高考理科數(shù)學(xué)解析幾何題型與方法

1、專題五：高考理科數(shù)學(xué)解析幾何題型與方法（理科）一、考點(diǎn)回顧1直線(1).直線的傾斜角和斜率直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率k反映了直線相對(duì)于x軸的傾斜程度.當(dāng)斜率k存在時(shí)，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x=a（aR）.因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率k存在與否，要分別考慮.(2) .直線的方程a.點(diǎn)斜式：； b.截距式：；c.兩點(diǎn)式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同時(shí)為0.(3).兩直線的位置關(guān)系兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；重合（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相

2、交.設(shè)直線：=+，直線：=+，則的充要條件是=，且；的充要條件是=-1.(4).簡單的線性規(guī)劃a.線性規(guī)劃問題涉及如下概念：存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組來表示，稱為線性約束條件.都有一個(gè)目標(biāo)要求，就是要求依賴于x、y的某個(gè)函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）達(dá)到最大值或最小值.特殊地，若此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為線性目標(biāo)函數(shù).求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解組成的集合，叫做可行域.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.b.線性規(guī)劃問題有以

3、下基本定理：一個(gè)線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行域一定是一個(gè)凸多邊形. 凸多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的. 對(duì)于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點(diǎn)中找到.C.線性規(guī)劃問題一般用圖解法.2. 圓(1).圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)等于定長的點(diǎn)的集合（或軌跡）。(2).圓的方程a.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（r0），稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為r.特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)（0，0），半徑為r時(shí)，圓的方程為.b.圓的一般方程（0）稱為圓的一般方程，其圓心坐標(biāo)為（，），半徑為.當(dāng)=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（，）；當(dāng)0時(shí)，方程不表示任何圖形. c.圓的參數(shù)方程圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)

4、系：（為參數(shù)）（為參數(shù)）(3).直線與圓3.圓錐曲線(1).橢圓a.定義定義1：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓(這兩個(gè)定點(diǎn)叫焦點(diǎn))定義2：點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常b.圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程c.幾何性質(zhì)d.常用結(jié)論過橢圓的焦點(diǎn)的弦AB長的最大值為2a,(長軸)；最小值為(過焦點(diǎn)垂直長軸的弦)設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2, P為橢圓任意一點(diǎn),當(dāng)F1PF2最大時(shí),P為短軸端點(diǎn);橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為a-c;橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為a+c(2)雙曲線a.定義定義1：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值

5、等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn))定義2：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e(e1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線(這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn))b.圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程圖83的標(biāo)準(zhǔn)方程為：圖84的標(biāo)準(zhǔn)方程為：c.幾何性質(zhì)d.常用結(jié)論過雙曲線的焦點(diǎn)的弦AB長的最小值為2a (A,B分別在兩支上),最小值為(A,B在同一支上且過焦點(diǎn)垂直實(shí)軸的弦)雙曲線的的漸近線方程為雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為c-a(3).拋物線a.定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線b.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

6、程，類型及幾何性質(zhì)，見下表：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下特點(diǎn)：都以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以一條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸；方程不同，開口方向不同；焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線距離p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離焦點(diǎn)弦長公式：|AB|px1x2c.常用結(jié)論過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的弦AB長的最小值為2p設(shè)A(x1,y), 1B(x2,y2)是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn),則AB過F的充要條件是y1y2=-p2設(shè)A, B是拋物線y2=2px上的兩點(diǎn),O為原點(diǎn), 則OAOB的充要條件是直線AB恒過定點(diǎn)(2p,0)(4).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離

7、的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線，定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0e1時(shí)，是橢圓，當(dāng)e1時(shí)，是雙曲線，當(dāng)e1時(shí)，是拋物線4. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（在這里我們把圓包括進(jìn)來）(1).首先會(huì)判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的 a.直線與圓：一般用點(diǎn)到直線的距離跟圓的半徑相比b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直線方程b.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程(3).已知一點(diǎn)A坐標(biāo)，一直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P、Q，且中點(diǎn)為A，求P、Q所在的直線方程(4).已知一直線方程，某圓錐曲線

8、上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求某個(gè)值的取值范圍（或者是圓錐曲線上否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱）5.二次曲線在高考中的應(yīng)用二次曲線在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)。通過以二次曲線為載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)。本文關(guān)注近年部分省的高考二次曲線問題，給予較深入的剖析，這對(duì)形成高三復(fù)習(xí)的新的教學(xué)理念將有著積極的促進(jìn)作用。(1).重視二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。(2).重視二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)聯(lián)系。(

9、3).重視二次曲線性質(zhì)與數(shù)列的有機(jī)結(jié)合。(4).重視解析幾何與立體幾何的有機(jī)結(jié)合。6.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)曲線與方程直線直線的傾斜角和斜率點(diǎn)斜式兩點(diǎn)式一般式直線方程的基本形式在線外點(diǎn)到直線的距離在線上點(diǎn)和直線的位置關(guān)系相交兩條直線的位置關(guān)系平行重合交點(diǎn)夾角簡單的線性規(guī)劃二元一次不等式表示平面區(qū)域線性規(guī)劃線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用垂直圓圓的定義圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式一般式參數(shù)式點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系判定方法：點(diǎn)到圓心的距離與半徑R的比較圓內(nèi)圓外圓上圓與圓的位置關(guān)系外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含應(yīng)用兩立方程的解式圓心點(diǎn)與兩半徑和（差）比較位置關(guān)系判定方法：圓心距離與兩半徑和（差）的比較直線與圓的位置關(guān)系相交相切圓的切線相等交點(diǎn)弦長

10、位置關(guān)系判定方法：圓心到直線的距離d與半徑R的比較性質(zhì)：對(duì)稱性、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、離率、準(zhǔn)線、焦半徑等圓錐曲線橢圓、曲線、直線定義標(biāo)準(zhǔn)方程直線與圓錐曲線的位置關(guān)系二、經(jīng)典例題剖析（根據(jù)近幾年高考命題知識(shí)點(diǎn)及熱點(diǎn)做相應(yīng)的試題剖析，要求例題不得少于8個(gè)）考點(diǎn)一 曲線（軌跡）方程的求法常見的求軌跡方程的方法：（1）單動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題直接法（五步曲）+ 待定系數(shù)法（定義法）；（2）雙動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題代入法；（3）多動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題參數(shù)法 + 交軌法。1. （哈九中） 設(shè)上的兩點(diǎn)，滿足，橢圓的離心率短軸長為2，0為坐標(biāo)原點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB

11、的斜率k的值； （3）試問：AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由. 解析：本例（1）通過，及之間的關(guān)系可得橢圓的方程；（2）從方程入手，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結(jié)合韋達(dá)定理；（3）要注意特殊與一般的關(guān)系，分直線的斜率存在與不存在討論。 答案：（1）橢圓的方程為 （2）設(shè)AB的方程為由由已知2 （3）當(dāng)A為頂點(diǎn)時(shí)，B必為頂點(diǎn).SAOB=1 當(dāng)A，B不為頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+b所以三角形的面積為定值. 點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的基本概念和性質(zhì)，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解析幾何的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知識(shí)解決問題的能力。2. （湖北省十一校）在直

12、角坐標(biāo)平面中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A（0，1），B（0, 1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時(shí)滿足 , = = （1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上 ，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（, 0） ，已知 , 且·= 0.求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值. 解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達(dá)點(diǎn)特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，靈活的運(yùn)算技巧是解決好本題的關(guān)鍵。 答案：（1）設(shè)C ( x , y )， ,由知,G為 ABC的重心 ， G(,) 由知M是ABC的外心，M在x軸上 由知M（，0），由 得化簡整理得：（x0）。 （2）F（，0 ）恰為的右焦點(diǎn) 設(shè)PQ的斜

13、率為k0且k±，則直線PQ的方程為y = k ( x )由設(shè)P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 則x1 + x2 = , x1·x2 =則| PQ | =· = · = RNPQ,把k換成得 | RN | = S=| PQ | · | RN | = =) 2 ， 16 S < 2 ， (當(dāng) k = ±1時(shí)取等號(hào))又當(dāng)k不存在或k = 0時(shí)S = 2綜上可得 S 2Smax = 2 ， Smin = 點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的有關(guān)知識(shí)，橢圓與直線的基本關(guān)系，二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運(yùn)用綜合知

14、識(shí)解決問題的能力?？键c(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)3(2006年安徽省高考題）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn) P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn) 已知四邊形為平行四邊形，（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程分析: 圓錐曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合其它圖形的考查是重點(diǎn)。注意靈活應(yīng)用第二定義。解：四邊形是，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，（）當(dāng)時(shí)，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求點(diǎn)評(píng)：本題靈活的運(yùn)用到圓錐曲線的第二定

15、義解題。 4（2006年湖北省高考題）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)， 若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力解：（）依題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b故橢圓的方程為 （）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）設(shè)M（x0，y0）M點(diǎn)在橢圓上，y0（4x02）又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）從而（x02

16、，y0），（2，）·2x04（x0243y02）將代入，化簡得·（2x0）2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)解法2：由（）得A（2，0），B（2，0） 設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x4上，即y2又點(diǎn)M在橢圓上，則，即于是將、代入

17、，化簡后可得從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是聯(lián)系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力考點(diǎn)三 有關(guān)圓錐曲線的定義的問題利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.5已知某橢圓的焦點(diǎn)F1（4,0），F(xiàn)2（4,0），過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為B，且10，橢圓上不同兩點(diǎn)A（x1,y1）,C(x2,y2)滿足條件F2A，F(xiàn)2B，F(xiàn)2C成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo).分析：因?yàn)橐阎獥l件中涉及到橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以可以從橢圓的定義入手.解：（1）由橢圓的定義及已知條件知：2aF1BF2B10，所以a

18、=5,又c3，故b=4.故橢圓的方程為.由點(diǎn)B（4，y0）在橢圓上，得F2By0|，因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率.所以根據(jù)橢圓的第二定義，有.因?yàn)镕2A，F(xiàn)2B，F(xiàn)2C成等差數(shù)列，所以：x1+x2=8,從而弦AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。點(diǎn)評(píng)：涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對(duì)于后者，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò).考點(diǎn)四 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來求解或證明.6拋物線C的方程為，過拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(

19、x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.分析：將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用韋達(dá)定理來求解.解：（）由拋物線的方程（）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得，于是，故又點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得于是，故由已知得，則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則將式和

20、式代入上式得，即線段的中點(diǎn)在軸上（）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，于是，因?yàn)殁g角且、三點(diǎn)互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)評(píng)：解析幾何解題思維方法比較簡單，但對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，平時(shí)練習(xí)要注意提高自己的運(yùn)算能力.7（上海市寶山區(qū)）已知拋物線C：上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1。（1）求拋物線C的方程；（2）若過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；（3）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來問

21、題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原來問題的一個(gè)“逆向”問題 例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，求該正四棱錐的體積”求出體積后，它的一個(gè)“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求側(cè)棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求所有側(cè)面面積之和的最小值” 現(xiàn)有正確命題：過點(diǎn)的直線交拋物線C：于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過焦點(diǎn)F。 試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。答案：解：（1）（2）設(shè)（t>0），則，F(xiàn)(1,0)。因?yàn)镸、F、N共線，則有，所以，解得，所以，因而，直線MN的方程是。（3）“逆向問題”一：已知拋物線C：

22、的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)。證明：設(shè)過F的直線為y=k(x)，則由得，所以，=，所以直線RQ必過焦點(diǎn)A。過點(diǎn)的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，F(xiàn)P與拋物線交于另一點(diǎn)R，則RQ垂直于x軸。已知拋物線C：，過點(diǎn)B(m,0 )（m>0）的直線交拋物線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)A(-m,0)?！澳嫦騿栴}”二：已知橢圓C：的焦點(diǎn)為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過F2的直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)?！澳嫦騿栴}”三：已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為F1(-c,0)，

23、F2(c,0)，過F2的直線交雙曲線C于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，則直線RQ必過定點(diǎn)?？键c(diǎn)五 圓錐曲線在高考中的應(yīng)用（1）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。8（2004年全國高考天津理科22題）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（C，0）（C0）的準(zhǔn)線L與X軸相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。（1）求橢圓的方程及離心率； （2）若 OP·O Q = 0，求直線PQ的方程；（3）設(shè) A P = AQ（1），過點(diǎn)P且平行與準(zhǔn)線L的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明 FM = - FQ 。分析：（1）要求橢圓的方程及離心率，很重要的一點(diǎn)就

24、是要熟悉這種二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的中心、長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、焦距等有關(guān)概念及幾何性質(zhì)。解：（1）根據(jù)已知條件“橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（C，0）（C0）的準(zhǔn)線L與X軸相交于點(diǎn)A?！?可設(shè)橢圓的方程為 （a），從而有；又因可以有，聯(lián)系以上這兩個(gè)關(guān)于a、c的方程組并解得a=，c=2，所以橢圓的方程為，離心率e=。（2）根據(jù)已知條件 “O P·O Q = 0” ，我們可設(shè) P ，Q，把兩個(gè)向量的數(shù)量積的形式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示的形式，再根據(jù)直線 PQ 經(jīng)過 A（3，0），只須求出直線PQ的斜率K即可求出直線PQ的方程。而P、Q兩點(diǎn)又在橢圓上，因此，我們

25、容易想到通過直線y=k（x-3）與橢圓，聯(lián)系方程組消去一個(gè)未知數(shù)y（或x）得，并利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合及不難求出k=，這里應(yīng)特別注意K的值要保證0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)。（3）要證F M =- F Q ，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^式中兩個(gè)向量FM、FQ的坐標(biāo)之間關(guān)系來謀求證題的方法。為此我們可根據(jù)題意“過點(diǎn)P且平行為準(zhǔn)線L的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M”，求得點(diǎn)M坐標(biāo)為。又因AP=AQ，易知FM、FQ的兩個(gè)縱坐標(biāo)已經(jīng)滿足，所以現(xiàn)在要考慮的問題是如何證明FM、FQ的兩個(gè)橫坐標(biāo)應(yīng)該滿足，事實(shí)上，注意到1，解得因F（2，0），M，故FM=。 =又FQ=，因此FM=-FQ。點(diǎn)評(píng)：本題

26、主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標(biāo)表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。把兩個(gè)向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運(yùn)算的方法來解決有關(guān)向量的問題是一種常用的解題手段。9. （江蘇卷）已知，記點(diǎn)P的軌跡為E. （1）求軌跡E的方程； （2）若直線l過點(diǎn)F2且與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn). （i）無論直線l繞點(diǎn)F2怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在x軸上總存在定點(diǎn)，使恒成立，求實(shí)數(shù)m的值. （ii）過P、Q作直線的垂線PA、OB，垂足分別為A、B，記，求的取值范圍.答案：解：（1）由知

27、，點(diǎn)P的軌跡E是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線右支，由，故軌跡E的方程為 （2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消y得， 解得k2 >3 （i）， 故得對(duì)任意的恒成立，當(dāng)m =1時(shí)，MPMQ. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由知結(jié)論也成立， 綜上，當(dāng)m =1時(shí)，MPMQ. （ii）是雙曲線的右準(zhǔn)線， 由雙曲線定義得：， 方法一：， 注意到直線的斜率不存在時(shí)， 綜上， 方法二：設(shè)直線PQ的傾斜角為，由于直線PQ與雙曲線右支有二個(gè)交點(diǎn)，過Q作QCPA，垂足為C，則 由 故：（2）。圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)聯(lián)系。10（2004年全國高考福建理科22題）如圖，P是拋物線

28、C：上一點(diǎn)，直線L過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q。（）若直線L與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（）若直線L不過原點(diǎn)且與X軸交于S，與Y軸交于點(diǎn)T，試求分析：（1）要求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程，我們常把M的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段PQ的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。而P、Q兩點(diǎn)又是直線L與拋物線的交點(diǎn)，容易想到直線L的方程與拋物線C的方程相聯(lián)立消去y（或x），轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問題。另外，求過拋物線P的切線的斜率問題，我們自然會(huì)想到求出數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：（1）事實(shí)上，這樣過P的斜率為，由于直線L與過點(diǎn)P的切線垂直，因此直線L的斜率為（0），所以可設(shè)直線L的方程為，結(jié)合，消去y并化簡得

29、。若設(shè)Q，M，因M為PQ的中點(diǎn)，故有消去得M的軌跡方程為。即M的軌跡方程為。（2）根據(jù)式子的特點(diǎn)，我們很自然想到平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)間的距離公式。于是可先求S、T兩點(diǎn)的坐標(biāo)，易知：，從而有=又因·2、可取一切不相等的正數(shù)。的取值范圍是（2，）。點(diǎn)評(píng)：這里的解法有別于2004年福建省高考數(shù)學(xué)評(píng)標(biāo)準(zhǔn)所給的答案。我們看到，其解法的優(yōu)點(diǎn)在于不用添加任何輔助線的方法就可直接給出作答，這更貼近考生的學(xué)習(xí)實(shí)際。三、方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測（分析2008年高考命題趨勢(shì)，對(duì)命題難度，內(nèi)容，熱點(diǎn)等作總結(jié)）（一）方法總結(jié)1求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，p等.要充分認(rèn)識(shí)橢圓中參數(shù)a,b

30、,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān). 2涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問題，常常要注意運(yùn)用第一定義，而涉及曲線上的點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對(duì)于后者，需要注意的是右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線對(duì)應(yīng)，不能弄錯(cuò).3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達(dá)定理來求解或證明.4對(duì)于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5與圓錐曲線有關(guān)的對(duì)稱問題，利用中心對(duì)稱以及軸對(duì)稱的概念和性質(zhì)來求解或證明.

31、（二）2008年高考預(yù)測1求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法等）。2掌握綜合運(yùn)用直線的基礎(chǔ)知識(shí)和圓的性質(zhì)，解答直線與圓的位置關(guān)系的思想方法。3解析幾何是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點(diǎn)。綜觀近幾年的全國和部分省高考數(shù)學(xué)試題，本專題列出高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)；（4）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。四、強(qiáng)化訓(xùn)練（要求選擇填空解答兼有并

32、留有解答空間，便于用戶直接應(yīng)用）（一） 選擇題 1若橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，橢圓上有一點(diǎn)，使最小，則點(diǎn)是（）（A） （B） （C） （D） 2過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，若則的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為（）（A） 5 （B） 4 （C） 3 （D） 2 3已知橢圓，雙曲線和拋物線的離心率分別為，則（）（A） （B） （C） （D） 4拋物線上的一點(diǎn)為且點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離，則點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離是（）（A）16 （B）12 （C）8 （D）4 5直線，點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）（A） （B） （C） （D） 6設(shè)連結(jié)雙曲線與的四個(gè)頂點(diǎn)所成的四邊形面積為，連結(jié)

33、起四個(gè)焦點(diǎn)所成的四邊形的面積為，則的最大值是（）（A） （B）（C） （D） 7. 設(shè)F（c,0）為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)與點(diǎn)F的距離的最大值為M，最小值為m，則橢圓上與F點(diǎn)的距離是的點(diǎn)是（）A.（）B.（0，）C.（）D.以上都不對(duì)8 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為( )9 斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A 2BCD10 拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )Ax3=x1+

34、x2Bx1x2=x1x3+x2x3Cx1+x2+x3=0Dx1x2+x2x3+x3x1=011 已知A、B、C三點(diǎn)在曲線y=上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1m4)，當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，m等于( )A 3 B CD12 設(shè)u,vR，且|u|,v0,則(uv)2+()2的最小值為( )A 4B2 C 8D 2112答案1【答案】A解析： 設(shè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線距離為，則。于是，所以過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，該垂線與橢圓的焦點(diǎn)就是，此時(shí)。2【答案】D解析： 分別過點(diǎn)向準(zhǔn)線引垂線，其長度分別為，是的中點(diǎn)，。3【答案】C解析： 橢圓，雙曲線，拋物線。4【答案】C解析： 拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，得，由的意義知選。5【

35、答案】D解析： 解得對(duì)稱點(diǎn)，代入雙曲線方程的，雙曲線為。半焦距。6【答案】B解析： 設(shè)，7B提示：Ma+c，m=ac，a，應(yīng)選B.8C提示 由題意，可設(shè)橢圓方程為 =1,且a2=50+b2，即方程為=1 將直線3xy2=0代入，整理成關(guān)于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=759 C提示 弦長|AB|= 答案 C10 D提示 解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗(yàn)證即可 答案 B11 B提示 由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直線AC所在方程為x3y+2=0,點(diǎn)B到該直線的距離為d=m(1,4),當(dāng)時(shí)，SABC有最大值，此時(shí)m

36、= 答案 B12 C提示 考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點(diǎn)與雙曲線xy=9上的點(diǎn)的距離的最小值 選C（二） 填空題13 直線l的方程為y=x+3,在l上任取一點(diǎn)P，若過點(diǎn)P且以雙曲線12x24y2=3的焦點(diǎn)作橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長軸的橢圓方程為_14 在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_15 A是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使OPA=,則橢圓離心率的范圍是_16 已知拋物線y=x21上一定點(diǎn)B(1，0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BPPQ，則Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_13-16答案13 =1提

37、示 所求橢圓的焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|欲使2a最小，只需在直線l上找一點(diǎn)P 使|PF1|+|PF2|最小，利用對(duì)稱性可解14 8xy15=0提示 設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2)即kAB=8 故所求直線方程為y=8x1515e1提示 設(shè)橢圓方程為=1(ab0)，以O(shè)A為直徑的圓： x2ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2ax+b2=0 即e2x2ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達(dá)定理x2

38、=a,0x2a，即0aae116 (,31,+)提示 設(shè)P(t,t21)，Q(s,s21)，BPPQ，=1，即t2+(s1)ts+1=0，tR,必須有=(s1)2+4(s1)0 即s2+2s30，解得s3或s1（三） 解答題1. （江蘇省揚(yáng)州中學(xué)）點(diǎn)P在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，已知，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（）求雙曲線的離心率；（）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于兩點(diǎn)，且，求雙曲線E的方程；（）若過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（為非零常數(shù)），問在軸上是否存在定點(diǎn)G，使？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解析：答案：解：（I）（II）漸近

39、線為設(shè)，代入化簡（III）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)使，設(shè)聯(lián)立與的方程得故由（3）即為，將（4）代入（1）（2）有代入（5）得故在軸上存在定點(diǎn)使。 點(diǎn)評(píng)：2. （重慶一中）已知AB是橢圓的一條弦,M(2,1)是AB的中點(diǎn),以M為焦點(diǎn),以橢圓的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線與直線AB交于N. (1)設(shè)雙曲線離心率為,試將表示為橢圓的半長軸長的函數(shù); (2)當(dāng)橢圓的率心率是雙曲線離心率的倒數(shù)時(shí),求橢圓的方程; (3)求出橢圓長軸長的取值范圍.解析：答案：(1)設(shè) 則相減得 則 即故由雙曲線定義知離心率 (2)由上知橢圓離心率為.故 則或當(dāng)時(shí),橢圓方程為.當(dāng)時(shí),橢圓方程為.而此時(shí)在橢圓外. 故舍去.則所求橢圓方程

40、為. (3)由題設(shè)知.橢圓得有故又由(2)知 即故的范圍是.則長軸的范圍是. 點(diǎn)評(píng)：3. (深圳市) 已知橢圓的中心為原點(diǎn)，點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，（）求橢圓的方程；（）是否存在直線，使得在橢圓的右準(zhǔn)線上可以找到一點(diǎn)，滿足為正三角形如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由解析：答案：解：（）設(shè)橢圓的方程為：，則當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，則，即由，消去，得或（舍去）當(dāng)時(shí)，因此，橢圓的方程為 （）設(shè)存在滿足條件的直線(1)當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由（）的解答可知，焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為，此時(shí)不滿足因此，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)不滿足條件 （2）當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)

41、，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為由，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則， 又設(shè)的中點(diǎn)為，則當(dāng)為正三角形時(shí)，直線的斜率為，當(dāng)為正三角形時(shí)，即，解得， 因此，滿足條件的直線存在，且直線的方程為或 點(diǎn)評(píng)：4. (東北四市長春、哈爾濱、沈陽、大連)已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)N，并且滿足，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足的兩點(diǎn)，其中 （1）求此橢圓的方程及直線AB的斜率的取值范圍； （2）設(shè)A、B兩點(diǎn)分別作此橢圓的切線，兩切線相交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在一條定直線上，并求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.答案：解：（1）由于，解得，從而所求橢圓的方程為三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0）.設(shè)直線AB的方程為，其中k為直線AB的斜率，依條件知k0.由消去x得， 即根據(jù)條件可知解得設(shè)，則根據(jù)韋達(dá)定理，得又由 從而消去令，則由于 上的減函數(shù)，從而， 即，而因此直線AB的斜率的取值范圍是（2）上半橢圓的方程為求導(dǎo)可得 所以兩條切線的斜率分別為解法一：切線PA的方程是又，從而切線PA的方程為 同理可得切線PB的方程為 由 可解得點(diǎn)