對理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的

1、對理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣對理想頻率響應(yīng)等間隔抽樣作為實際作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值數(shù)字濾波器的頻率特性的抽樣值2( )( )()jddkNH kHkHe0,1,.,1kN第三節(jié)第三節(jié) 頻率抽樣設(shè)計法頻率抽樣設(shè)計法1、設(shè)計方法、設(shè)計方法 知道知道H(k)后后, 由由IDFT定義定義, 可以用這可以用這N個采樣值個采樣值H(k)來惟一確定有限長序列來惟一確定有限長序列h(n)，即即 1,.,2 , 1 , 0)(1)(10 NnWkHNnhNknkN h(n)為待設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)為待設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)。其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)H(z)為為 10)()(Nnnznhz

2、H 以上就是頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理。此以上就是頻率采樣法設(shè)計濾波器的基本原理。此外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這外，由頻域內(nèi)插公式知道，利用這N個頻域采樣值個頻域采樣值H(k)同樣可求得同樣可求得FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1011)(1)(NkkNNzWkHNzzH2、線性相位的約束、線性相位的約束 如果我們設(shè)計的是線性相位的如果我們設(shè)計的是線性相位的FIR濾波器，則其采濾波器，則其采樣值樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的二類線的幅度和相位一定要滿足前面所討論的二類線性相位濾波器的約束條件。性相位濾波器的約束條件。 （1）對于第一類線性相位濾波器，）對于

3、第一類線性相位濾波器， h(n)偶對稱，偶對稱，長度長度N為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， 21)(N 式中：式中：)()()( jjeHeH 第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=0, , 2為偶對稱，即為偶對稱，即 )2()( HH 如果采樣值如果采樣值H(k)=H(ej2k/N)也用幅值也用幅值Hk（純標(biāo)量）純標(biāo)量）與相角與相角k表示，表示， 即即 kjkNkjeHeHkH )()(/2并在并在=02之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點(diǎn)點(diǎn) kNk 2 k=0, 1, 2, , N-1 將將=k代入上面的式子中，并寫成代入上面的式子中，并寫成k的函數(shù)的函數(shù), 有：有： k

4、NkkHHNkNkN 11212 由上式可知，由上式可知，Hk滿足偶對稱要求。滿足偶對稱要求。 （2）對于第一類線性相位）對于第一類線性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)偶對稱，偶對稱，N為偶數(shù)，則其為偶數(shù)，則其H(ej)的表達(dá)式仍為的表達(dá)式仍為: 21)()()()(NeHeHjj 但是，其幅度函數(shù)但是，其幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=是奇對稱的，關(guān)于是奇對稱的，關(guān)于=0, 2為偶對稱，為偶對稱， 所以，這時的所以，這時的Hk也應(yīng)滿足奇對稱要求也應(yīng)滿足奇對稱要求 )2()( HHkNkHH （3）對于第二類線性相位）對于第二類線性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對稱，奇對稱，N為奇數(shù)，時，為奇

5、數(shù)，時，式中：式中： 221)( N 第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)H()關(guān)于關(guān)于=0, , 2為奇對稱，即為奇對稱，即 )2()( HH)()()( jjeHeH 將將=k=2k/N代入上面的式子中，并寫成代入上面的式子中，并寫成k的的函數(shù)，得函數(shù)，得: 2112212 NkNkNkkNkHH 即即Hk滿足奇對稱要求。滿足奇對稱要求。 （4）對于第二類線性相位）對于第二類線性相位FIR濾波器，濾波器，h(n)奇對稱，奇對稱，N為偶數(shù)，則其為偶數(shù)，則其H(ej)的表達(dá)式仍為的表達(dá)式仍為: 221)()()()( NeHeHjj 但是，其幅度函數(shù)但是，其幅度函數(shù)H()關(guān)

6、于關(guān)于=是偶對稱的，關(guān)于是偶對稱的，關(guān)于=0, 2為奇對稱，為奇對稱， 即即 )2()( HH所以，這時的所以，這時的Hk也應(yīng)滿足偶對稱要求也應(yīng)滿足偶對稱要求 kNkHH 3、逼近誤差及其改進(jìn)措施、逼近誤差及其改進(jìn)措施 頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應(yīng)該進(jìn)一步考察，步考察， 用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近用這種頻率采樣所得到的系統(tǒng)函數(shù)究竟逼近效果如何？如此設(shè)計所得到的頻響效果如何？如此設(shè)計所得到的頻響H(ej)與要求的理想與要求的理想頻響頻響Hd(ej)會有怎樣的差別？回憶內(nèi)插公式：會有怎樣的差別？回憶內(nèi)插公式： kNkHeHNkj 2)(

7、)(10式中式中, ()是內(nèi)插函數(shù)是內(nèi)插函數(shù) 2/ )1()2/sin()2/sin()( NjeNN 1）采樣點(diǎn)上濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響）采樣點(diǎn)上濾波器的實際頻率響應(yīng)是嚴(yán)格地和理想頻率響 應(yīng)數(shù)值相等的。應(yīng)數(shù)值相等的。2）但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函）但是在采樣點(diǎn)之間的頻響則是由各采樣點(diǎn)的加權(quán)內(nèi)插函 數(shù)的延伸疊加而成的數(shù)的延伸疊加而成的, 因而有一定的逼近誤差，因而有一定的逼近誤差， 誤差大誤差大 小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。小取決于理想頻率響應(yīng)曲線形狀。3）理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想值）理想頻率響應(yīng)特性變化越平緩，則內(nèi)插值越接近理想

8、值 ，逼近誤差越小。，逼近誤差越小。4）如果采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與）如果采樣點(diǎn)之間的理想頻率特性變化越陡，則內(nèi)插值與 理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn)理想值的誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續(xù)點(diǎn) 附近，就會產(chǎn)生肩峰和起伏。附近，就會產(chǎn)生肩峰和起伏。分析：分析：頻率采樣的響應(yīng)頻率采樣的響應(yīng) )(ejHN2H(k)(a)(b)oo)(ejdH)(ejH)(ejH加過渡帶加過渡帶（a） 一點(diǎn)過渡帶一點(diǎn)過渡帶; (b) 二點(diǎn)過渡帶二點(diǎn)過渡帶; (c) 三點(diǎn)過渡帶三點(diǎn)過渡帶 cccooo(a)(b)Hc1Hc1Hc2Hc1Hc2Hc3Hd() , HkHd()

9、, HkHd() , Hk(c)在低通設(shè)計中：在低通設(shè)計中：1) 不加過渡采樣點(diǎn)時，阻帶最小衰減為不加過渡采樣點(diǎn)時，阻帶最小衰減為-20 dB2) 加一點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計阻帶最小衰減可提加一點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計阻帶最小衰減可提高到高到 -44 dB到到-54 dB 左右，左右，3) 加二點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計可達(dá)加二點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計可達(dá)-65 dB到到-75dB左右，左右，4) 加三點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計則可達(dá)加三點(diǎn)過渡采樣的最優(yōu)化設(shè)計則可達(dá)-85 dB到到-95dB左右。左右。例例 ：利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位低通：利用頻率采樣法，設(shè)計一個線性相位低通FIR數(shù)字濾波器，數(shù)字

10、濾波器， 其理想頻率特性是矩形的其理想頻率特性是矩形的 ： 其它其它001| )(|cjdeH 已知已知c=0.5，采樣點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)采樣點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)N=33。試求各采樣點(diǎn)的幅值試求各采樣點(diǎn)的幅值Hk及及相位相位k，也即求采樣值也即求采樣值H(k)。解：解： N=33, 且低通濾波器幅度特性且低通濾波器幅度特性H(0)=1。由表由表7-1可知，這屬可知，這屬于第一類線性相位濾波器。第一類線性相位濾波器的幅度特性于第一類線性相位濾波器。第一類線性相位濾波器的幅度特性H()關(guān)于關(guān)于=為偶對稱為偶對稱， 即即 21)()( NjjeHeH 且有：且有： kjkeHkHHH )()2()(則則Hk滿足偶對稱特性，因而有：滿足偶對稱特性，因而有： 3203332212 kkNNkHHkkNk 又又 25. 83325 . 0)/2(,5 . 0 Ncc故故 01kH0k8, 25k32 9k24 kjkeHkH )(0k32 FIR濾波器濾波器nh(n)無限長無限長nh(n)有限長有限長n極點(diǎn)位于極點(diǎn)位于z平面任意位置平面任意位置n濾波器階次低濾波器階次低n一般是非線性相位一般是非線性相位n遞歸結(jié)構(gòu)遞歸結(jié)構(gòu) n不能用不能用FFT計算計算n可用模擬濾波器設(shè)計可用模擬濾波器設(shè)計n用于設(shè)計規(guī)格化的選頻濾用于設(shè)計規(guī)格化的選頻濾