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2009年廣東高考數(shù)學(xué)理科試題第21題解法賞析 廣東省佛山市三水區(qū)三水中學(xué) 吳超 已知曲線（），從點(diǎn)向曲線引斜率為（）的切線，切點(diǎn)為 （1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式； （2）證明： 該題一些常見(jiàn)的解法本文略去，下面提出本人的一些觀點(diǎn) （1）解法一：由，得，知曲線是圓系，如圖，設(shè)圓心為，連，則，過(guò)作軸的垂線，垂足為，在中，根據(jù)射影定理，得，即，；，數(shù)列與的通項(xiàng)公式分別是， 解法二：由，得，知曲線是圓系，設(shè)圓心為，連，則，根據(jù)平面幾何知識(shí)，知點(diǎn)在以為直徑的圓上，該圓的方程為，即，解方程組，得，即， （2）先證明：解：利用構(gòu)造數(shù)列,利用均值不等式令，則，是單調(diào)遞減數(shù)列又，即，從而得下面證明：解法一：，設(shè)，即，設(shè)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，即 解法二：判斷，還可以采用如下方法：在單位圓中，根據(jù)三角函數(shù)線不難得到重要不等式：（），由，得，又，從而得，即 點(diǎn)評(píng)： 1圓和橢圓等圓錐曲線相比，有自己的“個(gè)性”，那就是有“平面幾何知識(shí)的支持”，（1）問(wèn)中解法一、解法二利用平面幾何知識(shí)，減少了運(yùn)算量 2針對(duì)不等式，利用基本不等式進(jìn)行根式的放縮是常見(jiàn)的證明不等式的方法從函數(shù)的觀點(diǎn)證明不等式也能收到比較理想的效果 3針對(duì)不等式，在研究函數(shù)（在高等數(shù)學(xué)中，它是一個(gè)很重要的函數(shù)）的單調(diào)性時(shí)，又進(jìn)一步研究函數(shù)的情況，如果沒(méi)有一定的意識(shí)和經(jīng)驗(yàn)積累，很難越過(guò)這個(gè)“坎” 4放縮法貫穿

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