高考數(shù)學專題112二項式定理及其應用理

1、二項式定理及其應用【三年高考】1. 【2017課標1，理6】展開式中的系數(shù)為A15B20C30D35【答案】C【解析】因為，則展開式中含的項為，展開式中含的項為，故前系數(shù)為，選C.2. 【2017課標3，理4】的展開式中33的系數(shù)為ABC40D80【答案】C3【2017浙江，13】已知多項式32=，則=_，=_【答案】16，44【2017山東，理11】已知的展開式中含有項的系數(shù)是，則.【答案】【解析】試題分析：由二項式定理的通項公式，令得：，解得5【2016年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為_.（用數(shù)字作答）【答案】60.【解析】根據(jù)二項展開的通項公式可知，的系數(shù)為，故填：.6【2016高

2、考新課標1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】的展開式通項為(,1,2,5),令得,所以的系數(shù)是.7【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為_.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】展開式通項為，令，所以的故答案為 8【2016高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是80，則實數(shù)a=_.【答案】-2【解析】因為，所以由，因此9.【2015高考新課標1，理10】的展開式中，的系數(shù)為( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C10.【2015高考湖北，理3】已知的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（ ）A. B

3、C D【答案】D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.11.【2015高考新課標2，理15】的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則_【答案】【解析】由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為，其系數(shù)之和為，解得【2017考試大綱】二項式定理(1)能用計數(shù)原理證明二項式定理.(2)會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題,對二項式定理的考查,重點是二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查基本概念、基礎知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或

4、范圍等；難度不大，屬于中檔題和容易題，題型為選擇題或填空題【2018年高考復習建議與高考命題預測】由前三年的高考命題形式可以看出 , 二項式定理是高考數(shù)學相對獨立的內(nèi)容，二項式定理的知識在高考中經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習題遷移的改編題，難度不大，個別題有一定的難度,重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法.為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解.預測2018年高考仍以二項式的通項,二項式系數(shù)，展開式系數(shù)為主，可單獨考查本節(jié)知識，也可出現(xiàn)與其他章節(jié)知識結合的小綜合.如可能與定積分結合出題，

5、試題難度中等復習建議: 運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分. 對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；關于組合恒等式的證明，常采用“構造法”構造函數(shù)或構造同一問題的兩種算法；證明不等式時，應注意運用放縮法. 求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出. 有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解

6、決，但要注意分類清楚，不重不漏. 對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段. 近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項. 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來解決.【2018年高考考點定位】本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查基本概念、基礎知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等，題型既有選擇題也有填空題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這部分內(nèi)容的考查一種趨勢.【考

7、點】二項式定理【備考知識梳理】1. 二項式定理，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，其中的系數(shù) ()叫做二項式系數(shù)式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即展開式的第項；.2二項展開式形式上的特點：(1)項數(shù)為.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由逐項減1直到零；字母按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到.(4)二項式的系數(shù)從，一直到，.3. 二項式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，.(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)，當時，二項式系數(shù)是遞增的；由對稱性知：當時，二

8、項式系數(shù)是遞減的當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值當是奇數(shù)時，中間兩項 和相等，且同時取得最大值(3)各二項式系數(shù)的和：的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即，二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即，4.注意:（1）分清是第項，而不是第項.(2)在通項公式中，含有、這六個參數(shù)，只有、是獨立的，在未知、的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出、,然后代入通項公式求解.(3)求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，求出，再求所需的某項；有時則需先求,計算時要注意和的取值范圍以及 它們之間的大小關系.

9、(4) 在中，就是該項的二項式系數(shù)，它與，的值無關；而項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù)5二項式的應用:（1）求某些多項式系數(shù)的和；（2）證明一些簡單的組合恒等式；（3）證明整除性,求數(shù)的末位；數(shù)的整除性及求系數(shù)；簡單多項式的整除問題；（4）近似計算.當充分小時，我們常用下列公式估計近似值：；（5）證明不等式.【規(guī)律方法技巧】1.在應用通項公式時，要注意以下幾點：它表示二項展開式的任意項，只要與確定，該項就隨之確定；是展開式中的第項，而不是第項；公式中，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置； 對二項式展開式的通項公式要特別注意符號問題在二項式定理的應用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)

10、問題的經(jīng)典方法2.二項定理問題的處理方法和技巧:運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分前者只與和有關，恒為正，后者還與，有關，可正可負 對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；關于組合恒等式的證明，常采用“構造法”構造函數(shù)或構造同一問題的兩種算法；證明不等式時，應注意運用放縮法. 求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出. 有些

11、三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏. 對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段. 近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項. 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來解決.多項式乘法的進位規(guī)則:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.3. 排列組合在二項

12、展開式中的應用：展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定(1)次數(shù)的確定：從個相同的中各取一個(或)乘起來，可以構成展開式中的一項，展開式中項的形式是，其中.(2)項數(shù)的確定：滿足條件的共組即將展開共項，合并同類項后共項(3)系數(shù)的確定：展開式中含()項的系數(shù)為 (即個，個的排列數(shù))因此展開式中的通項是： (),這種方法比數(shù)學歸納法推導二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等4. 求幾個二項式積的展開式中某項的系數(shù)或特定項時，一般要根據(jù)這幾個二項式的結構特征進行分類搭配，分類時一般以一個二項式逐項分類，分析其他二項式應滿足的條件，然后再求解結果 5. “賦值法”普遍適用

13、于恒等式，是一種重要的方法，對形如、 ()的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如 ()的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應引起注意例：若，則展開式中各項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為，令，可得6. 求展開式系數(shù)最大項：如求 ()的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為，且第項系數(shù)最大，應用從而解出k來，即得7. (1)利用二項式定理解決整除問題時，關鍵是進行合理地變形構造二項式，應注意：要證明

14、一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可(2)求余數(shù)問題時，應明確被除式與除式 ()，商式與余式的關系及余式的范圍(3)展開式中常數(shù)項、有理項的特征是通項中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)解決這類問題時，先要合并通項中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進行分析(4)有關求二項展開式中的項、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項公式，運用方程思想進行求值，通過解不等式(組)求取值范圍【考點針對訓練】1. 【湖南省長沙市長郡中學2018屆高三實驗班選拔考試】若二項式展開式的各項系數(shù)之和為 ，則含項的系數(shù)為A. 560 B. C. 280 D. 【答案】A

15、【解析】因為二項式展開式的各項系數(shù)之和為，所以，的通項為，令項的系數(shù)為，故選A.2. 【福建泉州2017屆質(zhì)量檢查】已知，則A. B. C. D. 【答案】A【應試技巧點撥】1.二項定理問題的處理方法和技巧:運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分前者只與和有關，恒為正，后者還與，有關，可正可負 對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；關于組合恒等式的證明，常采用“構造法

16、”構造函數(shù)或構造同一問題的兩種算法；證明不等式時，應注意運用放縮法. 求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出. 有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏. 對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段. 近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中若干項. 用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關知識來解決.多項式乘法的進位規(guī)則:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)

17、的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.2. 排列組合在二項展開式中的應用：展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定(1)次數(shù)的確定：從個相同的中各取一個(或)乘起來，可以構成展開式中的一項，展開式中項的形式是，其中.(2)項數(shù)的確定：滿足條件的共組即將展開共項，合并同類項后共項(3)系數(shù)的確定：展開式中含()項的系數(shù)為 (即個，個的排列數(shù))因此展開式中的通項是： ()這種方法比數(shù)學歸納法推導二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等3. 求幾個二項式積的展開式中某項的系數(shù)

18、或特定項時，一般要根據(jù)這幾個二項式的結構特征進行分類搭配，分類時一般以一個二項式逐項分類，分析其他二項式應滿足的條件，然后再求解結果 4. 求展開式系數(shù)最大項：如求 ()的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為，且第項系數(shù)最大，應用從而解出k來，即得5.二項式應用問題(1)利用二項式定理解決整除問題時，關鍵是進行合理地變形構造二項式，應注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可(2)求余數(shù)問題時，應明確被除式與除式 ()，商式與余式的關系及余式的范圍(3)展開式中常數(shù)項、有理項的特征是通項中未知數(shù)的指數(shù)分別

19、為零和整數(shù)解決這類問題時，先要合并通項中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進行分析(4)有關求二項展開式中的項、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項公式，運用方程思想進行求值，通過解不等式(組)求取值范圍6.二項式定理是一個恒等式，使用時有兩種思路：一是利用恒等定理(兩個多項式恒等，則對應項系數(shù)分別相等)；二是賦值二項式定理結合“恒等”與“賦值”兩條思路可以使很多求二項展開式的系數(shù)的問題迎刃而解賦值法是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的最有效的經(jīng)典方法，一般對任意，某式子恒成立，則對中的特殊值，該式子一定成立，特殊值如何選取視具體情況決定，靈活性較強，一般取居多.若則設.有：1.【河南省新鄉(xiāng)市2017

20、屆高三第三次模擬】在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項為（ ）A. 第二項 B. 第三項 C. 第四項 D. 第五項【答案】B【解析】解：由二項式展開式的通項公式有：，系數(shù)為有理數(shù)的項時， ，即系數(shù)為有理數(shù)的項為第三項.本題選擇B選項.2. 【河北省衡水中學2017屆高三二摸】已知，則二項式的展開式中的常數(shù)項為（ ）A. B. C. D. 【答案】B 3. 【河北省唐山市2017屆高三三模】若，則（ ）A. 1 B. 513 C. 512 D. 511【答案】D【解析】令，得,令,得4. 【福建省廈門2017屆高三高考考前模擬】的展開式中的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，則的值為（ ）A. -3 B.

21、3 C. -5 D. 5【答案】A【解析】的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為 ，選A.5. 【河北省2017屆衡水中學押題卷】二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，且展開式中的第3項的系數(shù)是第4項的系數(shù)的3倍，則的值為（ ）A. 4 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B【解析】二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則 ，二項式 展開式的通項公式為： ，由題意有： ，整理可得： .本題選擇D選項.6. 【廣西桂林市2017屆高三適應性考試】設，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C7. 【山西省臨汾2017屆高三全真模擬】在的展開式中，的系數(shù)是A. 220 B. 165 C. 66

22、D. 55【答案】A【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式，故僅需求出分子中含的系數(shù)即可，在中，含項的系數(shù)為,選A.8. 【江西省南昌市2017屆高三第三次模擬】已知展開式中含項的系數(shù)為，則正實數(shù)_.【答案】【解析】展開式的通項公式的系數(shù)為.9.【江西省新余市2017屆高三全真模擬】設，則_.【答案】210. 【寧夏石嘴山市2017屆高三四?！恳阎恼归_式中各項系數(shù)的和為32，則展開式中的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）【答案】120【解析】由題意，(2x2+x-y)n的展開式中各項系數(shù)的和為32，即2n=32，n=5，那么(2x2+x-y)5=(x2+x)-y5，通項公式，展開式中含有x5y2，可知r=2那么(

23、2x2+x)3中展開必然有x5，由通項公式，可得，含有x5的項：則t=1，展開式中x5y2的系數(shù)為.11. 【2016年山西四校高三第四次聯(lián)考】如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（ ）A.7 B.7 C.21 D.21【答案】C【解析】令得展開式的各項系數(shù)和為，所以，解得，所以展開式的通項為，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，故選C.12. 【2016屆福建省泉州市高三5月質(zhì)檢】已知,若,則等于（ ）A B C D【答案】C【解析】令,得,由于,因此,所以，故應選C.13. 【2016屆湖北省級示范高中聯(lián)盟高三模擬】已知變量滿足，若目標函數(shù)取到最大值，則的展開式中的系數(shù)為（ ）A-144 B-120 C-80 D-60【答案】B【解析】因為（當且僅當時取等號）,所以.在二項式中,不妨設,則,記,令得,則的系數(shù)為,應選B.14. 【2016年安徽安慶高三第一次?？肌繉⒄归_后,常數(shù)項是【答案】 【解析】展開后的通項是,當時為常數(shù).于是. 若,則；若,則.故常數(shù)項是或：展開后的通項是.令,得. 所以常數(shù)項是.15.【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知，且，則在的展開式中，有理項共有_項【答案】5