三角函數(shù)的和差角公式與三角函數(shù)值求解即可(2)根據(jù)正弦定理參變分離，再利用A的取值范圍求解解：(1)由題，2cosAsin(A C)sin A (AC) sinA (A C)sin(2 AC)sin C-sinC 3cosC,即 22sin(2AC)%nC 2旦。sC2sin(2 AC)sin C一,因?yàn)?A C C 一.故332A C一.所以 32A C(2) mBD BD2sin A2sin C八.八.22sin A 2sin 32sin A 2 cosA 22sin A3sin A 、3 cos A273 sin A 一因?yàn)?A6

25、 ，0,一2，故當(dāng)A 一 一時(shí) 2，3sin A 626有最大值2,3所以m 2m,即實(shí)數(shù)m的最小值為2石7.在那BC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知 2(tanA + tanB)=tan AcosBtan BcosA(1)證明：a+b=2c;(2)求cos C的最小值.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可化簡得2(sin AcosB sin B cosA) sin A sin B ,再根據(jù)ABC，即可得到sin A sinB 2sinC ,利用正弦定理，可作出證明;(2)由cosC的最小值.一、 a b(1) c ，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得

26、2解：(1)由題意知，2(化簡得:2(sin AcosBsin A sin B) cos A cos Bsin B cosA)sin Asin Bcos A cos B cos A cos B sin A sin B即 2sin( AB) sin Asin B ,因?yàn)?A B C所以sin( AB) sin(C) sinC,從而sin Asin B 2sin C ,由正弦定理得 ab 2c.(2)由(1)知，c -所以cosC2,22a b c2aba2 b2 ")22ab3 b a 118(a b) 4 2當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立，故 cosC的最小值為1.28.【重慶市西南大學(xué)附

27、屬中學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第三次月考】在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b, c,已知b acosC(1)求角A；uur uuur(2)若 AB AC 3 ,求a的最小值.【思路引導(dǎo)】(I)利用正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式求出cosA的值,可得A的值.c解：(1) VABC 中，b acosC , 21 一 一. .由正弦te理知，sinB sinAcosC -sinC, A B C 冗,21 . sinB sin A C sinAcosC cosAsinC ,12 sinAcosC cosAsinC sinAcosC - sinC, 2cosAsinC sinC ,21

28、. A 冗一cosA 一， . A .23uuu uuur (2)由及AB AC 3得bc 6 ,所以 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 6 -2bc 6 6當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)取等號(hào)，所以a的最小值為 J69.【吉林省吉林市普通中學(xué) 2019-2020學(xué)年度高三第二次調(diào)研測】已知 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, A ,且滿足bcsin 2A 20cos B C 0.求ABC的面積S ;c b(2)右a 4s，求一的最大值. b c【思路引導(dǎo)】(1)由誘導(dǎo)公式和二倍角公式可得bcsin A,從而得三角形面積；c b b2 c2bc(2)由示弦te理信b c 2

29、bccosA a 2bcsin A,從而可把一 一 用角A表示出來，由二 角函數(shù)性質(zhì)求得最大值.解：（1）在 ABC 中，ABC , . B C A.bcsin 2A 20cos B C 0: 2bcsin A cos A 20cos A 0.C 1.LA , cosA 0 S -bcsin A 522（2） a2 4S.,22b c 2bccosA 2bcsinAb2 c2 2bcsin A 2bccosAb cbc2sin A 2cos A 2 .2 sin Ac b-二當(dāng)A 一時(shí)，一一取最大值2J2. 4 b c10.【湖南省長沙市瀏陽市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期第六次月考

30、】., 一 .A, . C - A、C已知BC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,且tan(asin 2bcos) acos 2222(1)求角B的值；(2)若小BC的面積為3J3,設(shè)D為邊AC的中點(diǎn)，求線段 BD長的最小值.【思路引導(dǎo)】AC A C , (1)根據(jù) tan (asin 2bcos) acos,化簡可得 2222然后求出B的值；A C acos2bsinA,進(jìn)一步得到B 1cos 一 22(2)由(1)的角B及三角形面積公式可得 ac的值，因?yàn)閡urD為邊AC的中點(diǎn)，所以BDuuu2(BAuur BC),利用向量的模和基本不等式可求uuurBD的取值范圍，即可得到BD的最小值.A,. CA、C一 . A,. C解：(1)由 tan (asin 2bcos) acos一,得 sin-(asin- 222222acos-cos-, 22ACAC 即 a(coscos sin