建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟

1、16.3 建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟、特點(diǎn)及分類學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟;2. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的逼真性、可行性、漸進(jìn)性、強(qiáng)健性、可轉(zhuǎn)移性、非預(yù)制性、條理 性、技藝性和局限性等特點(diǎn);3. 能表述數(shù)學(xué)建模的分類;4. 會采用靈活的表述方法建立數(shù)學(xué)模型;5. 培養(yǎng)建模的想象力和洞察力。一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟般說來建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機(jī)理分析方法,一類是測試分 析方法.機(jī)理分析是根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識、分析其因果關(guān)系,找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律 , 建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義 . 16.2節(jié)的示例都屬于機(jī)理分析方法。 測試分折將研究 對象視為

2、一個 “黑箱”系統(tǒng),內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求,可以測量系統(tǒng)的輸人輸出數(shù)據(jù)、并以此為 基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法,按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個與數(shù)據(jù)擬合得最好的模 型。這種方法稱為系統(tǒng)辨識 (System Identification.將這兩種方法結(jié)合起來也是常用的建模 方法。即用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu),用系統(tǒng)辨識確定模型的參數(shù).可以看出,用上面的哪一類方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的決 定的. 如果掌握了機(jī)理方面的一定知識, 模型也要求具有反映內(nèi)部特性的物理意義。 那么應(yīng)該以 機(jī)理分析方法為主.當(dāng)然 , 若需要模型參數(shù)的具體數(shù)值,還可以用系統(tǒng)辨識或其他統(tǒng)計(jì)方法得 到.如果

3、對象的內(nèi)部機(jī)理基本上沒掌握,模型也不用于分析內(nèi)部特性 , 譬如僅用來做輸出預(yù)報(bào), 則可以系統(tǒng)辯識方法為主. 系統(tǒng)辨識是一門專門學(xué)科, 需要一定的控制理論和隨機(jī)過程方面的知 識.以下所謂建模方法只指機(jī)理分析。圖 16-5 建模步驟示意圖模型準(zhǔn)備 首先要了解問題的實(shí)際背景, 明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、 數(shù)據(jù)等,盡量弄清對象的特征 , 由此初步確定用哪一類模型,總之是做好建模的準(zhǔn)備工作.情況 明才能方法對, 這一步一定不能忽視, 碰到問題要虛心向從事實(shí)際工作的同志請教, 盡量掌握第 一手資料 .和判斷力, 善于辨別問題的主次,果斷地抓住主要因素,舍棄次要因素,盡量將問題線性化、均

4、勻化. 經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用. 寫出假設(shè)時(shí), 語言要精確, 就象做習(xí)題時(shí)寫出已知條件那樣. 模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系, 利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具, 構(gòu)造各個量 (常量和變量 之間的等式 (或不等式 關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 這里除需要一些相關(guān)學(xué)科 的專門知識外,還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識,以開拓思路 . 當(dāng)然不能要求對數(shù)學(xué)學(xué) 科門門精通 , 而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決.相似類比法,即根據(jù) 不同對象的某些相似性, 借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型, 也是構(gòu)造模型的一種方法. 建模時(shí)還應(yīng)遵循 的一個原則是, 盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具, 因?yàn)槟憬?/p>

5、的模型總是希望能有更多的人了解和使用 , 而不是只供少數(shù)專家欣賞 .模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近 代的數(shù)學(xué)方法,特別是計(jì)算機(jī)技術(shù).模型分析 對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析,有時(shí)要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系 或穩(wěn)定狀況, 有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào), 有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控 制,不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等.模型檢驗(yàn) 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題,并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較,檢 驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性. 這一步對于建模的成敗是非常重要的, 要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度來對待. 當(dāng) 然

6、, 有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了. 模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部 分不符合實(shí)際, 問題通常出在模型假設(shè)上,應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè),重新建模.有些模型要經(jīng)過幾 次反復(fù),不斷完善,直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿意.模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的,這方面的內(nèi)容不是本書討論 的范圍。應(yīng)當(dāng)指出,并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟,有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分 明.建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班,本書的建模實(shí)例就采取了靈活的表述方式.二、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)我們已經(jīng)看到建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的重要手段。數(shù)學(xué)模型有許多優(yōu)點(diǎn),也有 弱點(diǎn)。 建模需要相當(dāng)豐富的知識、

7、 經(jīng)驗(yàn)和各方面的能力,同時(shí)應(yīng)注意掌握分寸.下面歸納出數(shù)學(xué) 模型的若干特點(diǎn),以期在學(xué)習(xí)過程中逐步領(lǐng)會.模型的逼真性和可行性 一般說來總是希望模型盡可能逼近研究對象, 但是一個非常逼真 的模型在數(shù)學(xué)上常常是難于處理的, 因而不容易達(dá)到通過建模對現(xiàn)實(shí)對象進(jìn)行分析、 預(yù)報(bào)、 決策 或者控制的目的,即實(shí)用上不可行.另一方面,越逼真的模型常常越復(fù)雜,即使數(shù)學(xué)上能處理, 這樣的模型應(yīng)用時(shí)所需要的“費(fèi)用”也相當(dāng)高,而高“費(fèi)用”不一定與復(fù)雜模型取得的“效益” 相匹配.所以建模時(shí)往往需要在模型的逼真性與可行性, “費(fèi)用”與“效益”之間做出折衷和抉 擇.模型的漸進(jìn)性 稍微復(fù)雜一些的實(shí)際問題的建模通常不可能一次成功,

8、要經(jīng)過上一節(jié)描述 的建模過程的反復(fù)迭代, 包括由簡到繁, 也包括刪繁就簡,以獲得越來越滿意的模型.在科學(xué)發(fā) 展過程中隨著人們認(rèn)識和實(shí)踐能力的提高, 各門學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型也存在著一個不斷完善或者推 陳出新的過程.從 19世紀(jì)力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等許多學(xué)科由牛頓力學(xué)的模型主宰,到 20世紀(jì)愛因 斯坦相對論模型的建立,是模型漸進(jìn)性的明顯例證.模型的強(qiáng)健性 模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)常常是由對象的信息如觀測數(shù)據(jù)確定的,而觀測數(shù)據(jù)是 允許有誤差的. 一個好的模型應(yīng)該具有下述意義的強(qiáng)健性:當(dāng)觀測數(shù)據(jù) (或其他信息 有微小改變 時(shí),模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化,并且一般也應(yīng)導(dǎo)致模型求解的結(jié)果有微小變化.模型的可轉(zhuǎn)移性 模型

9、是現(xiàn)實(shí)對象抽象化、 理想化的產(chǎn)物, 它不為對象的所屬領(lǐng)域所獨(dú)有, 可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域. 在生態(tài)、 經(jīng)濟(jì)、社會等領(lǐng)域內(nèi)建模就常常借用物理領(lǐng)域中的模型.模型 的這種性質(zhì)顯示了它的應(yīng)用的極端廣泛性.模型的非預(yù)制性 雖然已經(jīng)發(fā)展了許多應(yīng)用廣泛的模型,但是實(shí)際問題是各種各樣、變化 萬千的, 不可能要求把各種模型做成預(yù)制品供你在建模時(shí)使用。 模型的這種非預(yù)制性使得建模本 身常常是事先沒有答案的問題 (Open end problem.在建立新的模型的過程中甚至?xí)殡S著新 的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生.模型的條理性 從建模的角度考慮問題可以促使人們對現(xiàn)實(shí)對象的分析更全面、更深入、模型的局限性 這里有幾方面的

10、含義.第一,由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論雖然具有通用性和精 確性,但是因?yàn)槟Ｐ褪乾F(xiàn)實(shí)對象簡化、理想化的產(chǎn)物,所以一旦將模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問題, 就回到了現(xiàn)實(shí)世界, 那些被忽視、 簡化的因素必須考慮, 于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對的 和近似的. 第二, 由于人們認(rèn)識能力和科學(xué)技術(shù)包括數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制, 還有不少實(shí)際問 題很難得到有著實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型. 如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、 影響因素眾多、 測量手段不夠完善、 技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過程, 像生鐵冶煉過程, 需要開發(fā)專家系統(tǒng), 與建立數(shù)學(xué)模型相結(jié)合才能獲得 較滿意的應(yīng)用效果. 專家系統(tǒng)是一種計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng), 它總結(jié)專家的知識和經(jīng)驗(yàn), 模擬人類的邏

11、輯思維過程, 建立若干規(guī)則和推理途徑, 主要是定性地分析各種實(shí)際現(xiàn)象并做出判斷. 專家系統(tǒng) 可以看成計(jì)算機(jī)模擬的新發(fā)展. 第三, 還有些領(lǐng)域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量 規(guī)律的階段, 如中醫(yī)診斷過程, 目前所謂計(jì)算機(jī)輔助診斷也是屬于總結(jié)著名中醫(yī)的豐富臨床經(jīng)驗(yàn) 的專家系統(tǒng).建模過程是一種創(chuàng)造性思維過程,除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、邏輯思維范 疇的能力之外, 直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。 當(dāng)由于各種限制利用已有知識難以對研 究對象做出有效的推理和判斷時(shí),憑借相似、類比、猜測、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、 不嚴(yán)密的,帶啟發(fā)性的直覺和靈感,去“戰(zhàn)略性”地認(rèn)識對象,是人

12、類創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)之一, 也是人腦比按程序邏輯工作的計(jì)算機(jī)、 機(jī)器人的高明之處. 歷史上不乏在科學(xué)家的直覺和靈感的 火花中誕生的假說、 論證和定律. 當(dāng)然,直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的,它要求人們具有豐富的背 景知識, 對問題進(jìn)行反復(fù)思考和艱苦探索, 對各種思維方法運(yùn)用嫻熟.相互討論和思想交鋒,特 別是不同專業(yè)的成員之間的探討, 是激發(fā)直覺和靈感的重要因素. 所以由各種專門人才組成的所 謂團(tuán)隊(duì)工作方式 (Team work越來越受到重視.前面說過, 建模可以看成一門藝術(shù). 藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準(zhǔn)則或方法的. 一 名出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指教, 更需要親身的實(shí)踐. 類似地,

13、掌握建模這門藝術(shù) 培養(yǎng)想象力和洞察力, 一要大量閱讀、 思考別人做過的模型,二要親自動手,認(rèn)真做幾個實(shí)際題 目.三、數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,下面介紹常用的幾種.1. 按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域 (或所屬學(xué)科 分 . 如人口模型、 交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、 城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、 水資源模型、 再生資源利用模型、污染模型等.范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué) 科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會學(xué)等.2. 按照建立模型的數(shù)學(xué)方法 (或所屬數(shù)學(xué)分支 分 .如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方 程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等.按第一種方法分類的數(shù)學(xué)模型教科書中,著重于

14、某一專門領(lǐng)域中用不同方法建立模型,而 按第二種方法分類的書里, 是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用. 在 本書中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù)學(xué)知識在各個不同領(lǐng)域中建模.3. 按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法:確定性模型和隨機(jī)性模型 取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響. 近年來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展, 又 有所謂突變性模型和模糊性模型.靜態(tài)模型和動態(tài)模型 取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化.線性模型和非線性模型 取決于模型的基本關(guān)系,如微分方程是否是線性的.離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量 (主要是時(shí)間變量 取為離散還是連續(xù)的.雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問題是隨機(jī)性的、動態(tài)的、非線

15、性的,但是由于確定性、靜態(tài)、 線性模型容易處理, 并且往往可以作為初步的近似來解決問題, 所以建模時(shí)常先考慮確定性、 靜 態(tài)、 線性模型. 連續(xù)模型便于利用微積分方法求解,作理論分析,而離散模型便于在計(jì)算機(jī)上作 數(shù)值計(jì)算, 所以用哪種模型要看具體問題而定. 在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化, 或?qū)㈦x散變量視作連續(xù),也是常采用的方法.4. 按照建模目的分. 有描述模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型 等.5. 按照對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分 .有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型.這是把研究 對象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān), 要通過建模來揭示它的奧妙. 白箱主要包括用力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)

16、等一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題, 這方面的模型大多已經(jīng)基本確 定, 還需深入研究的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問題了.灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等領(lǐng) 域中機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象, 在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做. 至于黑 箱則主要指生命科學(xué)和社會科學(xué)等領(lǐng)域中一些機(jī)理 (數(shù)量關(guān)系方面 很不清楚的現(xiàn)象. 有些工程技 術(shù)問題雖然主要基于物理、 化學(xué)原理, 但由于因素眾多、 關(guān)系復(fù)雜和觀測困難等原因也常作為灰 箱或黑箱模型處理.當(dāng)然,白、灰、黑之間并沒有明顯的界限,而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,箱子 的“顏色”必然是逐漸由暗變亮的.習(xí)題 16.3為了培養(yǎng)想象力、洞

17、察力和判斷力,考察對象時(shí)除了從正面分析外還常常需要從側(cè)面或反 面思考.試盡可能迅速地回答下面的問題:1、某甲早 8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山,下午 5時(shí)到達(dá)山頂并留宿.次日早 8時(shí)沿 同一路徑下山, 下午 5時(shí)回到旅店. 某乙說, 甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn). 為 什么 ?2、 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽, 每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪, 直至比賽結(jié)束。問共需進(jìn)行多少場比賽 ?3、甲乙兩站之間有電車相通 , 每隔 10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車 , 但發(fā)車時(shí)刻不定相同, 甲乙之間有一中間站丙, 某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站、 并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車, 結(jié)果 發(fā)現(xiàn) 100天中約有 90天到達(dá)甲站 , 僅約 10天到達(dá)乙站.問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時(shí)刻 表是如何安排的 ?4、某人家住 T 市在他鄉(xiāng)工作,每天下班后乘火車于 6時(shí)抵達(dá) T 市車站