小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題21種類型總結(jié)(附例題、解題思路)

1、小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題21種類型總結(jié)（附例題、解題思路）歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為 標準，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量三份數(shù)二1份數(shù)量1份數(shù)量X所占份數(shù)二所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）二所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準Z求出所要求的數(shù)量。例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.6三5二0.12 （元）（2 ）買16支鉛筆需要多少錢？ 0.12×16= 1.92 （元）列成綜合算式 0.6÷5×16

2、= 0.12×16= 1.92 （元）答：需要1.92元。例23臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天 耕地多少公頃？解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？ 90÷3÷3= 10 （公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 1056= 300 （公頃） 列成綜合算式90÷3÷3×5×6= IoX 30二300 （公頃）答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。例35輛汽車4次可以運送IOO噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運 送105噸鋼材，需要運幾次？解（1 ） 1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ Ioo÷5w4二5 （

3、噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 5x7二35 （噸）（3 ） 105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105m35= 3 （次）列成綜合算式105÷ （ 100÷5÷4×7 ）二3 （次）答：需要運3次。歸總問題【含義】解題時，常常先找出"總數(shù)量"，然后再根據(jù)其它條件算出所 求的問題，叫歸總問題。所謂"總數(shù)量"是指貨物的總價、幾 小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時行的 總路程等?！緮?shù)量關(guān)系】1份數(shù)量X份數(shù)二總量總量÷1份數(shù)量二份數(shù)總量三另一份數(shù)二另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量

4、，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后,每套衣 服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？ 解（1 ）這批布總共有多少米？ 3.2 X791二2531.2 （米）（2 ）現(xiàn)在可以做多少套？ 2 53L2m2.8 = 904 （套）列成綜合算式3.2×791÷2.8 = 904 （套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2小華每天讀24頁書,12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書,幾天可以讀完紅巖？解（1 ）紅巖這本書總共多少頁？ 24×12 = 288 （頁）（2 ）小明幾天可以讀完紅巖7 288÷36=

5、8 （天）列成綜合算式24×12÷36= 8 （天）答：小明8天可以讀完紅巖。例3食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克Z 30天慢慢消費完 這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計劃多吃10千克， 這批蔬菜可以吃多少天？解（1 ）這批蔬菜共有多少千克？ 50x30 = 1500 （千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷ （ 50+ 10 ）二25 （天） 列成綜合算式 50×30÷ （ 50 + 10 ） = 1500÷60 = 25 （天） 答：這批蔬菜可以吃25天。和差問題【含義】已知兩個數(shù)量的和與差Z求這兩個數(shù)量各是多

6、少,這類應(yīng)用題 叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)二（和+差）÷2小數(shù)=（和-差）÷2【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多 少人？解甲班人數(shù)=（98+ 6 ） ÷2= 52 （人）乙班人數(shù)=（98 - 6 ） ÷2= 46 （人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形 的面積。解長二（18+ 2 ）三2二 10 （厘米）寬二（18 - 2 ）三2二8 （厘米）長方形的面積=10x8二80 （平方厘米）答：長方形的面積

7、為80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30 千克Z甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（32-30 ） = 2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量=（22 + 2 ） m2二12 （千克）丙袋化肥重量=（22 - 2 ） m2 = 10 （千克）乙袋化肥重量=32 - 12 = 20 （千克）答：甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重 10千克。例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上， 結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解"從甲車取下

8、14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐"， 這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（142 + 3 ） Z 甲與乙的和是97 ,因此甲車筐數(shù)二（97+14x2+3） m2 =64 （筐）乙車筐數(shù)=97 - 64 = 33 （筐）答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。和倍問題【含義】已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之 幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】總和÷ （幾倍+ 1 ）=較小的數(shù)總和-較小的數(shù)二較大的數(shù)較小的數(shù)X幾倍二較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里有

9、杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求 杏樹、桃樹各多少棵？解（1 ）杏樹有多少棵？ 248÷ （ 3+ 1 ） = 62 （棵）（2 ）桃樹有多少棵？ 62x3= 186 （棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4 倍，求兩庫各存糧多少噸？解（1 ）西庫存糧數(shù)二 480÷ （ 1.4+ 1 ） = 200 （噸）（2 ）東庫存糧數(shù)二480 - 200= 280 （噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站 28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后

10、乙站車輛數(shù)是甲站的2 倍？解每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每 天從甲站開往乙站（28 - 24 ）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當 作1倍量，這時乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（52 + 32 ）就相當于（2+ 1 ）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（52 + 32 ） ÷ （ 2+ 1 ） = 28 （輛）所求天數(shù)為（52 - 28 ） ÷ （ 28 - 24 ）二 6 （天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4甲乙丙三數(shù)之和是170 Z乙比甲的2倍少4 ,丙比甲的3倍多6 ,求三數(shù)各是多少？解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為

11、1倍量。因為乙比甲的2倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的 2倍；又因為丙比甲的3倍多6 ,所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍； 這時（170+4-6 ）就相當于（1+2+3 ）倍。那么，甲數(shù)二（170+4-6） m（l+2+3）二 28乙數(shù)=28×2 - 4= 52丙數(shù)=28×3 + 6= 90答：甲數(shù)是28 ,乙數(shù)是52 ,丙數(shù)是90og差倍問題【含義】已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之 幾)，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】兩個數(shù)的差÷ (幾倍-1)二較小的數(shù)較小的數(shù)X幾倍二較大的數(shù)【解題思路和方法】簡單的題目直

12、接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍,而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解(1 )杏樹有多少棵？ 124÷ ( 3 - 1 )二62 (棵)(2 )桃樹有多少棵？ 62×3= 186 (棵)答：果園里杏樹是62棵,桃樹是186棵。例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解(1 )兒子年齡=27÷ ( 4 - 1 )二 9 (歲)(2 )爸爸年齡二9x4二36 (歲)答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多 12萬元，

13、又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈 利各是多少萬元？解如果把上月盈利作為1倍量，則（12）萬元就相當于上月 盈利的（2 - 1 ）倍，因此上月盈利=（30 - 12 ） ÷ （ 2 - 1 ） = 18 （萬元）本月盈利=18 + 30 = 48 （萬元）答：上月盈利是18萬元,本月盈利是48萬元。例4糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各 是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解由于每天運出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等 于原來的數(shù)量差（138 - 94 ）。把幾天后剩下的小麥看作1倍 量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138 -

14、 94 ）就 相當于（3 - 1 ）倍，因此剩下的小麥數(shù)量二（138 - 94 ） m （ 3 - 1 ） = 22 （噸）運出的小麥數(shù)量二94 - 22二72 （噸）運糧的天數(shù)二72÷9= 8 （天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。倍比問題【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題 時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用 題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷個數(shù)量二倍數(shù)另一個數(shù)量X倍數(shù)=另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù),再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1IOO千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克, 可以榨油多少？解(

15、1 ) 3700千克是Ioo千克的多少倍？ 3700÷100 = 37 (倍)(2)可以榨油多少千克？ 40x37 = 1480 (千克)列成綜合算式40× ( 3700÷100 ) = 1480 (千克)答：可以榨油1480千克。例2今年植樹節(jié)這天,某小學(xué)300名師生共植樹400棵,照這樣 計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解(1 ) 48000 名是 300 名的多少倍？ 48000÷300 = 160 (倍)(2 )共植樹多少棵？ 400×160= 64000 (棵)列成綜合算式 400× ( 48000÷300

16、 )二 64000 (棵)答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入IIlll 元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000 畝果園共收入多少元？解（1 ） 800畝是4畝的幾倍？ 800m4 = 200 （倍）（2 ） 800 畝收入多少元？ IIllIX200 二 2222200 （元）（3 ） 16000 畝是 800 畝的幾倍？ 16000÷800 = 20 （倍）（4 ） 16000 畝收入多少元? 2222200×20= 44444000 （元） 答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全

17、縣16000畝果園 共收入44444000元。相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類 應(yīng)用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關(guān)系】相遇時間=總路程÷ （甲速+乙速）總路程二（甲速+乙速）X相遇時間【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式Z復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相 對而行，從南京開出的船每小時行28千米,從上海開出的船 每小時行21千米，經(jīng)過幾小時兩船相遇？解392÷ （ 28+ 21 ） = 8 （小時）答：經(jīng)過8小時兩船相遇。小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑 5米

18、，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而 跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時間？解"第二次相遇"可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時間=（4002 ） ÷ （ 5 + 3 ） =IOO （秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米， 乙每小時行13千米,兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的 距離。解"兩人在距中點3千米處相遇"是正確理解本題題意的關(guān)鍵。 從題中可知甲騎得快,乙騎得慢，甲過了中點3千米,乙距中 點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（

19、3x2 ）千米，因此， 相遇時間=（3×2 ） ÷ （ 15 - 13 ）二3 （小時）兩地距離=（15+ 13 ） 3二84 （千米）答：兩地距離是84千米。追及問題【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同 時出發(fā),或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后 面的，行進速度要快些f在前面的Z行進速度較慢些，在一定 時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問 題?！緮?shù)量關(guān)系】追及時間=追及路程÷ （快速-慢速）追及路程=(快速-慢速)X追及時間【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1好馬每天走1

20、20千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天， 好馬幾天能追上劣馬？解(1)劣馬先走12天能走多少千米？ 75×12 = 900 (千米)(2 )好馬幾天追上劣馬？ 900÷ ( 120 - 75 ) = 20 (天) 列成綜合算式 75×12÷ ( 120 - 75 )二 900÷45 二 20 (天) 答：好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒， 他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r 跑了 500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時小

21、亮 跑了( 500 - 200 )米，要知小亮的速度，須知追及時間,即 小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑 500米用40× ( 500÷200 )秒，所以小亮的速度是(500 - 200 ) ÷ 40× ( 500÷200 )=300÷100= 3 (米)答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從 甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命 令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地 相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解敵人逃跑時間

22、與解放軍追擊時間的時差是（22 - 16 ）小時，這 段時間敵人逃跑的路程是1 Ox （ 22 - 6 ）千米，甲乙兩地 相距60千米。由此推知追及時間=10× （ 22 - 6 ） + 60 ÷ （ 30 - 10 ）=220÷20= 11 （小時）答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時 從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千 米處相遇，求甲乙兩站的距離。解這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客 車落后于貨車（16x2 ）千米，客車追上貨車的時間就是前面 所說的相遇時間，這個

23、時間為162m （ 48 - 40 ）二4 （小時）所以兩站間的距離為（48 + 40 ） ×4 = 352 （千米）列成綜合算式（48 + 40 ） X 162m （ 48 - 40 ）=88×4=352 （千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間Z已知 其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)=距離m棵距+ 1環(huán)形植樹棵數(shù)=距離÷棵距方形植樹棵數(shù)=距離÷棵距-4例5座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈,若每隔50 米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路

24、燈，一共可以安裝多少 盞路燈？解(1 )橋的一邊有多少個電桿？ 500÷50+ I= 11 (個)(2 )橋的兩邊有多少個電桿？ 11x2= 22 (個)(3 )大橋兩邊可安裝多少盞路燈？ 22×2 = 44 (盞)答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年 齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨看年齡的增長在 發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有看密切聯(lián)系，尤其與 差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住"年齡差不變"這 個特點?！窘忸}思路和方法】可以利用"

25、差倍問題"的解題思路和方法。例1爸爸今年35歲,亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾 倍？明年呢？解35÷5= 7 (倍)(35 + 1 ) ÷ ( 5 + 1 )二 6 (倍)答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍Z明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的 4倍？解（1 ）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37 - 7 = 30 （歲）（2 ）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 30÷ （ 4 - 1 ） -7=3（年）列成綜合算式（37-7）÷（4-l） - 7二3（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3甲

26、對乙說："當我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你才4歲"。 乙對甲說："當我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時，你將61歲"。 求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表 分析：過去某一年今年將來某一年甲歲歲61歲乙4歲歲歲表中兩個表示同一個數(shù)，兩個"”表示同一個數(shù)。 因為兩個人的年齡差總相等：-4二- 二61- ,也就是4, , , 61成等差數(shù)列，所以,61應(yīng)該比4大3個年齡差, 因此二人年齡差為（61 - 4 ） ÷3= 19 （歲）甲今年的歲數(shù)二61 - 19= 42 （歲）乙今年的歲數(shù)為二42 -

27、 19 = 23 （歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。11行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速 與水速,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在靜水中航 行的速度；水速是水流的速度Z船只順水航行的速度是船速與 水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】（順水速度+逆水速度）m2 =船速（順水速度-逆水速度）m2 =水速順水速二船速2 -逆水速二逆水速+水速2逆水速二船速2-順水速二順水速-水速2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千 米，這只船逆水行這段

28、路程需用幾小時？解由條件知，順水速二船速+水速二320÷8 Z而水速為每小時15 千米，所以，船速為每小時320÷8 - 15二25 （千米） 船的逆水速為25-15= 10 （千米）船逆水行這段路程的時間為320÷10= 32 （小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船 逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？ 解由題意得甲船速+水速二360三IO= 36甲舟昔速-水速=360÷18= 20可見（ 36 - 20 ）相當于水速的2倍,所以，水速為每小時（36 - 20 ） 

29、47;2二8 （千米）又因為，乙船速-水速二360÷15 ,所以，乙船速為360÷15+ 8= 32 （千米）乙船順水速為32+ 8二40 （千米）所以，乙船順水航行360千米需要360÷40= 9 （小時）答：乙船返回原地需要9小時。列車問題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題Z解答時要注意列車車身的長 度?！緮?shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間二（車長+橋長）m車速火車追及：追及時間二（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速-乙車速）火車相遇：相遇時間二（甲車長+乙車長+距離）÷ （甲車速+乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。

30、例1座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大 橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多 少米？解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1 ）火車3分鐘行多少米？ 900x3二2700 （米）（2）這歹U火車長多少米？ 2700 - 2400二300 （米）列成綜合算式900×3 - 2400= 300 （米）答：這列火車長300米。例2列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了 2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解火車過橋所用的時間是2分5秒= 125秒，所走的路程是（8 l25）米，這段路程就是（200米+橋長），所以，橋長

31、為 8×125 - 200= 800 （米）答：大橋的長度是800米。例3列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米 的快車以每秒22米的速度在后面追趕,求快車從追上到追過 慢車需要多長時間？解從追上到追過，快車比慢車要多行（225 + 140 ）米，而快車比慢車每秒多行（22-17 ）米，因此，所求的時間為（225 + 140 ） ÷ （ 22 - 17 ） = 73 （秒）答：需要73秒。例4列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工 人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需 要多少時間？解如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相

32、當于火車相遇問 題。150÷ （ 22 + 3 ） = 6 （秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。13時鐘問題【含義】就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂 直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問 題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為H12o通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】變通為"追及問題"后可以直接利用公式。例1從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格； 時針每小時走5格，每分鐘走5/60= 1/12

33、格。每分鐘分針比 時針多走（1 - 1/12 ） = 11/12格。4點整,時針在前，分針 在后Z兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷ （ 1 - 1/12 ） 22 （分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相 差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整 的時候，分針在時針后（5x4 ）格，如果分針在時針后與它成 直角，那么分針就要比時針多走（5x4-15 ）格，如果分針在 時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4+ 15 ）格。 再

34、根據(jù)1分鐘分針比時針多走（1 - 1/12 ）格就可以求出二針 成直角的時間。（5×4 - 15 ） ÷ （ 1 - 1/12 ） 6 （分）（5×4+ 15 ） ÷ （ 1 - 1/12 ） 38 （分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解六點整的時候，分針在時針后（5x6 ）格，分針要與時針重合, 就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6 ） ÷ （ I- 1/12 ） 33 （分）答：6點33分的時候分針與時針重合。盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品,在兩次分配中

35、，一次有余 （盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求 人數(shù)或物品數(shù)Z這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】般地說Z在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)二（盈+虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)二（大盈-小盈）÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)二（大虧-小虧）÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解按照"參加分配的總?cè)藬?shù)二（盈+虧）÷分配差"的數(shù)量關(guān)系：（1 ）有小朋友多少人

36、？（ 11+ 1 ） m （ 4 - 3 ） = 12 （人）（2）有多少個蘋果？ 3x12+11= 47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2修一條公路,如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如 果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當于"參加分配的總?cè)藬?shù)"Z 按照"參加分配的總?cè)藬?shù)二（大虧-小虧）m分配差”的數(shù)量 關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（260×8 - 300×4 ） ÷ （ 300 - 260 ）二 22 （天）這條路全長為300x（ 22 +4）二780

37、0 （米）答：這條路全長7800米。例3學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛 車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解本題中的車輛數(shù)就相當于"參加分配的總?cè)藬?shù)"，于是就有（1）有多少車？（30-0） ÷（ 45 - 40 ）二 6（輛）（2 ）有多少人？ 40x6+ 30 二 270 （人）答：有6輛車，有270人。工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān) 系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量, 只提出"一項工程"、"一塊土地"、"一條水渠&q

38、uot;、"一件 工作"等Z在解題時，常常用單位"r 表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作"1",這樣，工作效 率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾 分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者 之間的關(guān)系列出算式。工作量二工作效率X工作時間工作時間=工作量÷工作效率工作時間二總工作量m （甲工作效率+乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天 完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解題中的"一項工

39、程"是工作總量，由于沒有給出這項工程的具 體數(shù)量，因此Z把此項工程看作單位"1” O由于甲隊獨做需 10天完成，那么每天完成這項工程的1/10 ;乙隊單獨做需15 天完成，每天完成這項工程的1/15 ;兩隊合做，每天可以完 成這項工程的（1/10+ 1/15 ） O由此可以列出算式：lm（ 1/10+ 1/15 ） =Iml/6二6 （天）答：兩隊合做需要6天完成。例2批零件，甲獨做6小時完成Z乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人 合做，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解_設(shè)總工作量為1 ,則甲每小時完成1/6 ,乙每小時完成1/8 , 甲比乙每小時多完成(1/6-

40、 1/8 ),二人合做時每小時完成(1/6 + 1/8 ) O因為二人合做需要1÷(16+18)小時，這個 時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以(1 )每小時甲比乙多做多少零件？24÷ 1÷ ( 1/6+ 1/8 )二 7 (個)(2) 這批零件共有多少個？7÷ ( 1/6 - 1/8 ) = 168 (個)答：這批零件共有168個。解二上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為1 /6:1/8 = 4:3 由此可知，甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3= 1/7所以，這批零件共有24÷17= 168 (個)例3件工

41、作，甲獨做12小時完成Z乙獨做10小時完成，丙獨做 15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做， 還需幾小時才能完成？解必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此,我們設(shè)總工作量為12、10、 和15的某一公倍數(shù),例如最小公倍數(shù)60 Z則甲乙丙三人的工 作效率分別是60÷12 = 560÷10= 660÷15= 4因此余下的工作量由乙丙合做還需要(60 - 5×2 ) ÷ ( 6+ 4 ) = 5 (小時)答：還需要5小時才能完成。例4個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣 粗細的進

42、水管。當打開4個迸水管時，需要5小時才能注滿水 池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在 要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池 排水相當于一項工程，水的流量就是工作量,單位時間內(nèi)水的 流量就是工作效率。要2小時內(nèi)將水池注滿，即要使2小時內(nèi)的進水量與排水量之 差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及 總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個量為單位1 ,其余兩個量 便可由條件推出。我們設(shè)每個同樣的進水管每小時注水量為1 ,則4個進水管5 小時注水量為（I45 ） , 2個進水管15小時注水量為（1×

43、2×15 ）,從而可知每小時的排水量為（I2l5 - 1×4×5 ） ÷ （ 15 - 5 ） = 1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 池水的總工作量為I451x5二15又因為在2小時內(nèi)，每個進水管的注水量為1x2,所以，2小時內(nèi)注滿一池水至少需要多少個進水管？（ 15+l2） ÷（ 1x2）=8.59 （個）答：至少需要9個進水管。正反比例問題【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨看變化，如果這 兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定）,那么 這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。 正比例應(yīng)

44、用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨看變化，如果這 兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例 的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的 意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng) 用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用 比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1修一條公路,已修的是未修的1/3 ,再修300米后，已修的變 成未修的1/2 ,求這條公路總長是

45、多少米？解由條件知Z公路總長不變。原已修長度：總長度二1: (1+3) = 1 : 4= 3 : 12現(xiàn)已修長度：總長度二1: (1+2) = 1 : 3 = 4 : 12比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于(4 -3 )份，從而知公路總長為300÷ ( 4 - 3 ) ×12 = 3600 (米) 答：這條公路總長3600米。例2張皓做4道應(yīng)用題用了 28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做 幾道應(yīng)用題？解做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28 :4= 91 : X28X= 91×4X= 91×4&#

46、247;28X= 13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完， 如果每天看36頁，幾天就可以看完？解書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有24 : 36 = X : 1536X= 24×15X= 10答：10天就可以看完。17按比例分配問題【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這 類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映 各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部 分量各是多少?？偡輸?shù)二比的前后項之和【

47、解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項 相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作 分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾 是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一 班有47人,二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少 棵？解總份數(shù)為47 + 48 + 45二140班植樹 560×47140 = 188 （棵）二班植樹 560×48140 = 192 （棵）三班植樹 560×45140= 180 （棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192

48、棵、180棵。例2用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3 :4:5。三條邊的長各是多少厘米？解3 + 4 + 5 = 1260×312 = 15 （厘米）60×412 二 20 （厘米）60×512 二 25 （厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子, 大兒子分總數(shù)的1/2 ,二兒子分總數(shù)的1/3 ,三兒子分總數(shù)的 1/9 ,并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù) 解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得

49、到1/2 :1/3:1/9=9:6:29+6+2= 1717×917 = 917×617= 617×217= 2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只 羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8 : 12 : 21 , M-車間比 第二車間少80人，三個車間共多少人？解80÷ （ 12 - 8 ） × （ 8+ 12+ 21 ）二 820 （人）答：三個車間一共820人。18百分數(shù)問題【含義】百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一 種特殊的分數(shù)。分數(shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數(shù)則無需； 分數(shù)既可以表示"

50、率"，也可以表示"量"，而百分數(shù)只能表 示"率"；分數(shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子 可以是小數(shù)；百分數(shù)有一個專門的記號"" O在實際中和常用到"百分點"這個概念，一個百分點就是1% , 兩個百分點就是2%o【數(shù)量關(guān)系】掌握"百分數(shù)"、"標準量""比較量"三者之間的數(shù)量關(guān)系： 百分數(shù)二比較量-標準量 標準量二比較量÷百分數(shù)【解題思路和方法】般有三種基本類型：(1) 求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；(2) 已知一個數(shù)，求它的百分之

51、幾是多少；(3) 已知一個數(shù)的百分之幾是多少,求這個數(shù)。例1倉庫里有一批化肥，用去720千克,剩下6480千克，用去的 與剩下的各占原重量的百分之幾？解(1 )用去的占 720÷ ( 720 + 6480 ) = 10%(2)剩下的占 6480m ( 720 + 6480 )二 90%答：用去了 10% Z剩下90%o例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比 女職工少百分之幾？解本題中女職工人數(shù)為標準量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以(52 5 - 420 ) ÷ 52 5 二 0.2 二 20%或者 1 - 420÷525 = 0.2 =

52、 20%答：男職工人數(shù)比女職工少20%o例3紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解本題中以男職工人數(shù)為標準量,女職工比男職工多的人數(shù)為比 較量，因此(525 - 420 ) ÷420 = 0.25 二 25%或者 525÷420 - 1 = 0.25 = 25%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解(1 )男職工占 420÷ ( 420+ 52 5 ) = 0.444 = 44.4%(2 )女職工占 52 5÷ ( 420 + 52

53、5 ) = 0.556 = 55.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4% ,女職工占55.6%。"牛吃草"問題【含義】"牛吃草"問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫"牛頓問題"。 這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素?！緮?shù)量關(guān)系】草總量二原有草量+草每天生長量X天數(shù)【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。例1塊草地，10頭牛20天可以把草吃完,15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解草是均勻生長的，所以，草總量二原有草量+草每天生長量X 天數(shù)。求"多少頭牛5天可以把草吃完"，就

54、是說5天內(nèi)的草 總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為 1 ,按以下步驟解答：(1 )求草每天的生長量因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草, 即(l×10×20 );另一方面,20天內(nèi)的草總量又等于原有草 量加上20天內(nèi)的生長量,所以l×10×20二原有草量+ 20天內(nèi)生長量同理1 ×15×10二原有草量+ 10天內(nèi)生長量由此可知(20-10)天內(nèi)草的生長量為l×10×20 - IXl5x10二 50因此，草每天的生長量為50÷ ( 20 - 10 ) =5(2) 求原有

55、草量原有草量=Io天內(nèi)總草量-10內(nèi)生長量=IXl5 X 10- 5×10=100(3) 求5天內(nèi)草總量5天內(nèi)草總量二原有草量+ 5天內(nèi)生長量二IOo+5x5 =12 5(4) 求多少頭牛5天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1 ,所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5二25 (頭)答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi),發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng) 進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只 有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解這是一道變相的"牛吃草"問題。與上題不同的是，最后一問

56、 給出了人數(shù)(相當于"牛數(shù)")，求時間。設(shè)每人每小時淘水 量為1 ,按以下步驟計算：(1 )求每小時進水量因為，3小時內(nèi)的總水量=1×12×3 =原有水量+ 3小時進水量 10小時內(nèi)的總水量二1 × 5 × 10 =原有水量+ 10小時進水量 所以，(Io- 3 )小時內(nèi)的進水量為1 ×5×10 - 1×12×3 = 14 因此，每小時的進水量為14m(10-3) = 2(2)求淘水前原有水量原有水量= IXl2x3 - 3小時進水量二36 - 2x3= 30(3 )求17人幾小時淘完17人每小

57、時淘水量為17 ,因為每小時漏進水為2 ,所以實際 上船中每小時減少的水量為(17 - 2 ),所以17人淘完水的時 間是30÷ ( 17 - 2 ) = 2 (小時)答：17人2小時可以淘完水。雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只 腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已 知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差,求雞、兔各是多少的問題叫 做第二雞兔同籠問題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞J則有兔數(shù)=(實際腳數(shù)-2雞兔總數(shù))m ( 4 - 2 )假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)=(4雞兔總數(shù)-實際腳數(shù))÷ ( 4 - 2 )第二雞

58、兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)二(2×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差)÷ ( 4+ 2 )假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)=(4雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差)m(4+2)【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假 設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞,然后以兔換雞；如果先假設(shè)都 是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)， 再置換，使問題得到解決。例1長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共 有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解假設(shè)35只全為兔，則雞數(shù)=(4x35 - 94 ) ÷ ( 4 - 2 ) = 23 (只)兔數(shù)=35 -

59、23 = 12 (只)也可以先假設(shè)35只全為雞，則兔數(shù)=(94 - 235 ) ÷ ( 4 - 2 ) =12(只)雞數(shù)=35 - 12 = 23 (只)答：有雞23只，有兔12只。例22畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克,兩種菜共16 畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解此題實際上是改頭換面的"雞兔同籠"問題。"每畝菠菜施肥 (1÷2 )千克"與"每只雞有兩個腳"相對應(yīng),"每畝白菜施 肥(3÷5 )千克"與"每只兔有4只腳"相對應(yīng)，"16畝"與 "雞兔總數(shù)"相對應(yīng)，"9千克"與"雞兔總腳數(shù)"相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有白菜畝數(shù)=(9 - 1÷2×16 ) ÷ ( 3÷5 - 1÷2 )二 10 (畝) 答：白菜地有10畝。例3李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3