合肥一中2019-2020學(xué)年第二學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

1、合肥一中2019-2020學(xué)年第二學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）、選擇題（每小題5分，共60分）1.已知等差數(shù)列an滿足a1=1, an 1 an =3,則a11等于A. 40B. 31C. 21D.152.在 ABC 中,若/ A=60°, / B = 45則 AC=(A. 4也B.C. 33.已知向量b滿足1a|b|,且a與b的夾角為6 ,則（2 b） （2a b）B.C24 .已知向量(1,2), b(2,3)c (4,5),若(ab） c,則實(shí)數(shù)B.C.2D. 25 . AABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,若AABC的面積為a2+b2-c215則角C=

2、（冗A.2冗冗B.3C.4UUU UUU UUU冗D.66 .已治bcs點(diǎn)共線，數(shù)冽附=（OCa110A（n an）OB,則a5等于A. 16B. 10C. 6D.7 .中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題a-百七十八里關(guān)次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還。，初行健步不為難， 其意思為：有一個(gè)人走了 378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天所走的路程為前一天的一半，走了 6天到達(dá)目的地，請問第二天走了（）A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里uuuUULT8.在矩形ABCD中,AB = 4, AD.若點(diǎn)M , N分別是CD, BC的中點(diǎn)

3、,iUUUU UUUU 則 AM MNA. 4B. 3C. 2D. 19.在4ABC中，a=x, b=2, B=45 ,若這樣的ABC有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)x的取值范 圍是（）A. （2, +2 B. （0, 2） C. （2, 272） D.電,2）10.在等比數(shù)歹【an中，a3,ai5是方程x2 + 6x+ 2=0的根，則典的值為（）a9、A.2+722B. -V2C.72 D. -72 或平11.在/ABC 中，a, b, c分別為角 A, B, C 的對邊，且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1,則（）A. a, b, c成等差數(shù)列C. a, c, b成等差數(shù)列B. a, b, c成等

4、比數(shù)列D. a, c, b成等比數(shù)列12.數(shù)列?中,?= 2,且anan 1nan an 12(n2），則數(shù)列而需前2019（' ?""項(xiàng)和為（）40364039 2019* 2020、填空題（每小題5分，共20分）C.4037201920191010113 .已知等比數(shù)列a。的首項(xiàng)為1,若4a1, 2a2 , a3成等差數(shù)列，則數(shù)列2 an的前3項(xiàng)和為.14 .已知向量a,2，向量b 5,5，且a與b的夾角為銳角，則 的取值范圍是4csin C ,15 . ABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b , c ,已知asin A bsin Bcos A4,

5、則sin Bsin Cr r16 .已知a , b是兩個(gè)單位向量，與a , b共面的向量c滿c2 （a b） c a b 0 ,則c的最大值為 .三、解答題(共70分)17 .在 ABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B, C所對的邊為a, b, c,若4ABC的面積為a cos B b cos A 2 cos C ab6c2禽,，且，求：(I)角 C ;(II) ABC的周長.18 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.若a1 b1 3, a4 b2 , S4 T2 12.(I)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(II)求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和Q .19 .已知數(shù)列an的首項(xiàng)是2,

6、且an 2an 1 2n(n 2n N)Sn是其前n項(xiàng)和a，(I)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(II)求 Sn.20 .已知向量？ ？輛足|?" v3, |?匕1,設(shè)？有？?勺夾角為9, (I)若對任意實(shí)數(shù)X,不等式|?Ax?> |?仔？機(jī)成立,求cose的值；，一 ,一(,一，I->，*、(II)根據(jù)(I)中？?! ？?勺夾角8值，求？為？+2?夾角的余弦.21 .如圖，平面四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，AB 1,BC 石，AC CD , AC CD ,(I)當(dāng) ABC =150° 時(shí)，求 AD長；(II)當(dāng) ABC變化時(shí)，求對角線BD的最大長度.s

7、incos. 2Z- sin()(提示：4 )22 .(本題12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn , 41 ,222sn(n 1) an n an 1 ,數(shù)列6的前n項(xiàng)和為Tn ,且滿足 Tn 2bn an .(nN)(I)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(ID參考答案一、選擇題（每小題5分，共60分）1 .已知等差數(shù)列an滿足a1=1 , an 1 an =3,則a11等于（）A. 40B. 31C. 21D. 15【答案】B解：二,等差數(shù)列an滿足 a1 = 1, an+2- 0）=6, . 83=6+1=7, a5=6+7=13, a7=6+13=19, a9=6+19=25, an=6+2

8、5=31.BC = 32,則 AC=（）2 .在AABC 中，若/A=60°, / B = 45°A. 4mB. 2小C乖【答案】解析：選BB由正弦定理得:黑=晶即藕,亮5，。所以AC金2= 2 3.3.已知向量a,ai 1 , lb艮且a與b的夾角為石，則(a b) (2a b)A. 1【答案】B.【解析】4.已知向量A. 1【答案】【解析】2a(1,2),因?yàn)橛?a b)故選C.5. AABC的內(nèi)角則角C=(【解析】且 S»AABCc,b 2a2b ( 2,3)(1,2), b2 ,2 3所以(a+523 =0因?yàn)閎2(4,5),若(aC.22,3),b) c

9、 0,解得2.A, B, C的對邊分別為冗B.3a2+ b2 c2 = 2abcos C,2+b2c24，2abcos C 1 ,所以 Szabc=4=2absin C,所以,一萬又 CC (0, nt)故 C = juuu uuub)c,1.故選A.2則實(shí)數(shù)D. 2a, b, c,若AABC的面積為冗C.4冗D.6tan C= 1.uuu6.已治BCS點(diǎn)共線，紫冽月=(OCa110A(n an)OBA. 16B. 10C. 6D. 8a2+b2-c2,則a5等于7 .中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請

10、公仔細(xì)算相還?！逼湟馑紴椋河幸粋€(gè)人 走了 378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天所走的路程為前一天的一半，走了 6天到達(dá)目的地，請問第二天走了（）A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里【答案】B uuuuuu8 .在矩形ABCD中，AB = 4, AD 2 .若點(diǎn)M , N分別是CD , BC的中點(diǎn),uuuu uuuu則 AM MN ()A. 4B. 3C. 2D. 1【解析】方法一、由題意作出圖形，如圖所示:1 uur1 uur1 uuur-BC-DC-AD2221 uuu AB.2uuuu uuuu. AM MNuuur 1 uuurAD -AB21 uuur

11、1 uuu-AD -AB 22uun uuur uuur uur 1 uur AM AD DM AD AB , 2uuuu uuur uuuu 1 uuu 1 uur MN CN CM CB CD 2214-162.1 uuur 2 1 uuu 2-|AD|2 - |AB|224故選：C.方法二、建立平面直角坐標(biāo)系9 .在4ABC中，a=x, b=2, B=45 ,若這樣的4ABC有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)x的取值范 圍是（）A.（2,+2B.（0,2）C.（2,2/2）D.（血，2）【答案】C10 .在等比數(shù)列an中，a3, ai5是方程x2 + 6x+ 2=0的根，則 匿產(chǎn)的值為（）A.B.一取 C取

12、 D- -V2或出【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍3, ai5是方程x2+6x+2 = 0的根,a2a16所以 a3 ai5=a9 = 2, a3+ai5= 6,所以 a3<0, ai5<0,則 a9=一我，所以二 二a9a9= a9 = 2,故選 B.a911 .在/ABC 中，a, b, c分別為角 A, B, C 的對邊，且 cos2B+cosB+cos（A-C）=i,則（）A. a,b,c成等差數(shù)列B.a,b,c成等比數(shù)列C. a,c,b成等差數(shù)列D.a,c,b成等比數(shù)列【答案】BI2.數(shù)列?）中，？= 2,且 an an inan an ii2（n 2兀

13、則數(shù)列寸前20i9項(xiàng)和為（20i9)B 4039 , 2020C.4037201920191010【答案】D?【解析】：？?+ ?-i = ?；?；7+ 2 (?2),2 an an 1 n ,整理得：(？?- 1)2 - (?-i - 1)2 = ? (?- 1)2 - (?- 1)2 =?+(? 1) + ? ? + 2,又？= 2,. (?-1)2?？+i）2，可得:121？i )2 = ?e = 2弓i?+i) ,則數(shù)列（Vd或前2019項(xiàng)和為：2（1 - 2+2- 3+ ? +嘉-六）=2(12020 )20191010【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、累加求和”方法、裂項(xiàng)求和

14、，考查 ,1a3成等差數(shù)列,則數(shù)列 an了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題. 二、填空題(每小題5分，共20分)13 .已知等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為1,若4ai , 2a2 ,的前3項(xiàng)和為案】 解：等比數(shù)列a的首項(xiàng)為1, V4ai, 2嗎a3成等差數(shù)列,2X 2a2=a3+4ai, 4a1q=a1 (q2+4),解得 q=2.an=2n 1, - =.則數(shù)列f的前3項(xiàng)和為.14 .已知向量a ,2 ,向量b 5,5，且a與b的夾角為銳角，則 的取值范 圍是.【解析】由于5與b的夾角為銳角,a b 0,且a與b不共線同向，由a b 05入10 0,解得入2,當(dāng)向量a與b共線時(shí)，得5入10,

15、得入2,因此的取值范圍是入2且入2.4csin C ,15 . ABC的內(nèi)角A , B , C的對邊分別為a , b , c ,已知a sin A bsin B1sin Bcos A 一 ,則二4sin C答案6r . r r r r r16.已知a , b是兩個(gè)單包向重，與a , b共面的向重c c (a b) c a b 0 ,r則c的最大值為.【解析】由,2- （ I十萬）？ W + /一萬=0 得：（P-H） ? （F-1）=0 ,即（一萬）1 （不;石），設(shè), =,.=, ' 1 =,則 =:, =,1,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上運(yùn)動，由圖知：當(dāng)DC,AB時(shí)，|DC|DC&

16、#39;, |設(shè)/ADC=,則 |DC|=|DO|+|AO|=sin 9 +cos 9,所以當(dāng)廿=:時(shí)，|DC|取最大值V2 ,、解答題（共70分）17.在 ABC中，三個(gè)內(nèi)角A, B, C所對的邊為a, b, c,若4ABC的面積為a cos B b cos A 2 cos Cab6、 .c273,，且，求：(I)角 C ;(II) ABC的周長.17.解：(1)acosB+bcosA sinAcosB+sinBcosA sinCA+B)sinCsinCA+B)=1 ，即有 2cosc=1,可得 C=60 ;(2)若S"bc=2/,貝U"absinC=21/ ,即為 ab

17、=8,又a+b=6,由 c2=a2+b2 2abcosC=(a+b) 2 2ab ab=(a+b)2 3ab=62 3X 8=12,解得 c=2/3 ,故周長為 6+2 .18 .已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.若ai bi3, a4 b2 , S4 T2 12 .(I)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(II)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Q .【答案】(I) an 2n 1,bn3n ； (H) n(n 2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,則a224 3d 6 3d 12 ,所以 d 2.【解析】(I)由闞"，a4b2,b2) a2 a312 ,則 S4 T2 (

18、a1 a2 a3 a4 ) (b1所以 工 3 2(n 1) 2n 1.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,由題b2a49,即b2 bq 3q 9,所以q 3.所以bn3n；(11) anbn (2n 1) 3n,所以anbn的前n項(xiàng)和為(Aa2Lan)gb2Lbj2 ,4(3 2n 1)n 3(1 3n)/3(3n1)(3 5 L 2n 1) (3 3 L3 )n(n2).21 3219 .已知數(shù)列an的首項(xiàng)是2,且an 2an 1 2n(n 2n N ) Sn是其前n項(xiàng)和2(I)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(II)求 Sn.19 .【解答】解：(1)(2) sn=n?21,故 Tn=1X2+2X4+3&g

19、t;8+ - +n?2作差可得:2Tn=1 X4+2 X8+3 X16+n?2+1, Tn=2+4+8+2n- n?2nl+1=2n+1-2 - n?2n+1,故 Tn= (n1) ?2n+1+2.一 » 一一 , .20 .已知向量？ ？輛足|?" v3, |?匕1,設(shè)？有？?勺夾角為9, (I)若對任意實(shí)數(shù)x,不等式|?+x?戶|?+?1成立,求cosB的值;，一1 一一 ，T，T T ，八一 /一、(II)根據(jù)(I)中？?!?勺夾角8值，求？石?+2?夾角的余弦. 解：(1)將不等式|?+x?> ?+?,兩邊平方化為一元二次不等式cos 0=f.f T* 1(2)，與白+2t1的夾角余弦值為.321 .如圖，平面四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部， AB 1,BC 33, AC CD , AC CD ,(I)當(dāng) ABC =150° 時(shí)，求 AD長；(II)當(dāng) ABC變化時(shí)，求對角線BD的最大長度.sincos./2- sin()(提示：4 )【答案】(1)(2) 1娓【解析】設(shè)/ABC= % /ACB= &則由余弦定理得,AC2=1+3-2x1 73 cos4-2點(diǎn)cos a；由正弦定理得AC sinABsin '則 sin Bsin4 2 3cos所以