數(shù)學(xué)文化期末考試

1、數(shù)學(xué)文化期末考試重點(diǎn)（僅供參考）切記：數(shù)學(xué)老師喜歡美的事物，so字跡工整很重要！題型：選擇、填空題、計(jì)算題、簡(jiǎn)答題、論述題（不超過(guò)300字，闡述主要觀點(diǎn)）課本知識(shí)：一、數(shù)學(xué)是什么（至少說(shuō)7、8種）：結(jié)合自我體會(huì)1、萬(wàn)物皆數(shù)說(shuō)：畢達(dá)哥拉斯“數(shù)字統(tǒng)治著宇宙”2、符號(hào)說(shuō)：伽利略、希爾伯特；數(shù)學(xué)是一個(gè)符號(hào)化的世界3、哲學(xué)說(shuō)：亞里士多德、歐幾里得4、科學(xué)說(shuō)：馮·諾依曼；學(xué)科的相對(duì)獨(dú)立性5、邏輯說(shuō)：懷特黑德、羅素、費(fèi)雷爾；形式邏輯與辯證邏輯；演繹與歸納推理6、集合說(shuō)：康托爾；集合論；全部數(shù)學(xué)都能夠從公理集合論推導(dǎo)出來(lái) 集合說(shuō)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。如有序?qū)?、關(guān)系、等價(jià)關(guān)系、線序、良序、函數(shù)、自然數(shù)等等

2、。7、結(jié)構(gòu)說(shuō)：張景中 三種結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)是研究相互結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)，這種關(guān)聯(lián)反映在變量關(guān)系上，如正變化和逆變化、加速變化、收斂變化、周期變化、階梯變化等。張奠宙8、模型說(shuō)：懷特黑德、雷尼 數(shù)學(xué)理論常常是某種具體問(wèn)題的抽象模型，體現(xiàn)了思維對(duì)現(xiàn)實(shí)的反應(yīng)。 加法做合并或移入的模型，減法做拿走比較或逆運(yùn)算的移出模型；微積分是物理運(yùn)動(dòng)的模型；概率論是偶然與必然的模型；歐氏幾何是現(xiàn)實(shí)空間的模型；非歐幾何是超維空間的模型。9、工具說(shuō)：扎德、開(kāi)爾文、康德、懷特黑德 數(shù)學(xué)成就了一切科學(xué)：歐氏幾何的作用，繪畫(huà)；經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、生物數(shù)學(xué)醫(yī)學(xué)；環(huán)境污染防治，數(shù)值天氣預(yù)報(bào)10、直覺(jué)說(shuō)：

3、布勞威爾 直覺(jué)是數(shù)學(xué)家在進(jìn)行深入研究時(shí)候的一種感受，雖感覺(jué)常?！安缓稀边壿?，但在開(kāi)創(chuàng)性的研究中，“感覺(jué)”更加重要。仿生學(xué)、“紅移”、復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)。11、精神說(shuō)：M·克萊因 精神說(shuō)認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種精神，特別是理性精神，能夠使人類(lèi)的思維得以運(yùn)用到最完美的程度。指人的品格：專(zhuān)業(yè)的陶冶；理性?xún)?yōu)雅。指對(duì)于專(zhuān)業(yè)的追求：嚴(yán)謹(jǐn)、刻苦，有的人終生獻(xiàn)身于數(shù)學(xué)。古希臘的很多優(yōu)美文學(xué)、哲學(xué)、建筑學(xué)都得益于數(shù)學(xué)精神。12、審美說(shuō)：亞里士多德、馮·諾依曼、羅素、龐加萊從論證的嚴(yán)密性體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)肅美 例：幾何、代數(shù)命題的證明從表達(dá)的簡(jiǎn)潔性體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美 例：牛頓定律、質(zhì)能互變定律從表達(dá)的對(duì)稱(chēng)性體會(huì)數(shù)學(xué)的和

4、諧美 例：橢圓、雙曲線、拋物線方程等奇異美 例：奇點(diǎn)理論13、活動(dòng)說(shuō)：彼賽爾 職業(yè)、興趣 數(shù)學(xué)起源于人類(lèi)的各種各樣的實(shí)踐活動(dòng)。 是一種人文意識(shí)、社會(huì)意識(shí)。14、藝術(shù)說(shuō)：哈代、A·波萊爾 要能鑒賞數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)，能對(duì)一個(gè)很特殊的思維世界里的種種概念在精神上的雅與美有一種獨(dú)特的感受力。15、另外還有：技術(shù)說(shuō)、語(yǔ)言說(shuō)、游戲說(shuō) 綜上所述：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形之間各種模型的一門(mén)結(jié)構(gòu)性科學(xué)。2、 什么叫做“元”概念： 數(shù)學(xué)概念中的一些”原始概念”，是一種初始設(shè)定，是一種不需要證明的內(nèi)容。比如點(diǎn)、線、面，我們只須指出它的所指意義就行了。3、 什么叫做“三元結(jié)構(gòu)”：數(shù)學(xué)文化的“三元結(jié)構(gòu)”指的是

5、用如下的“三元結(jié)構(gòu)”的價(jià)值體系來(lái)確定出一個(gè)比較完全的數(shù)學(xué)文化的體系結(jié)構(gòu)。所謂數(shù)學(xué)文化的自在價(jià)值，是使數(shù)學(xué)成為一門(mén)學(xué)科的那部分實(shí)實(shí)在在的東西，這部分內(nèi)容是用概念去界定的，是諸多概念的集合。三原結(jié)構(gòu)：自在價(jià)值（概念）、工具價(jià)值（方法）、應(yīng)用價(jià)值（模型）數(shù)學(xué)文化的”三元結(jié)構(gòu)“圖四、數(shù)學(xué)文化的外延性有哪幾種？舉例子，至少四個(gè)。（1） 數(shù)學(xué)與文學(xué)。如用數(shù)學(xué)思維編寫(xiě)詩(shī)歌、文學(xué)作品，表現(xiàn)一部好作品中井然有序的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔的敘述；運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)研究紅樓夢(mèng)作者；對(duì)紅樓夢(mèng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和風(fēng)格分析；運(yùn)用頻譜分析判斷作品的作者。（2） 數(shù)學(xué)與史學(xué)。把數(shù)學(xué)方法引入到史學(xué)研究中產(chǎn)生了一門(mén)新學(xué)科史衡學(xué)，是史學(xué)研究中的加工、整理

6、更加科學(xué)化、準(zhǔn)確化，排除較多人為主觀因素。如1986年在上海陸家嘴發(fā)現(xiàn)的元朝玉褂中含有一個(gè)魔方，這個(gè)魔方雖是4階，卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)西安安王府的6階魔方，改變過(guò)去世界上只認(rèn)為印度才有這種”完全魔方“的說(shuō)法。（3） 數(shù)學(xué)與哲學(xué)。同宗同源（4）數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)。比如：交換；數(shù)學(xué)的極大極小定理成就了“對(duì)策論”；“一般均衡理論”；控制理論和遞度法。運(yùn)用數(shù)學(xué)建立經(jīng)濟(jì)模型；運(yùn)用數(shù)學(xué)方法組織、調(diào)度、控制生產(chǎn)過(guò)程，從數(shù)據(jù)處理中獲取經(jīng)濟(jì)信息等。（5）數(shù)學(xué)與語(yǔ)言。如把演繹方法引人語(yǔ)言學(xué)，建立代數(shù)語(yǔ)言學(xué)；借助計(jì)算機(jī)，對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行整理，編纂辭書(shū)；計(jì)算機(jī)風(fēng)格學(xué)被成功應(yīng)用于”作者考證“的研究中。朱斯突破關(guān)于語(yǔ)言符號(hào)“連續(xù)性”的傳統(tǒng)觀念，

7、引入“離散性”。（6）數(shù)學(xué)與高科技。蒸汽機(jī)與微積分、定積分與面積計(jì)算、微分方程與水土保持；高科技的發(fā)展賴(lài)于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的支持與運(yùn)用。如在石油勘探中，美國(guó)人在數(shù)據(jù)處理中運(yùn)用Wiener濾波，在一條河流直下的930km處，探明一個(gè)儲(chǔ)量超過(guò)10億桶的大油田；在飛機(jī)制造中運(yùn)用有限元分析結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性；最優(yōu)法使飛機(jī)既省油又提高速度；用概率論解釋色盲分布的平穩(wěn)性等。五、數(shù)學(xué)文化的哲學(xué)思維有哪幾種？具體內(nèi)容？舉例子、體會(huì)（1） 抽象思維。是數(shù)學(xué)思維中最根本、最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)文化中哲學(xué)觀的靈魂，所謂抽象，就是把同類(lèi)事件中最關(guān)鍵、最根本的本質(zhì)性的東西提取出來(lái)，并加以歸納，使其具有更大的推廣性和普適性。抽

8、象思維必須是在一個(gè)抽象概念中涵蓋那個(gè)概念所涉及的所有物理現(xiàn)象的本質(zhì)內(nèi)容。例如，七橋問(wèn)題的解決與運(yùn)用；又如老師為了更好地使學(xué)生理解概念幫掌握概念，往往會(huì)采取用具體的例證幫助學(xué)生形成概念，從而使學(xué)生學(xué)會(huì)從具體到抽象的思維過(guò)程。比如在集合概念的教學(xué)中，抓住集合中元素的確定性，互異性和無(wú)序性等內(nèi)涵，舉出定量的實(shí)例(包括對(duì)象定數(shù)、式、圖形，人或其他任何事物)讓學(xué)生對(duì)一定數(shù)量現(xiàn)象分析比較，抓住事物的屬性，歸納出抽象集合概念，使學(xué)生容易把握集合概念的內(nèi)涵，容易形成集合概念。在學(xué)習(xí)空集概念時(shí)，一定要用實(shí)例幫助學(xué)生建立空集的定義。例如舉例A=X=X2 +1=0,XR,B=XX2 =0,XR并予以比較，學(xué)生就比較

9、容易接受，再加深對(duì)空集概念的理解。此外，等學(xué)到交集運(yùn)算時(shí)，再選擇有關(guān)例子與習(xí)題，進(jìn)一步充實(shí)學(xué)生對(duì)空集概念的理解。 ª抽象思維中的“七橋問(wèn)題”：歐拉將兩岸及兩島想象為四個(gè)點(diǎn)，把七橋想象為七條線，七橋圖變成了一個(gè)簡(jiǎn)單的連接四個(gè)點(diǎn)的七條線的點(diǎn)線圖，七橋問(wèn)題就成為能否一筆畫(huà)成此點(diǎn)線圖的問(wèn)題。除始、終點(diǎn)外，過(guò)中間點(diǎn)的線條數(shù)是偶數(shù)，是一筆畫(huà)成的一個(gè)必要條件，若是奇數(shù)，畫(huà)不成。最本質(zhì)-組合拓?fù)涞男再|(zhì)。（2） 邏輯思維。邏輯思維是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)過(guò)程中借助概念、判斷、推理等思維反映現(xiàn)實(shí)的過(guò)程，具有抽象概括、間接反映、借助語(yǔ)言等特征。邏輯思維作為數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)始終占據(jù)著數(shù)學(xué)哲學(xué)最重要的位置。數(shù)學(xué)文化中的邏輯

10、思維具有典型的形式化特征，這種形式化的特征是以一種特殊語(yǔ)言符號(hào)的形式出現(xiàn)的，邏輯思維對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展具有重要作用。 ª邏輯思維的作用：A、邏輯思維可以用來(lái)檢驗(yàn)、證明數(shù)學(xué)真理。這種檢驗(yàn)和證明，主要是借助演繹與歸納的方法鑒別真?zhèn)?，通過(guò)演繹把數(shù)學(xué)真理從一般推到個(gè)別，推到特殊。通過(guò)歸納把個(gè)別在推廣到一般。B、邏輯思維可以使數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)化、體系化、科學(xué)化。C、邏輯思維對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起著重要的作用。比如數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)的非歐幾何、非結(jié)合代數(shù)、非線性非奇異矩陣等，都是在一種反叛中形成的新的學(xué)科點(diǎn)，新的方向。邏輯思維最大的特點(diǎn)就是在已知條件下獲得新的推論。非歐幾何、非結(jié)合代數(shù)。（3） 形象思維。&#

11、170;數(shù)學(xué)中的形象思維有四個(gè)層次：第一個(gè)層次為幾何思維。這是最直接的形象思維。幾何圖形的點(diǎn)、線、面、空間非常直觀、形象。第二個(gè)層次是類(lèi)幾何思維，也就是借助幾何空間進(jìn)行的較為間接的形象思維。比如非歐空間、高維空間、泛函空間、愛(ài)因斯坦的相對(duì)論等。第三個(gè)層次是數(shù)學(xué)思維，亦即對(duì)各種數(shù)量關(guān)系的形象化的感覺(jué)，它是一種直觀上的想象。這種數(shù)學(xué)思維類(lèi)似于古詩(shī)中的”飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”等。第四個(gè)層次是數(shù)學(xué)觀念的直覺(jué)，它類(lèi)似于第個(gè)三層次，但更強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)觀念性質(zhì)、相互聯(lián)系以及重新組合過(guò)程的形象化感覺(jué)。數(shù)學(xué)文化的形象思維，在其過(guò)程中主要借助數(shù)學(xué)想象，這種想象包括視覺(jué)想象、聽(tīng)覺(jué)想象和觸覺(jué)想象。射影幾何中著名

12、的帕斯卡“神秘的六線形”定理就是一個(gè)典型的形象思維的過(guò)程。 充分利用典型，引進(jìn)聯(lián)想，產(chǎn)生想象，誘發(fā)靈感和直覺(jué)，是構(gòu)思新假設(shè)、新理論和新設(shè)想不可缺少的重要思維形式。是從現(xiàn)象到本質(zhì)，從感性到理性的一種認(rèn)識(shí)過(guò)程。象形法、直述法，“白發(fā)三千丈”等等 （4）直覺(jué)思維。是指對(duì)一個(gè)問(wèn)題未經(jīng)初步分析，僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對(duì)問(wèn)題答案作出判斷、猜想、設(shè)想，或者在對(duì)疑難百思不得其解之中，突然最問(wèn)題有“靈感和頓悟”，甚至對(duì)未來(lái)事物的結(jié)果有“預(yù)感”等直覺(jué)思維。直覺(jué)思維是一種心理現(xiàn)象，也是數(shù)學(xué)研究的一種重要方法。許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué)，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌大廈；哈密

13、頓在散步的路上迸發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分子環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。（阿基米德-洗澡-阿基米德原理；牛頓蘋(píng)果落地萬(wàn)有引力）ª直覺(jué)思維的特點(diǎn)：A、 是非邏輯的，不是靠推理和演繹獲得的。B、 是突發(fā)性，亦即未預(yù)料性。C、 極富感情色彩的。 ª數(shù)學(xué)直覺(jué)的一般原則：A、 簡(jiǎn)單性原則B、 統(tǒng)一性原則C、 對(duì)稱(chēng)性原則D、 奇異性原則ª體會(huì)： 數(shù)學(xué)被人們形容為“思維的體操”。數(shù)學(xué)離不開(kāi)思維，數(shù)學(xué)所有的結(jié)論都是思維的結(jié)果。思維包含邏輯思維、形象思維、空間思維、直覺(jué)思維等方面。許多數(shù)學(xué)家綜合運(yùn)用這些思維方式和研究方法，

14、在數(shù)學(xué)領(lǐng)域不斷創(chuàng)新，解決數(shù)學(xué)危機(jī)，同時(shí)，摧毀和構(gòu)建了諸多宗教教義，為政治學(xué)說(shuō)和經(jīng)濟(jì)理論提供了依據(jù)。6、 數(shù)學(xué)文化的對(duì)思維有哪幾種？舉例子、體會(huì)例子。1、 宏觀與微觀。對(duì)認(rèn)識(shí)世界來(lái)說(shuō)，哲學(xué)往往是著眼于大范圍的宏觀武器，是望眼鏡，它可以無(wú)限制的任思維自由飛翔。數(shù)學(xué)屬于哲學(xué)范疇，但如果從對(duì)世界的理解與解決問(wèn)題，從方法上講，數(shù)學(xué)學(xué)科屬于精密科學(xué)，屬于一種精密性的學(xué)問(wèn)。數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，不像哲學(xué)那么宏觀抽象。數(shù)學(xué)學(xué)科細(xì)致入微，非常容易進(jìn)入到一些成熟學(xué)科中，并從中獲得足夠豐富的營(yíng)養(yǎng)基，以拓寬自己的思路，發(fā)揮自己的作用。如果說(shuō)哲學(xué)是望遠(yuǎn)鏡的話(huà)，那么數(shù)學(xué)對(duì)于這些學(xué)科來(lái)說(shuō)就是顯微鏡。數(shù)學(xué)一旦成功進(jìn)入到一門(mén)學(xué)科中，它

15、就無(wú)可爭(zhēng)辯的獲得了對(duì)該學(xué)科的支配權(quán)。哲學(xué)在很大程度上是注重形而上的，數(shù)學(xué)不僅注重形而上也關(guān)心形而下，這種形而下是以社會(huì)實(shí)踐為對(duì)象，以求解為目的，然后在基礎(chǔ)上演繹、歸納、抽象，形成所謂的形而上。另外，相對(duì)數(shù)學(xué)本身而言，以函數(shù)為例，初中和高中的函數(shù)概念有變量說(shuō)和對(duì)應(yīng)說(shuō)之分，其實(shí)是宏觀描述和微觀刻畫(huà)的區(qū)別。初中的變量說(shuō)，實(shí)際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢(shì)和性態(tài)。高中的對(duì)應(yīng)則是微觀的分析。 2、 抽象與具體 抽象：對(duì)概念而言，概念是從實(shí)踐和具體中抽象出來(lái)的，抽象的結(jié)果具有一種普遍性，歐幾里得的“公設(shè)”、“公理”都具有這樣的意義，再如點(diǎn)、線； 具體：解決問(wèn)題是具體的，推演過(guò)程是具體的。數(shù)學(xué)源于時(shí)間，

16、又發(fā)展于抽象，數(shù)學(xué)的定義、定理、公設(shè)，是基于社會(huì)實(shí)踐的，但卻又是高度抽象的。數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，但又發(fā)展于抽象。數(shù)學(xué)的定義、定理、公設(shè)，是基于社會(huì)實(shí)踐的，但卻又高度抽象的。如“點(diǎn)”是什么？“線”是什么？這樣的問(wèn)題看似抽象，但如果老師在黑板上點(diǎn)一個(gè)“點(diǎn)”，畫(huà)一根“線”，那么“點(diǎn)”與“線”有是很具體的。數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的嚴(yán)密性、精確性和抽象性。數(shù)學(xué)中的抽象一般是對(duì)概念而言的，概念是從時(shí)間和具體中抽象出來(lái)的，一旦這種抽象完成，其抽象的結(jié)果就具有一種普遍性。歐幾里得的“公設(shè)”、“公里”都具有這樣的意義。3、 證明與非證明。數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的。這種研究有個(gè)條件，比如對(duì)某一結(jié)構(gòu)關(guān)系，通常情況下，如果他受什么條件

17、制約的話(huà)，則必須有什么性質(zhì)，加入具備什么條件的話(huà)，則必然有什么結(jié)果。例如：兩個(gè)三角形三條邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似。對(duì)應(yīng)成比例是條件，相似是結(jié)論。數(shù)學(xué)從不先肯定“是什么”，它總是先看前提，然后才得出結(jié)論。證明重要性、可靠性、科學(xué)性。思想實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)證明最古老的模式。哥德巴赫猜想。哲學(xué)命題很難證實(shí)，不能證偽。4、 有限與無(wú)限。對(duì)無(wú)限的問(wèn)題，一直有兩種概念，一是“潛無(wú)限”，意思是把無(wú)限只看做一種過(guò)程，一種永無(wú)止境的生成過(guò)程；二是“實(shí)無(wú)限”與“潛無(wú)限”相反，它認(rèn)為無(wú)限是一種已經(jīng)生成了的或者說(shuō)現(xiàn)實(shí)存在的東西。說(shuō)到底，就是把實(shí)無(wú)限看作是有限的現(xiàn)實(shí)。從數(shù)學(xué)意義上講，有限和無(wú)限是對(duì)立的統(tǒng)一，它們既是對(duì)立

18、的，有區(qū)別的，又是相互聯(lián)系的。它們有著辯證的關(guān)系并在一定條件下相互轉(zhuǎn)化的。無(wú)限由有限構(gòu)成、無(wú)限不能脫離有限而獨(dú)立存在 。有限是對(duì)自身的超越，包含著無(wú)限 ，體現(xiàn)著無(wú)限。舉一個(gè)數(shù)學(xué)中的例子吧，整數(shù)集是一個(gè)無(wú)限集合，人們無(wú)法得到一個(gè)完成了的整數(shù)集。但每個(gè)整數(shù)又都是有限的。我們可以得到任意的整數(shù)。任意給出一個(gè)數(shù)學(xué)的對(duì)象，我們立即就能判定它是否屬于整數(shù)集，這樣看問(wèn)題，整數(shù)集又是一個(gè)完成了的集合，是一個(gè)有限的概念。因此整數(shù)集本身就是一個(gè)無(wú)限和有限的對(duì)立統(tǒng)一。 從有限到無(wú)限是認(rèn)識(shí)世界的廣度和深度的變化，是處理問(wèn)題的方法的變化。為解決無(wú)限問(wèn)題，由歐氏幾何產(chǎn)生了非歐幾何；從常量到變量，產(chǎn)生了微積分；集合論的產(chǎn)生

19、完善了數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。 潛無(wú)限：瞬時(shí)速度、圓與直線的對(duì)應(yīng)。5、 先天知識(shí)與后天經(jīng)驗(yàn)所謂先天知識(shí)，就是不需要經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的東西；而所謂后天經(jīng)驗(yàn)，從最廣泛的意義上講，經(jīng)驗(yàn)是指一種認(rèn)知態(tài)度，從專(zhuān)門(mén)意義上講，它是由兩個(gè)相互聯(lián)系又有區(qū)別的哲學(xué)意義組成的。一是理念的意義，必定與事物已有的經(jīng)驗(yàn)和可能經(jīng)驗(yàn)有關(guān)；二是哲學(xué)的認(rèn)識(shí)論、信念，歸根到底是由經(jīng)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證。數(shù)學(xué)的概念源于經(jīng)驗(yàn)，存在決定意識(shí)，客觀事物作用于人的感官，使人產(chǎn)生相應(yīng)的概念。比如關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的點(diǎn)、線、面、數(shù)這些概念與它們所代表的事物，誰(shuí)先誰(shuí)后？事實(shí)上是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式在人的頭腦中抽象為數(shù)學(xué)概念，而后人們又用這些概念創(chuàng)造出數(shù)學(xué)對(duì)象。 數(shù)學(xué)概

20、念大多源于經(jīng)驗(yàn)，不過(guò)一旦被抽象出來(lái)之后，就往往以自己的方式去發(fā)展，以致超過(guò)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，但它不能說(shuō)是一門(mén)完全的經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，它從根本上講是一種理性科學(xué)，它主要是思維方式的創(chuàng)造。數(shù)學(xué)如果長(zhǎng)期遠(yuǎn)離實(shí)踐或者經(jīng)驗(yàn)，將容易走向它的反面。遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)來(lái)源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科將會(huì)有退化的危險(xiǎn)。所以數(shù)學(xué)不能離開(kāi)實(shí)踐，不能離開(kāi)經(jīng)驗(yàn)，不能只寄托于抽象，否則將失去生命活力。今天，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)，與新媒體、與社會(huì)，都會(huì)從中獲得不竭的學(xué)科源泉。 概念形成后，未必依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)。例：橢圓、橢圓性條件、橢圓型方程、“正交”。數(shù)學(xué)建模：一方面，數(shù)學(xué)向形式化、美學(xué)化、藝術(shù)化方向發(fā)展，另一方面，數(shù)學(xué)離不開(kāi)科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際

21、的問(wèn)題。6、 必然性與偶然性 數(shù)學(xué)的偉大使命就是在混沌中發(fā)現(xiàn)有序。概率論就是一門(mén)研究事情發(fā)生可能性的學(xué)問(wèn)，其目的在與從偶然中探求必然的規(guī)律，它是機(jī)遇的模型，這種模型面對(duì)的是自然界的必然現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象。7、 量變與質(zhì)變7、 數(shù)學(xué)文化的社會(huì)化功能 例：連續(xù)與“飛矢不動(dòng)”之間的矛盾 近代學(xué)科介紹：分叉與混沌.曲線y=1/2x2與y=0在x=0處分叉。再如在數(shù)軸上，設(shè)定從正數(shù)到負(fù)數(shù)的變化過(guò)程的變量為X，可看做是對(duì)常溫下的水進(jìn)行冷凍的過(guò)程。若水從20向0逐漸靠近，當(dāng)X穿越這個(gè)表示0的點(diǎn)時(shí)，X即為負(fù)數(shù)。1、 作為社會(huì)資源的功能：其一，與人民生活的關(guān)聯(lián)性，比如為解決人口危機(jī)問(wèn)題，需運(yùn)用數(shù)學(xué)找到一個(gè)好的人口政

22、策和生育模型。還有資源的開(kāi)采和利用問(wèn)題，環(huán)境治理。社會(huì)生活需要數(shù)學(xué)，生活質(zhì)量、存錢(qián)取息，天氣預(yù)報(bào)、統(tǒng)計(jì)等等其二，數(shù)學(xué)推廣、開(kāi)發(fā)的意義，比如關(guān)于數(shù)的推廣、關(guān)于空間的數(shù)學(xué)表示。2、 作為符號(hào)的功能（語(yǔ)言） 作為交流的語(yǔ)言，便于表達(dá)，從古到今，數(shù)學(xué)符號(hào)的使用：象形，英文縮寫(xiě)，抽象，數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)。數(shù)學(xué)用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。ª數(shù)學(xué)文化的符號(hào)意義：其一，建立了一個(gè)公共話(huà)語(yǔ)空間，使得在一種可交流的情況下共同討論問(wèn)題。其二，字母可以使人在變換文字表達(dá)式時(shí)便于操作，從而把任何陳述都變?yōu)樵S多等價(jià)的形式，而這種變形能力，使代數(shù)超出了方便的速記水平。其三，符號(hào)可是數(shù)學(xué)語(yǔ)言更加簡(jiǎn)潔、明了、嚴(yán)格、準(zhǔn)確。

23、其四，符號(hào)可以帶來(lái)新的創(chuàng)造。3、作為模型的功能。投鉛球模型、人口模型：馬爾薩斯定律便于人口統(tǒng)計(jì)、蛛網(wǎng)模型八、數(shù)學(xué)文化是先進(jìn)生產(chǎn)力有哪幾種說(shuō)法？1、數(shù)學(xué)文化與信息傳播。2、數(shù)學(xué)文化與和諧社會(huì)。3、數(shù)學(xué)文化與效益最大化。優(yōu)選法、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、最優(yōu)控制4、數(shù)學(xué)文化與科技轉(zhuǎn)化。5、數(shù)學(xué)文化與可持續(xù)發(fā)展。九、數(shù)學(xué)文化的辯證法有哪幾種？（注重具體與抽象、分析與綜合。并會(huì)舉例說(shuō)明）1、具體與抽象。舉例：全部數(shù)學(xué)概念，從最初等的、原始的自然數(shù)、整數(shù)，最基本的點(diǎn)、線、面等圖形，以及在此基礎(chǔ)之上形成的有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)、微積分等一系列高度抽象的概念，都來(lái)源于非常實(shí)在的、具體的現(xiàn)實(shí)“原型”。如“點(diǎn)”

24、是什么？“線”是什么？這樣的問(wèn)題看似抽象，但如果老師在黑板上點(diǎn)一個(gè)“點(diǎn)”，畫(huà)一根“線”，那么“點(diǎn)”與“線”有是很具體的。2、 演繹與歸納演繹法是由一般到特殊的推理，它有三段論的表現(xiàn)形式，由一般的判斷，特殊判斷，結(jié)論三部分組成。歸納與演繹不同，歸納是這樣一種推理：其中所得到的結(jié)論超越了經(jīng)驗(yàn)材料所提供的東西的一種經(jīng)驗(yàn)猜想。看起來(lái)歸納與演繹很有區(qū)別的，事實(shí)歸納與演繹是相依而存、互為發(fā)展、對(duì)立統(tǒng)一的。恩格斯在自然辯證法中說(shuō)：“我們用世界上的一切歸納法都永遠(yuǎn)不能把歸納過(guò)程弄清楚，只有對(duì)這個(gè)過(guò)程的分析才能做到這一點(diǎn)歸納與演繹，正如分析與綜合一樣是必然相互聯(lián)系著的，不應(yīng)當(dāng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧上天，應(yīng)當(dāng)把每一

25、個(gè)用到該用的地方，而要做到這一點(diǎn)，就只有注意它們的相互聯(lián)系，它們的相互補(bǔ)充?！崩?直角三角形內(nèi)角和是180度；銳角三角形內(nèi)角和是180度；鈍角三角形內(nèi)角和是180度；直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形內(nèi)角和都是180度。 這個(gè)例子從直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形內(nèi)角和分別都是180度這些個(gè)別性知識(shí)，推出了"一切三角形內(nèi)角和都是180度"這樣的一般性結(jié)論，就屬于歸納推理。 演繹推理是由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理。例子：一個(gè)三角形，或者是銳角三角形，或者是鈍角三角形，或者是直角三角形。這個(gè)三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個(gè)

26、鈍角三角形。3、 發(fā)現(xiàn)與證明 規(guī)律的發(fā)現(xiàn)常以猜測(cè)為前提，提出一個(gè)假說(shuō)，證明是對(duì)提出的假說(shuō)進(jìn)行確認(rèn)，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)就無(wú)需證明。 發(fā)現(xiàn)實(shí)際上就是定律的發(fā)現(xiàn)和理論地提出問(wèn)題，最主要是通過(guò)假說(shuō)，猜想。猜想是提出新思想，一個(gè)猜想可以帶出或生出一個(gè)新的學(xué)科方向。比如，對(duì)歐氏第五公設(shè)的證明產(chǎn)生了非歐幾何理論，四色猜想對(duì)開(kāi)辟數(shù)學(xué)研究新途徑有重要意義。在數(shù)學(xué)史上有很多有名猜想，人們熟悉的費(fèi)馬猜想，曾是一個(gè)懸賞10萬(wàn)馬克的定理，實(shí)際上，它是源于幾千年前的勾股定理。德國(guó)數(shù)學(xué)家曾宣稱(chēng)：當(dāng)n大于2時(shí)，不存在一個(gè)整數(shù)n次冪是另外兩個(gè)整數(shù)n次冪之和。數(shù)學(xué)家韋爾斯花了34年心血來(lái)解這道難題，并獲得沃爾夫獎(jiǎng)。許許多多數(shù)學(xué)猜想是由簡(jiǎn)單

27、到復(fù)雜無(wú)休無(wú)止地產(chǎn)生出來(lái)。一個(gè)猜想解決了，又猜想出來(lái)了，數(shù)學(xué)家們總有解決不完的猜想。許多重要猜想，總能吸引眾多數(shù)學(xué)家為此皓首窮經(jīng)。在證明各個(gè)猜想的過(guò)程中，數(shù)學(xué)們會(huì)取得一系列重要理論成果。4、 分析與綜合分析是由未知去推導(dǎo)已知，在假定的前提下導(dǎo)出結(jié)論，而這一結(jié)論恰恰是已給出的條件或已知的命題。綜合是由已知命題開(kāi)始，通過(guò)演繹、歸納能一連串來(lái)導(dǎo)出未有的命題，或解決所要給出的問(wèn)題的解。善于結(jié)合運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法可以更好的來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和體會(huì)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵。當(dāng)確定了問(wèn)題可解后，就要進(jìn)一步對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行分析，加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。例如，從數(shù)據(jù)流和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)出發(fā)，逐步細(xì)化所有的軟件功能，找出軟件系統(tǒng)各元素之間的聯(lián)系、

28、接口特性和設(shè)計(jì)上的約束，分析它們是否滿(mǎn)足功能要求。通過(guò)分析，最后綜合形成系統(tǒng)的雛形求解方案。得到的方案可能會(huì)暴露出原有需求中的問(wèn)題，再修改需求，如此反復(fù)地進(jìn)行，使之更加符合實(shí)際需要。從中國(guó)古代的五行學(xué)說(shuō)到亞里士多德的三段論，由猜測(cè)分析進(jìn)入具體分析。10、 數(shù)學(xué)文化的一般方法有哪七種？什么叫做歸納法？什么叫做迭代法？什么叫做逐步逼近法？舉例。（上述三種必考）1、類(lèi)比法。類(lèi)比的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)對(duì)象形式結(jié)構(gòu)的相似或接近，通過(guò)對(duì)兩個(gè)以上的類(lèi)似對(duì)象的比較，去獲得新思路和新發(fā)現(xiàn)。由已知事實(shí)或已知定義、定理出發(fā)，通過(guò)類(lèi)比引出新的想法和結(jié)論。2、歸納法：基于特殊到一般的推理方法 例如：在代數(shù)恒等式方面的問(wèn)題的應(yīng)用，

29、有不少的代數(shù)恒等式，它的嚴(yán)格證明需要用到數(shù)學(xué)歸納法。例1、數(shù)列的第項(xiàng)，可以用公式 表示，這里是它的首項(xiàng)，是公差證明：當(dāng)時(shí)，式成立假設(shè)當(dāng)時(shí)，式成立，那么當(dāng)時(shí)，有：當(dāng)時(shí)，式也成立由此可知，對(duì)于所有的自然數(shù)，式均成立3、 化歸法 其過(guò)程是首先把要解決的問(wèn)題都化歸為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后把任何數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題，再把任何代數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為方程式的求解。不先與問(wèn)題正面交鋒，而從側(cè)面，借助轉(zhuǎn)換、變形，將其變成一個(gè)已知問(wèn)題或已明確的方法和思路。 化歸法是一種分析問(wèn)題解決問(wèn)題的基本思想方法在數(shù)學(xué)中通常的作法是：將一個(gè)非基本的問(wèn)題通過(guò)分解、變形、代換，或平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式，將它化歸為一個(gè)熟悉的基本的問(wèn)題，從而求

30、出解答如學(xué)完一元一次方程、因式分解等知識(shí)后，學(xué)習(xí)一元二次方程我們就是通過(guò)因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來(lái)解的后來(lái)我們學(xué)到特殊的一元高次方程時(shí)，又是化歸為一元一次和一元二次方程來(lái)解的對(duì)一元不等式也有類(lèi)似的作法又如在平面幾何中我們?cè)趯W(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角和、面積計(jì)算等有關(guān)定理后，對(duì)n邊形的內(nèi)角和、面積的計(jì)算，也是通過(guò)分解、拼合為若干個(gè)三角形來(lái)加以解決的再如在解析幾何中，當(dāng)我們學(xué)完了最基本、最簡(jiǎn)單的圓錐曲線知識(shí)以后，對(duì)一般圓錐曲線的研究，我們也是通過(guò)坐標(biāo)軸平移或旋轉(zhuǎn)，化歸為基本的圓錐曲線(在新坐標(biāo)系中)來(lái)實(shí)現(xiàn)的其它如幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題，立體幾何問(wèn)題化歸為平面幾何問(wèn)題，任意角的三角函數(shù)問(wèn)題化歸

31、為銳角三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)表示的例子就更多了 4、約定法：科學(xué)家用各種科學(xué)定律來(lái)約定5、迭代法。按同樣的法則，無(wú)限次的重復(fù)做下去，可從一個(gè)已知的首項(xiàng)開(kāi)始，產(chǎn)生一個(gè)序列。迭代法是一種求解非線性方程的數(shù)值方法, 將求解方程組轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)無(wú)限序列, 其極限就是方程的解, 在有限步內(nèi)是得不到精確解的。6、論證法。 論證是一個(gè)檢驗(yàn)確認(rèn)的過(guò)程和方法，其基礎(chǔ)和前提是提出問(wèn)題。通過(guò)論證確認(rèn)結(jié)論正確與否。最常見(jiàn)的論證方法有歸納法和反證法。7、 逐步逼近法。 對(duì)于一些數(shù)學(xué)難題，人們常常設(shè)法先證明它的一種減弱命題，然后一步一步地向它逐漸逼近。十一、什么叫做美學(xué)觀？世界上無(wú)人不愛(ài)美！ 美學(xué)觀點(diǎn)是人們對(duì)客觀感性形象的美學(xué)屬

32、性的能動(dòng)反映。包括人的審美感覺(jué)、情趣、經(jīng)驗(yàn)、觀點(diǎn)和理想等。 12、 什么是數(shù)學(xué)美的評(píng)價(jià)尺度？以何為美？ 美是形式的和諧，雅致、對(duì)稱(chēng)、平衡，井然有序、統(tǒng)一協(xié)調(diào)。在數(shù)學(xué)定理的評(píng)價(jià)中，審美標(biāo)準(zhǔn)既重于邏輯的標(biāo)準(zhǔn)，也重于實(shí)用的標(biāo)準(zhǔn)。十三、數(shù)學(xué)美的實(shí)質(zhì)莫里斯·克萊因在西方文化中的數(shù)學(xué)里所指出的大氣磅礴與精巧美好：“在最廣泛的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，試圖決定性地影響人類(lèi)的物質(zhì)、道德和社會(huì)生產(chǎn)；試圖回答有關(guān)人類(lèi)自身存在提出的問(wèn)題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵?！泵朗峭苿?dòng)人們前進(jìn)的力量，審美是人們普遍的追求。美是先進(jìn)生產(chǎn)力。

33、數(shù)學(xué)美，包括真、善、美。不僅如此，數(shù)學(xué)美是一種大美、大善、大真。數(shù)學(xué)美，是像馬克思講的“一切社會(huì)關(guān)系的總和”，這種大美、大真，是超越時(shí)空的，體現(xiàn)了人與物的交流性。從深層的哲學(xué)意義上講，從數(shù)學(xué)美的價(jià)值追求上講，數(shù)學(xué)審美說(shuō)到底是一種方法美、境界美，是一種理性精神。恰恰是這種精神，是的人類(lèi)思想得以運(yùn)用到至善至美的程度。正是這種精神，從一定程度上影響了人類(lèi)的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活，并試圖回答有關(guān)人類(lèi)自身提出的一些問(wèn)題。正是這種精神，使得人們盡可能去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規(guī)律。正是這種精神，是人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻、最完美的學(xué)科內(nèi)涵。14、 數(shù)學(xué)中的和諧美：三種美各舉一例

34、 數(shù)學(xué)的和諧美一般體現(xiàn)在以下方面：一是作為一門(mén)學(xué)科的高度一致性、協(xié)調(diào)性，也就是高度的統(tǒng)一性。二是通過(guò)函數(shù)關(guān)系反映出來(lái)的部分定理的對(duì)稱(chēng)性和曲線的對(duì)稱(chēng)性。統(tǒng)一性與對(duì)稱(chēng)性，構(gòu)成和諧美最主要的內(nèi)容。 1、統(tǒng)一美：所謂統(tǒng)一美，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。這種美是邏輯的統(tǒng)一性、一致性，是抽象與現(xiàn)實(shí)的一致性。在數(shù)學(xué)中有好多數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的例子。例如，如，像算術(shù)-幾何平均值不等式、柯西不等式、三角形不等式等等看似差別很大,但是都有深刻的聯(lián)系，從本質(zhì)上將都可統(tǒng)一在一個(gè)概括性更強(qiáng)、結(jié)論更具普遍意義的不等式琴生不等式中。引入負(fù)數(shù)，有了相反數(shù)的概念之后，有理數(shù)的加法和減法得到統(tǒng)一，它們可以統(tǒng)一為代數(shù)和的形式

35、。有了倒數(shù)的概念，除以一個(gè)不等于零的數(shù)等于乘上它的倒數(shù)，于是乘法與除法得到了統(tǒng)一。例如平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理均可統(tǒng)一到圓冪定理之中。在體積計(jì)算中有所謂的“萬(wàn)能計(jì)算公式”，它能統(tǒng)一地應(yīng)用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺(tái)的體積計(jì)算統(tǒng)一美反映的是審美對(duì)象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一,數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一,數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。 2、協(xié)調(diào)美：著名的美學(xué)規(guī)律“黃金分割”把一條線段分成長(zhǎng)短兩節(jié)，使短節(jié)和長(zhǎng)節(jié)的比恰好等于長(zhǎng)節(jié)與全長(zhǎng)的比。實(shí)踐表明這一比例是最美妙的比例。美神維納斯的美

36、，關(guān)鍵一點(diǎn)是她的身材比例恰好符合黃金分割律。韻律美 美是恰到好處，黃金分割法0.618 埃及的金字塔，古希臘的巴特農(nóng)神殿等 3、對(duì)稱(chēng)美：數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美反映的是自然界的和諧性，在幾何形體中，最典型的就是軸對(duì)稱(chēng)圖形。圖形對(duì)稱(chēng) 圓形，球形 函數(shù)圖形對(duì)稱(chēng)：拋物線、雙曲線。概念和公式的對(duì)稱(chēng)。15、 數(shù)學(xué)的符號(hào)美數(shù)學(xué)符號(hào)作為一種特殊的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有著不可替代的作用，它具有簡(jiǎn)潔、靈活、方便、形象的特點(diǎn)。符號(hào)的三種美：1、簡(jiǎn)潔美 數(shù)學(xué)公式就是最好的例子。數(shù)學(xué)公式經(jīng)常用符號(hào)表示，如梯形的面積表示為：S梯形=(a+b)h/2,顯然比文字表達(dá)要簡(jiǎn)潔的多。我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題目時(shí)直接應(yīng)用符號(hào)公式，解題思路會(huì)顯得

37、明朗很多，演算起來(lái)也覺(jué)得快捷很多。 2、統(tǒng)一美 如，為了表達(dá)絕對(duì)值的幾何意義，我們利用了距離這個(gè)概念，借助了數(shù)軸來(lái)理解，在意義上達(dá)到了統(tǒng)一。又如，在數(shù)軸上表示不等式的解集。在數(shù)軸上用空心表示“”或“”，用實(shí)心表示“”或“”，數(shù)與形得到了統(tǒng)一。 3、含蓄美 如，幾何中的垂直符號(hào)很明顯把兩直線的垂直關(guān)系體現(xiàn)出來(lái)，而平行符號(hào)體現(xiàn)了兩直線的平行關(guān)系，又如三角形的符號(hào)和三角形的形狀一樣，一看便知。16、 數(shù)學(xué)中的奇異美有哪幾種1、 形“奇”：黑洞、神奇的數(shù)字寶塔2、 意義“奇”?？巳R因瓶與麥比烏斯3、數(shù)字“奇”。如成語(yǔ)中的數(shù)字：“1”萬(wàn)物之始，希望之光。（一心一意、一帆風(fēng)順）；“2”雙喜臨門(mén)、梅開(kāi)二度；

38、古代詩(shī)詞中的數(shù)字“飛流直下三千尺”。十七、什么是數(shù)學(xué)文化的原創(chuàng)性特點(diǎn) 數(shù)學(xué)的創(chuàng)新特點(diǎn)主要是兩個(gè)方面：一是原創(chuàng)性（發(fā)明和發(fā)現(xiàn)）；二是繼承性（亦即創(chuàng)造性地去完善）錢(qián)偉長(zhǎng)：變分法。另外還有其個(gè)人化傾向，這種個(gè)人化的傾向集中體現(xiàn)在個(gè)人興趣和直覺(jué)上。原創(chuàng)性是指數(shù)學(xué)文化在其形成過(guò)程中的一些最基本的原理和內(nèi)容，這些內(nèi)容不是由其他學(xué)科延伸發(fā)展而來(lái)的，而是由人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐中直接發(fā)明或發(fā)現(xiàn)的。我們講的數(shù)學(xué)的原創(chuàng)性特色，是就它的思想源而言的。比如眾所周知的歐式幾何的公設(shè)、定義、定理，都具有典型的原創(chuàng)性，關(guān)于點(diǎn)、線（直線）、面、圓等概念，就充分反映這種原創(chuàng)性。從根本上說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)文化的原創(chuàng)性，集中體現(xiàn)了兩個(gè)特點(diǎn)：一是發(fā)

39、現(xiàn)，二是發(fā)明。發(fā)現(xiàn)從觀察入手，作為客觀事物，它本來(lái)就在那個(gè)地方了，人們只是去”找到“它。而發(fā)明則是對(duì)人們已經(jīng)知曉的東西給予解釋和說(shuō)明，或者用已經(jīng)知曉的道理從事一種制造，加工成某種產(chǎn)品。十八、數(shù)學(xué)對(duì)其他新興學(xué)科的支撐作用（了解一下）：1、數(shù)學(xué)與愛(ài)因斯坦的相對(duì)論（愛(ài)因斯坦的相對(duì)論有賴(lài)于數(shù)學(xué)中的歐式幾何 ）2、數(shù)學(xué)與麥克斯韋方程組 3、數(shù)學(xué)與量子力學(xué) 4、數(shù)學(xué)成就了牛頓 十九、數(shù)學(xué)創(chuàng)新的基本方法（著重看擴(kuò)張法），各舉一例。1、擴(kuò)張法。其主要內(nèi)容是從已知的概念和定理出發(fā)，在原有的基礎(chǔ)上建立起一些新的或者更為特殊和更為廣泛的概念與定理。比如，例：數(shù)的概念的擴(kuò)張（自然數(shù)-整數(shù)-有理數(shù)-實(shí)數(shù)-復(fù)數(shù)-超復(fù)數(shù)）

40、；函數(shù)概念的擴(kuò)張（1.解析函數(shù)，代數(shù)函數(shù)，超越函數(shù)2.歐拉、傅里葉的貢獻(xiàn)3.柯西函數(shù)的定義4.黎曼、狄利克雷的函數(shù)定義5.取消自變量變換的限制6.維布倫及倫內(nèi)的函數(shù)定義7.集合函數(shù)）；積分的概念（連續(xù)函數(shù)的積分-不連續(xù)的函數(shù)積分-如今豐富的積分概念和積分內(nèi)容。2、發(fā)現(xiàn)法3、科學(xué)發(fā)現(xiàn)的精神狀態(tài)二十、數(shù)學(xué)思想史：四段路、四次思想解放（填空題）（這部分最好要把書(shū)本的具體內(nèi)容看一看。）1、5000年數(shù)學(xué)走過(guò)的四段路： 第一階段（公元前30世紀(jì)公元前6世紀(jì)）：萌芽階段（準(zhǔn)學(xué)科階段） 數(shù)學(xué)還沒(méi)發(fā)展成為一門(mén)有明確結(jié)構(gòu)的、獨(dú)立的、理性的學(xué)科，還不具備抽象和概括，還沒(méi)有方法論，沒(méi)有證明和推理，沒(méi)有歸納和演繹。

41、在這一時(shí)代的杰出代表是古巴比倫數(shù)學(xué)、中國(guó)數(shù)學(xué)、埃及數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)等。萌芽時(shí)期的世界數(shù)學(xué)文化呈現(xiàn)一種多元發(fā)展的態(tài)勢(shì)。第二階段(公元前5世紀(jì)-公元16世紀(jì)) 形成時(shí)期，常數(shù)學(xué)階段（也就是數(shù)學(xué)學(xué)科完成了以常量為主要內(nèi)容的框架體系。它的開(kāi)始以希臘人的出場(chǎng)為典型標(biāo)志的，結(jié)束于公元16世紀(jì)，也就是在變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前。第三階段(17-19世紀(jì)) 變量數(shù)學(xué)階段，牛頓時(shí)代第四階段(19世紀(jì)下半葉至今) 2、數(shù)學(xué)史上的四次思想解放 （1）承認(rèn)“無(wú)理數(shù)”是第一次思想解放 （2）微積分的產(chǎn)生是第二次思想解放 （4）羅素悖論引出的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究是第四次思想解放 其他方面：1、 計(jì)算題1、 求極值(1) lim(n+) (

42、3n+1)/(4n2+1) 同除以n2 = lim(n+) (3/n)+(1/n2)/4+(1/n2) =0(2) lim(n+) (3n+1)/(4n+1) 同除以n= lim(n+) (3+1/n)/(4+1/n) =3/42、 平面二次曲線與空間二次曲面 作圖 P151 P152（1）拋物線與拋物柱面 y=x2 拋物線y=x2 (zR) 拋物柱面（2）橢圓與橢圓柱面 橢圓方程 x2/a2+y2/b2=1 P152 圖6-3 橢圓柱面 x2/a2+y2/b2=1(zR)二、1、 什么叫相似三角形？對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切?。2、 什

43、么叫全等三角形？當(dāng)兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊及角都完全相對(duì)時(shí)，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。在同一平面內(nèi)能夠完全重合（大小，形狀都相等的三角形）的兩個(gè)三角形稱(chēng)為全等三角形。3、 什么叫直角三角形勾股定理？在任何一個(gè)直角三角形（Rt）中（等腰直角三角形也算在內(nèi)），兩條直角邊的長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方，這就叫做勾股定理。即勾的長(zhǎng)度的平方加股的長(zhǎng)度的平方等于弦的長(zhǎng)度的平方。（直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，數(shù)學(xué)公式中常寫(xiě)作a2+b2=c2）4、 如何證明直角三角形中30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半？已知，在RtABC中，A=30°，ACB=90°求證：BC=1 /2

44、 AB證明：證法一：如答圖所示，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，易證AD=AB，BAD=60°ABD為等邊三角形，AB=BD，BC=CD=1 /2 AB，即BC=1/ 2 AB證法二：如答圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接DC，有CD=1/ 2 AB=AD=DB，DCA=A=30°，BDC=DCA+A=60°DBC為等邊三角形，BC=DB=1 /2 AB，即BC=1 /2 AB證法三：如答圖所示，在AB上取一點(diǎn)D，使BD=BC，B=60°，BDC為等邊三角形，DCB=60°，ACD=90°-DCB=90°-60°=

45、30°=ADC=DA，即有BC=BD=DA=1/ 2 AB，BC=1/ 2 AB證法四：如圖所示，作ABC的外接圓D，C=90°，AB為O的直徑，連DC有DB=DC，BDC=2A=2×30°=60°，DBC為等邊三角形，BC=DB=DA=1/ 2 AB，即BC=1/ 2 AB5、 利用數(shù)列的歸納法證明一個(gè)數(shù)列 1/(1*3)+1/(3*5)+ +1/(2n-1)*(2n+1)=n/(2n+1)證明：當(dāng)n=1時(shí)，明顯有1/(1×3)=1/(2×1+1)成立，則原式成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有1/1×3+1/3×

46、5+.+1/(2k-1)(2k+1)=k/2k+1成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)， 1/1×3+1/3×5+.+1/(2k-1)(2k+1）+1/(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)=k/2k+1 + 1/(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)/(2k+1)(2k+3)+1/(2k+1)(2k+3)=(2k²+3k+1)/(2k+1)(2k+3)=(2k+1)(k+1)/(2k+1)(2k+3)=(k+1)/(2(k+1)+1)= n/2n+1綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知，1/1×3+1/3×5+.+1/(2n-1)(2n+1)=n/2n+1（n=1，2，3，）成立6、 論述：（300字以下）（1） 什么叫演繹與歸納？P118-123歸納法是用科學(xué)家觀察到的特殊或特定例子得出一般性結(jié)構(gòu)或通則的方法，這種利用數(shù)據(jù)資料或證據(jù)得出的一般性原理的方法，通常被稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)論，相反，演繹法是基于抽象的原理，并將其應(yīng)用于特殊的例子，通常被稱(chēng)為邏輯法或唯理論的方法。演繹法是由一般到特殊的推理，有三段論的表現(xiàn)形式。三段論是由一