初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何難題及答案-初中教育精選

1、1、已知：如圖，。是半圓的圓心,求證: PBC是正三角形.3、如圖,已知四邊形 ABCD、DD1的中點(diǎn).求證：四邊形（初二）AiB 1C1D1 都是正方形，A2、B2、C2、A2B2c2D2是正方形.（初二）D2 分另1J是 AA1、BB1、CC1、第3題圖第4題圖經(jīng)典難題（一）C、E 是圓上的兩點(diǎn)， CDXAB , EFXAB , EGXCO.第1題圖第2題圖2、已知:如圖， P是正方形 ABCD內(nèi)點(diǎn)，/ PAD=Z PDA = 150.4、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD=BC, M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延 長線交MN于E、F.求證：/ DEN =Z F.經(jīng)典難題（

2、二）1、已知： ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），。為外心，且 OMLBC于M.（1）求證：AH =2OM ;（2）若/ BAC =600,求證：AH=AO.（初二）A第1題圖B、C 及 D、2、設(shè)MN是圓。外一直線，過。作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于E,直線EB及CD分別交 MN于P、Q.求證：AP = AQ .（初二） 3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過 MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE ,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）第4題圖開心快樂每一天4、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側(cè)

3、作正方形 ACDE和正方形 CBFG ,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.（初二）經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC, AE = AC , AE與CD相交于F. 求證：CE = CF.（初二）2、如圖，四邊形 ABCD為正方形，DE/AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.求證：AE = AF.（初二） 3、設(shè)P是正方形 ABCD 一邊BC上的任一點(diǎn)，PFXAP, CF平分/ DCE.求證：PA=PF.（初二）4、第4題圖如圖,求證:PC切圓。于C, AC為圓的直徑，PEF為圓的割線,AE、AF與直線PO相交于B、D .AB = DC,

4、 BC=AD .（初三）經(jīng)典難題（四）1、已知: ABC是正三角形,P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4, PC=5.求：/ APB的度數(shù).（初二）第1題圖第2題圖2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/ PBA = /PDA.求證：/ PAB = / PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB - CD+AD - BC = AC - BD .（初三）4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE = CF.求證：/ DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，LAABC第1題圖2、P是邊長為

5、1的止方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，3、P為止方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PA = 形的邊長.二B. = PA + PB+PC,求證：J3wL<2.A DBC第2題圖求 PA+PB+PC的最小值.Aa, PB=2a, PC=3a,求止方八C第3題圖4、如圖， ABC 中，/ ABC = / ACB = 80°, D、E 分別是 AB、AC 上的點(diǎn), Z EBA = 200,求/ BED 的度數(shù).第4題圖/ DCA = 300,經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖， 。是半圓的圓心， C、E是圓上的兩點(diǎn)， CDXAB , EFXAB , EGXCO.求證：CD=GF。（初二）證一：連接OE

6、。 EGXCO , EF± AB , O、G、E、F四點(diǎn)共圓，且 OE為直徑。 .GF=OE sin/GOF。XAOCD 中，CD=OC sin/COD。 . / GOF+ / COD=180 ° ,OC= OE為。O半徑，.CD = GFo證二：連接OE ,過G作GH，AB于H。 EGXCO , EFXAB ,O、G、E、F四點(diǎn)共圓，且 OE為直徑。/ GEO= / HFG。又/ EGO= / FHG=Rt / ,.-.GEOA HFGo . . GF:OE=GH:OG 。又 GH / CD, GH:CD=OG:OC , 即 GH:OG=CD:OC，.二 GF:OE=CD

7、:OC ,而 OE=OC , .1. CD = GF。2、已知：如圖，P是正方形 ABCD內(nèi)點(diǎn)，ZPAD = Z PDA = 150.求證： PBC是正三角形.（初二）證明：3、如圖，已知四邊形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形，Az、B2、C2、D2分別是AAi、BB1、CC1、DDi的中點(diǎn).求證：四邊形 A2B2c2D2是正方形.（初二）4、已知：如圖，在四邊形 ABCD中，AD=BC, M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延 長線交MN于E、F.求證：/ DEN =Z F.經(jīng)典難題（二）1、已知： ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），。為外心，且 OMLBC于M.(1)求證：

8、AH =2OM ;(2)若/ BAC =600,求證：AH=AO.(初二)2、設(shè)MN是圓。外一直線，過。作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于 B、C及D、E,直線EB及CD分別交 MN于P、Q.求證：AP = AQ .（初二）3、如果上題把直線 MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過 MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE ,設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q.求證：AP=AQ.（初二）4、如圖，分別以 ABC的AC和BC為一邊，在4ABC的外側(cè)作正方形 ACDE和正方形 CBFG ,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于 AB的一半.（初二）1、如圖，四邊形 AB

9、CD為正方形,求證：CE = CF.（初二）經(jīng)典難題（三）DE / AC , AE = AC , AE 與 CD 相交于 F.2、如圖,求證:DE II AC ,且CE= CA ,直線EC交DA延長線于F.四邊形 ABCD為正方形, AE = AF.（初二）3、設(shè)P是正方形 ABCD 一邊BC上的任一點(diǎn)，PFXAP, CF平分/ DCE. 求證：PA=PF.（初二）4、如圖，PC切圓。于C, AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D. 求證：AB = DC, BC=AD.（初三）經(jīng)典難題（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)， PA=3, PB=4, P

10、C=5. 求：/ APB的度數(shù).（初二）2、設(shè)P是平行四邊形 ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且/ PBA = / PDA. 求證：/ PAB = /PCB.（初二）3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證： AB - CD+AD - BC = AC - BD .（初三）4、平行四邊形 ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P,且AE = CF.求證：/ DPA=/DPC.（初二）經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正 ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC,求證：、份WL<2.2、已知：P是邊長為1的正方形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求 PA+PB+PC的最小值.3、P為正方形 ABCD內(nèi)

11、的一點(diǎn)，并且 PA=a, PB=2a, PC=3a,求正方形的邊長.4、如圖， ABC 中，/ ABC = / ACB = 800, D、E 分別是 AB、AC 上的點(diǎn)，/ DCA = 300,Z EBA = 200,求/ BED 的度數(shù).經(jīng)典難題（一）1 .如下圖做 GHLAB,連接EO。由于 GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = / OEG,即GHFs OGE,可得 型=9° =啦,又co=e。，所以CD=GF得證。GF GH CD2 .如下圖做 DGC使與 ADP全等，可得 PDG為等邊,從而可得 DGCA APD0CGP彳導(dǎo)出 PC=AD=DC,和/ DCG=/PCG=150

12、所以/ DCP=300 ,從而得出 PBC是正三角形3 .如下圖連接BG和AB分別找其中點(diǎn)F,E.連接GF與AE并延長相交于Q點(diǎn), 連接EB并延長交GQ于H點(diǎn)，連接FB并延長交4Q于G點(diǎn)， 由 A2E=/AB=/BCi= FB2 , EB=RaB= BC=FC ,又 / GFQ+/ Q=900 和/GEB2+/Q=90°，所以/ GER=/GFQ 又/ B2FC2=/A2EB2 ,可得 B2FC2AA2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=900 和/ GFQ=/ EB2A2 ,從而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形

13、 A2B2C2D2是正方形。4.如下圖連接AC并取其中點(diǎn) Q,連接Q陰口 QM所以可得ZQMF= / F, / QNM= Z DEN和/ QMN= ZQNM ,從而得出/ DEN = Z F。經(jīng)典難題（二）1.(1)延長 AD到 F 連 BF,彳O OG.AF,又/ F=/ACB= / BHD ,可得BH=BF,從而可得HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)連接 OB OC既得/BOC=1200,從而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得證。3 .作 OH CD OG_ BE ,連接 OP, OA, OF, AF

14、, OG , AG, OQ。,ADAC CD 2FDFD由于=AB AEBE 2BGBG由此可得 ADFA ABG ,從而可得/ AFC= / AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ ,從而可得 AP=AQ 。4 .過E,C,F點(diǎn)分別作AB所在直線的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。-八 AI + BI AB從而可得 PQ= , 從而得證。22經(jīng)典難題（三）1 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 4ADE ,到 ABG ,連接CG

15、 由于 / ABG= / ADE=90 0+450=1350從而可得 B, G, D在一條直線上，可得 AGB ACGBo 推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC為等邊三角形。ZAGB=30 0,既得/ EAC=30°,從而可得/ A EC=750。又/ EFC= / DFA=45 0+300=750.可證：CE=CF。2 .連接BD作CHL DE,可得四邊形 CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=300,所以/ CAE= Z CEA= ZAED=15 0,又/ FAE=900+45°+15°=1500,從而可知道/ F=150,

16、從而得出AE=AF。AD3 .作FGL CD F已BE,可以得出GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。tan / BAP=tan / EPF=，可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABPPEF ,得到PA=PF ,得證。經(jīng)典難題（四）1 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn)MBP 600 ,連接PQ ,則 PBQ是正三角形?？傻肁PQC是直角三角形。所以/ APB=150 0。2 .作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE/ DC BE/ PC.可以得出/ ABP= / ADP= / AEP,可得：A

17、EBP共圓（一邊所對兩角相等）?？傻? BAP= / BEP= / BCP,得證。3 .在 BD取一點(diǎn) E,使/ BCE= / ACD ,既得 BECs ADC ,可得:BE= AD ,即 AD?BC=BE?ACBC AC又/ ACB= / DCE ,可得 ABC DEC ,既得AB DE=,即 AB ?CD=DE ?AC ,AC DC由 + 可得：AB?CD+AD ?BC=AC（BE+DE尸 AC - BD ,得證。4 .aD#AQ AE'A"CF'由 £=5 可得: AEkQ=AELpQ E=FC22可得DQ=DG ,可得/ DPA=/ DPC （角平分

18、線逆定理）。經(jīng)典難題（五）1. （1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 60°,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線上,即如下圖：可得最小 L=;（2）過P點(diǎn)作BC的平行線交AB,AC與點(diǎn)D, F。由于/ APD> / ATP= / ADP ,推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FOPC又 DF=AF由可得：最大 L< 2 ;由（1）和（2）既得:WLV2 。2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)BPC 600 ,可得 PBE為等邊三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一條直線

19、上,3.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABP 900 ,可得如下圖:4.在AB上找一點(diǎn)F,使/BCF=600 , 連接EF, DG,既得 BGC為等邊三角形， 可得/DCF=100 , / FCE=200，推出 ABEACF ,得至U BE=CF , FG=GE 。推出：4FGE為等邊三角形 ，可得/ AFE=80 0 , 既得：/ DFG=400又 BD=BC=BG 既得/ BGD=80 0 ,既得/ DGF=400 推得：DF=DG 得到： DFE0DGE , 從而推得：/ FED= / BED=30 0 。A經(jīng)典難題（一）1 .如下圖做 GHLAB,連接EO。由于 GOFE四點(diǎn)共圓，所以/ GFH = /

20、OEG,即GHFs OGE,可得里 MGOnCO,又 CO=EO,所以 CD=GF 得證。GF GH CD2 .如下圖做 DGC使與 ADP全等，可得 PDG為等邊,從而可得 DGCA APD0CGP彳導(dǎo)出 PC=AD=DC,和/ DCG=/PCG=150所以/ DCP=30° ,從而得出 PBC是正三角形3 .如下圖連接BC和AB分別找其中點(diǎn)F,E.連接GF與AE并延長相交于Q點(diǎn), 連接EB并延長交GQ于H點(diǎn)，連接FB并延長交A2Q于G點(diǎn)， 由 A2E=gAB=；BG= FB2 , EB=； AB= g BC=F C ,又 / GFQ+/ Q=900 和/GEB+/Q=900，所以

21、/ GEB=/GFQ 又/ B2FC2=/A2EB2 ,可得 B2FC2A A2EB2 ,所以 A2B2=B2c2 ,又/ GFQ+/ HB2F=900 和/ GFQ=/ EB2A2 ,從而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形 A2B2C2D2是正方形。4 .如下圖連接AC并取其中點(diǎn) Q,連接Q陰口 QM所以可得ZQMF= / F, / QNM= Z DEN 和/ QMN= ZQNM ,從而得出/ DEN = Z F。P經(jīng)典難題(二)1.(1)延長 AD到 F 連 BF,彳O OGAF,又/ F=/ACB= / BHD ,可得BH=BF,從而可得HD=DF

22、 ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM開心快樂每一天(2)連接 OB OC既得/BOC=120 0,從而可得/ BOM=60 ,所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得證。3 .作 OH CD OG_ BE,連接 OP, OA, OF, AF, OG, AG, OQ。,ADAC CD 2FDFD由于=,AB AEBE 2BGBG由此可得 ADFA ABG ,從而可得/ AFC= / AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ , / AOP= / AOQ ,從而可得 AP=AQ 。4 .過E,C,F點(diǎn)分別

23、作AB所在直線的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2由 EGAA AIC ,可得 EG=AI ,由 BFHA CBI ,可得 FH=BI。-八 AI + BI AB從而可得 PQ= , 從而得證。22經(jīng)典難題（三）1 .順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 4ADE ,到 ABG ,連接CG 由于 / ABG= / ADE=90 0+450=1350從而可得 B, G, D在一條直線上，可得 AGB ACGBo 推出AE=AG=AC=GC ,可得 AGC為等邊三角形。ZAGB=30 0,既得/ EAC=30°,從而可得/ A EC=750。又/ EFC= / DFA=45 0+300=750.可證

24、：CE=CF。2 .連接BD作CHL DE,可得四邊形 CGDH是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/ CEH=300,所以/ CAE= Z CEA= ZAED=15 0,又/ FAE=900+45°+15°=1500,從而可知道/ F=150,從而得出AE=AF。AD3 .作FGL CD F已BE,可以得出GFEC為正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。tan / BAP=tan / EPF=，可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出ABPPEF ,得到PA=PF ,得證。經(jīng)典難題（四）2.順時(shí)針旋轉(zhuǎn) MBP 600 ,連接PQ ,則 PBQ是正三角形?？傻肁PQC是直角三角形。所以/ APB=150 0。2 .作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E,使AE/ DC BE/ PC.可以得出/ ABP= / ADP= / AEP,可得：AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。可得/ BAP= / BEP= / BCP