專題2.3函數(shù)的奇偶性與周期性高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提分專題Word版學(xué)生用

1、第二篇函數(shù)及其性質(zhì)專題2.03函數(shù)的奇偶性與周期性【考試要求】1 .結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義；2 .結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義【知識(shí)梳理】1 .函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)= f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=- f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2 .函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 f(x+T)= f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周

2、期函數(shù)，稱 T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.【微點(diǎn)提醒】1 .(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0) = 0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x) = f(|x|).2 .奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性3 .函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：若 f(x+ a)=- f(x),則 T=2a(a>0).1(2)若 f(x+ a)=r7"-,則 T = 2a(a

3、>0).f (X)1(3)若 f(x+ a)= , / 、，則 T=2a(a>0).f (x)4 .對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y= f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù) y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x= a對(duì)稱.(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2a x) = f(x)或f( x) = f(2a + x),則y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a對(duì)稱.若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(b, 0)中心對(duì)稱.【疑誤辨析】1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“或"x”)(1)函數(shù)y=x2在xC(0, + 8肘是偶函數(shù).()(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有

4、 f(0)=0.()若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則 nT(nCZ, nw0)l是函數(shù)的周期.()(4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b, 0)中心對(duì)稱.()【教材衍化】2 .(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是 ()A. y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2 x3.(必修4P46A10改編)設(shè)f(x)是定義在 R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)xC 1, 1)時(shí)，f(x)=【真題體驗(yàn)】4.(2019濟(jì)南調(diào)研)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0, +8比單調(diào)遞增的是()A. y=x3B.y=x4C.y= |x|D.y=|tan x|5.

5、(2017全國(guó)n卷)已知函數(shù) f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) xC( 8, 0)時(shí)，f(x) = 2x3+x2,則f(2)=6.(2019上海崇明區(qū)二模)設(shè)川是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng) xC 0, 1時(shí)，f(x) = log2(x+ 1),則當(dāng)xC1, 2時(shí)，f(x) =.【考點(diǎn)聚焦】 考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性:(1)f(x)=叱3 x2 + 423;(2)f(x) =lg (1 x2)|x- 2|2(3)f(x) =x2+x, x<0,-x2+x, x>0.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)

6、具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域;(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式 (f(x)+f(x)= 0(奇函數(shù))或f(x) f(x)= 0(偶函數(shù))是否成立.【訓(xùn)練1】(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A. y=x+sin 2xB.y=x2cos x1C.y= 2x+ 2D.y= x2+ sin xxx(2)已知f(x) = 2=，g(x) = 2,則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(x) + g(x)是偶函數(shù)B.f(x) +g(x)是奇函數(shù)C.f(x)g(x)是奇函數(shù)D.f(x)g(x)是偶函數(shù)考點(diǎn)二

7、函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【例2】(1)( 一題多解)(2018全國(guó)n卷)已知f(x)是定義域?yàn)?8, + 8的奇函數(shù)，滿足 f(1x) = f(1 + x).若 f(1)=2,則 f(1) + f(2) + f(3)+ +f(50) = ()A.50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期為 2的周期函數(shù)，且當(dāng)0a<2時(shí)，f(x) = x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0, 6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .【規(guī)律方法】1 .根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn) 化到已知區(qū)間.2 .若f(x+a)=f(x)(a是常數(shù)，且aw0

8、)則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.第題法二是利用周期性構(gòu)造一個(gè)特 殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過程9【訓(xùn)練2】(1)(2019南充二模)設(shè)網(wǎng)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0+1時(shí)，f(x) = x(1 + x),則f 9 =(1B.-41 C.43D.4(2)(2017山東卷)已知f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，且f(x+ 4)=f(x 2).若當(dāng)xC 3, 0時(shí)，f(x) = 6 x, f(919) =考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用角度1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性【例31】 (2019石家莊模擬)設(shè)f(x)是定義在 2b, 3+ b上的偶函數(shù)，且在 2b, 0上為增函數(shù)，則f(x1)率3)的解集為()A. -3, 3B.-

9、2, 4C.-1, 5D.0 , 6【規(guī)律方法】1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.2 .本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x) = f(|x|),避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化了解題過程.角度2函數(shù)的奇偶性與周期性【例32】(1)(2019山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)檢測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+ 5) = f(x),且當(dāng)xC 0, |時(shí)，f(x)=x3-3x,則 f(2 018)=()A.2B.18C.18D. 2兀(2)(2019 洛陽卞擬)已知函數(shù) y=f(x)滿足 y= f( x)和 y= f(x+2)是偶函數(shù)，且 f(1) =,設(shè) F(x)

10、 = f(x) + f(x),3則 F(3)=()A. 3B.§C.兀D.93 33【規(guī)律方法】周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解【訓(xùn)練3】(1)(2019重慶九校模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 3對(duì)稱，當(dāng)x0, 3時(shí)，f(x) = -x, 則 f(-16)=.1(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0, + 8止是單調(diào)遞增函數(shù).如果實(shí)數(shù)t滿足f(ln t)+fln

11、 - <f(1),那么t的取值范圍是 .【反思與感悟】.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性1 .判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一個(gè)必要條件.2 .利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問題：(1)求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.3 .在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論若T是函數(shù)的周期，則 kT(kC Z且kw她是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.【易錯(cuò)防范】1 .f(0)=0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件 .2 .函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a + x) = f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f

12、(a+x) = f(b +x)(a而)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆【核心素養(yǎng)提升】【數(shù)學(xué)運(yùn)算】一一活用函數(shù)性質(zhì)中三個(gè)二級(jí)”結(jié)論類型1奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間 D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的xC D,者B有f(x) + f( x)= 0特別地，若奇函數(shù)f(x)在 D 上有最值，則 f(x)max+f(x)min=0,且若 0CD,則 f(0) = 0. _ (x+ 1) 2 + sin x .一 . 一 .例1 設(shè)函數(shù)f(x) =的取大值為 M,取小值為 m,則M + m=.類型2抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(x+ a) = f(x)(aw0)那么f(x)是周期

13、函數(shù)，其中一個(gè)周期T=2a.,-1(2)如果f(x+ a)=f-x(awQ)那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期 T=2a.如果f(x+ a) + f(x)=c(aw0)那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T = 2a.【例2】 已知函數(shù)f(x)為定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x>0時(shí)，有f(x+ 3) = f(x),且當(dāng)xC(0, 3)時(shí)，f(x)=x+ 1,則 f(2 017) +f(2 018)=()A.3B.2C.1D.0類型3抽象函數(shù)的對(duì)稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).a -I- b 4一一 一，一，、(1)若f(a + x) = f(bx)恒成立，則 y=f(x)的圖

14、象關(guān)于直線x=一對(duì)稱，特力U地，右f(a+x) = f(ax)恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x= a對(duì)稱.(2)若函數(shù) y=f(x)滿足 f(a + x) + f(a x)=0,即 f(x) = f(2a x),則 f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, 0)對(duì)稱.【例3】(2019日照調(diào)研)函數(shù)y=f(x)對(duì)任意xC R都有f(x+2)= f( x)成立，且函數(shù)y= f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1, 0)對(duì)稱,f(1) = 4,則 f(2 016) + f(2 017) + f(2 018)的值為.【分層訓(xùn)練】【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2019玉溪*II擬)下列函數(shù)中，既是

15、偶函數(shù)，又在(0, 1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()3A. y=|log3x|B.y= xC.y=exID.y=cos xi上的奇函數(shù)，且f(x)=2.( 一題多解)(2019河北五個(gè)一”名校聯(lián)盟二模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R則 g(-8)=(log3 (x+ 1) , x>Q g (x) , x<0,A. -2B.-3C.2D.33.已知f(x)在R 上是奇函數(shù)，且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng) xC(2, 0)時(shí),f(x) = 2x2,則f(2 019)等于()A. 2B.2C.-98D.984.(一題多解)(2017天津卷)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x) = xf(x)

16、.若a=g(log25.1), b = g(20.8), c=g(3),則a, b, c的大小關(guān)系為()A. a<b<cC.b<a<cB.c<b<aD. b<c<a5.(2019山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知定義在 R上的函數(shù)f(x)在1, +8正單調(diào)遞減，且f(x+ 1)是偶函數(shù)，不等式f(m+ 2)前x 1)對(duì)任意的xC -1, 0恒成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是()A. -3, 1C.( 8, - 3 U 1 , +8)B.-4, 2D.( 一 00, 一 4 U 2 , + °0)二、填空題6 .若函數(shù)f(x) = xln(x+

17、 &+ x2)為偶函數(shù)，則a =57 .若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x) = 4x,則f 2 +f(2) =18 .設(shè)函數(shù)f(x) = ln(1 + |x|)- -2，則使得f(x)>f(2x 1)成乂的x的取值氾圍是 , 1十x三、解答題x2 + 2x, x>0,9.已知函數(shù)f(x)= 0, x=0,是奇函數(shù).x2 + mx, x<0(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1, a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍3 .3 一10 .設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，X任意實(shí)數(shù)x都有f 2+x = 一f萬一x

18、成立.(1)證明y=f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；(2)若 f(1) = 2,求 f(2) + f(3)的值；(3)若g(x)=x2+ax+ 3,且y= |f(x)| g(x)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù) a的值.【能力提升題組】(建議用時(shí)：20分鐘)11 .(2019石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0, +8止單調(diào)遞增，且f(1)=0,若f(x1)>0,則x的取值范圍為()B. x|x<0 或 x>2D.x|x< 1 或 x>1A. x|0<x<1 或 x>2C. xx<0 或 x>312 .定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2) = f(x),且在0, 1上是減函數(shù)，則有(A.f 2 <f 4<f41B.f 4<f3<f23c.f 2 <f4-4D.f 4<f 2 <f 413 .設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xC R恒有f(x+ 1)=f(x-1),已知當(dāng)xC 0, 1時(shí)，f(x) =2x,則有2是函數(shù)f(x)的周期；