對(duì)理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的

1、對(duì)理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣對(duì)理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣作為實(shí)際作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN第三節(jié)第三節(jié) 頻率抽樣設(shè)計(jì)法頻率抽樣設(shè)計(jì)法1、設(shè)計(jì)方法、設(shè)計(jì)方法 知道知道H(k)后后, 由由IDFT定義定義, 可以用這可以用這N個(gè)采樣值個(gè)采樣值H(k)來(lái)惟一確定有限長(zhǎng)序列來(lái)惟一確定有限長(zhǎng)序列h(n)，即即 1,.,2 , 1 , 0)(1)(10 NnWkHNnhNknkN h(n)為待設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)為待設(shè)計(jì)的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)H(z)為為 10)()(Nnnznhz

2、H 以上就是頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。此以上就是頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這N個(gè)頻域采樣值個(gè)頻域采樣值H(k)同樣可求得同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH2、線(xiàn)性相位的約束、線(xiàn)性相位的約束 如果我們?cè)O(shè)計(jì)的是線(xiàn)性相位的如果我們?cè)O(shè)計(jì)的是線(xiàn)性相位的FIR濾波器，則其采濾波器，則其采樣值樣值H(k)的幅度和相位一定要滿(mǎn)足前面所討論的二類(lèi)線(xiàn)的幅度和相位一定要滿(mǎn)足前面所討論的二類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器的約束條件。性相位濾波器的約束條件。 （1）對(duì)于第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器，）對(duì)于

3、第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器， h(n)偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，長(zhǎng)度長(zhǎng)度N為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， 21)(N 式中：式中：)()()( jjeHeH 第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器幅度函數(shù)第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=0, , 2為偶對(duì)稱(chēng)，即為偶對(duì)稱(chēng)，即 )2()( HH 如果采樣值如果采樣值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值也用幅值Hk（純標(biāo)量）純標(biāo)量）與相角與相角k表示，表示， 即即 kjkNkjeHeHkH )()(/2并在并在=02之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點(diǎn)點(diǎn) kNk 2 k=0, 1, 2, , N-1 將將=k代入上面的式子中，并寫(xiě)成代入上面的式子中，并寫(xiě)成k的函數(shù)的函數(shù), 有：有： k

4、NkkHHNkNkN 11212 由上式可知，由上式可知，Hk滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)要求。滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)要求。 （2）對(duì)于第一類(lèi)線(xiàn)性相位）對(duì)于第一類(lèi)線(xiàn)性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)偶對(duì)稱(chēng)，偶對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)，則其為偶數(shù)，則其H(ej)的表達(dá)式仍為的表達(dá)式仍為: 21)()()()(NeHeHjj 但是，其幅度函數(shù)但是，其幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=是奇對(duì)稱(chēng)的，關(guān)于是奇對(duì)稱(chēng)的，關(guān)于=0, 2為偶對(duì)稱(chēng)，為偶對(duì)稱(chēng)， 所以，這時(shí)的所以，這時(shí)的Hk也應(yīng)滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)要求也應(yīng)滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)要求 )2()( HHkNkHH （3）對(duì)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位）對(duì)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N為奇數(shù)，時(shí)，為奇

5、數(shù)，時(shí)，式中：式中： 221)( N 第三類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器幅度函數(shù)第三類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=0, , 2為奇對(duì)稱(chēng)，即為奇對(duì)稱(chēng)，即 )2()( HH)()()( jjeHeH 將將=k=2k/N代入上面的式子中，并寫(xiě)成代入上面的式子中，并寫(xiě)成k的的函數(shù)，得函數(shù)，得: 2112212 NkNkNkkNkHH 即即Hk滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)要求。滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)要求。 （4）對(duì)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位）對(duì)于第二類(lèi)線(xiàn)性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對(duì)稱(chēng)，奇對(duì)稱(chēng)，N為偶數(shù)，則其為偶數(shù)，則其H(ej)的表達(dá)式仍為的表達(dá)式仍為: 221)()()()( NeHeHjj 但是，其幅度函數(shù)但是，其幅度函數(shù)H()關(guān)

6、于關(guān)于=是偶對(duì)稱(chēng)的，關(guān)于是偶對(duì)稱(chēng)的，關(guān)于=0, 2為奇對(duì)稱(chēng)，為奇對(duì)稱(chēng)， 即即 )2()( HH所以，這時(shí)的所以，這時(shí)的Hk也應(yīng)滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)要求也應(yīng)滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)要求 kNkHH 3、逼近誤差及其改進(jìn)措施、逼近誤差及其改進(jìn)措施 頻率采樣法是比較簡(jiǎn)單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一頻率采樣法是比較簡(jiǎn)單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一步考察，步考察， 用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近效果如何？如此設(shè)計(jì)所得到的頻響效果如何？如此設(shè)計(jì)所得到的頻響H(ej)與要求的理想與要求的理想頻響頻響Hd(ej)會(huì)有怎樣的差別？回憶內(nèi)插公式：會(huì)有怎樣的差別？回憶內(nèi)插公式： kNkHeHNkj 2)(

7、)(10式中式中, ()是內(nèi)插函數(shù)是內(nèi)插函數(shù) 2/ )1()2/sin()2/sin()( NjeNN 1）采樣點(diǎn)上濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響）采樣點(diǎn)上濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響 應(yīng)數(shù)值相等的。應(yīng)數(shù)值相等的。2）但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函）但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函 數(shù)的延伸疊加而成的數(shù)的延伸疊加而成的, 因而有一定的逼近誤差，因而有一定的逼近誤差， 誤差大誤差大 小取決于理想頻率響應(yīng)曲線(xiàn)形狀。小取決于理想頻率響應(yīng)曲線(xiàn)形狀。3）理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值）理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想

8、值 ，逼近誤差越小。，逼近誤差越小。4）如果采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與）如果采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與 理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn) 附近，就會(huì)產(chǎn)生肩峰和起伏。附近，就會(huì)產(chǎn)生肩峰和起伏。分析：分析：頻率采樣的響應(yīng)頻率采樣的響應(yīng) )(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH加過(guò)渡帶加過(guò)渡帶（a） 一點(diǎn)過(guò)渡帶一點(diǎn)過(guò)渡帶; (b) 二點(diǎn)過(guò)渡帶二點(diǎn)過(guò)渡帶; (c) 三點(diǎn)過(guò)渡帶三點(diǎn)過(guò)渡帶 cccooo(a)(b)Hc1Hc1Hc2Hc1Hc2Hc3Hd() , HkHd()

9、, HkHd() , Hk(c)在低通設(shè)計(jì)中：在低通設(shè)計(jì)中：1) 不加過(guò)渡采樣點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為不加過(guò)渡采樣點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為-20 dB2) 加一點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)阻帶最小衰減可提加一點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)阻帶最小衰減可提高到高到 -44 dB到到-54 dB 左右，左右，3) 加二點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)可達(dá)加二點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)可達(dá)-65 dB到到-75dB左右，左右，4) 加三點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)則可達(dá)加三點(diǎn)過(guò)渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計(jì)則可達(dá)-85 dB到到-95dB左右。左右。例例 ：利用頻率采樣法，設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位低通：利用頻率采樣法，設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)性相位低通FIR數(shù)字濾波器，數(shù)字

10、濾波器， 其理想頻率特性是矩形的其理想頻率特性是矩形的 ： 其它其它001| )(|cjdeH 已知已知c=0.5，采樣點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)N=33。試求各采樣點(diǎn)的幅值試求各采樣點(diǎn)的幅值Hk及及相位相位k，也即求采樣值也即求采樣值H(k)。解：解： N=33, 且低通濾波器幅度特性且低通濾波器幅度特性H(0)=1。由表由表7-1可知，這屬可知，這屬于第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器。第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器的幅度特性于第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器。第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器的幅度特性H()關(guān)于關(guān)于=為偶對(duì)稱(chēng)為偶對(duì)稱(chēng)， 即即 21)()( NjjeHeH 且有：且有： kjkeHkHHH )()2()(則則Hk滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)特性，因而有：滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)特性，因而有： 3203332212 kkNNkHHkkNk 又又 25. 83325 . 0)/2(,5 . 0 Ncc故故 01kH0k8, 25k32 9k24 kjkeHkH )(0k32 FIR濾波器濾波器nh(n)無(wú)限長(zhǎng)無(wú)限長(zhǎng)nh(n)有限長(zhǎng)有限長(zhǎng)n極點(diǎn)位于極點(diǎn)位于z平面任意位置平面任意位置n濾波器階次低濾波器階次低n一般是非線(xiàn)性相位一般是非線(xiàn)性相位n遞歸結(jié)構(gòu)遞歸結(jié)構(gòu) n不能用不能用FFT計(jì)算計(jì)算n可用模擬濾波器設(shè)計(jì)可用模擬濾波器設(shè)計(jì)n用于設(shè)計(jì)規(guī)格化的選頻濾用于設(shè)計(jì)規(guī)格化的選頻濾