數(shù)列通項(xiàng)公式方法大全很經(jīng)典.

1、1,數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法:(1)公式法(構(gòu)造公式法)例1已知數(shù)列an滿足an書=2an+3父2、a, =2 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：an.=2an +3M2n兩邊除以2n。得需 = an+3,則需牛=S故數(shù)列半是 2222222以斗=2=1為首項(xiàng) 以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得3 = i+(n_1)0,21 222n231 n所以數(shù)列&的通項(xiàng)公式為an=( n - )2 o22評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an4 =2an + 3M 2n轉(zhuǎn)化為 第2=口，說明數(shù)列222an是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an =1+(n-1)1 ,進(jìn)而求出數(shù)列 a

2、n的通項(xiàng)公式。(2)累加法例2已知數(shù)列an滿足an書=an +2n +1,a=1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由 an噌 =an+2n+1 得an+an =2n+1 則an =(an -an)(an-an- 山(a3 -a2) (a2 -a) a,= 2(n-1) 1 2(n-2) 1(2 2 1) (2 1 1) 1-2(n -1) (n -2)用 2 1 (n -1) 1= 27T(n.1).1=(n -1)(n 1)12二 n所以數(shù)列斗的通項(xiàng)公式為an =n2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an41 = an +2n+1轉(zhuǎn)化為an書-an =2n + 1 ,進(jìn)而求出(anan)+(a

3、n4-ani)+HI + (a3a2)+(a2-a)+a,，即得數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式：已知數(shù)列an滿足an噌 =an +2父3n +1, a1 = 3 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例3已知數(shù)列an滿足an邛=2(n+1)5nM an,a=3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。a解：因?yàn)?an+=2(n+1)5nxan, a1 =3,所以 an =0,則上=2(n+1)5n,故 anan ama3 a2 均analanan2a2 ai_n 1n 2_21_二2(n-1 1)5 2( n-2 1)5 III 2(2 1) 5 2(1 1) 5 3-2nln(n -1) JI 3 2 5(nJ) (n),2 1

4、 3n(n J)=3 2nl 5 n!n(n_1)所以數(shù)列4的通項(xiàng)公式為an=3M2nlM5 2 Mn!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系44=2何+1)51父小轉(zhuǎn)化為 亙f=2(n+1)5n，進(jìn)而求an出包，曳二川,a3 ,a2詡，即得數(shù)列&的通項(xiàng)公式。On J an _2a2 a1變式:已知數(shù)列an滿足 a1 =1, an =a1 +2a2 +3a3 +| + (n -1)an_1(n > 2),求an的通項(xiàng)公式。(4)待定系數(shù)法例4已知數(shù)列an滿足an書= 2an +3父5 a1 = 6 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an書十xm5n41 =2(an +x5n)將an+=

5、2an +3M5n代入式，得2%+ 3M5n+ xm5n+=2+2cM5等式兩邊消去2an ,得3 G + x - 5141 =余- 51,兩邊除以5n ,得3 + 5x = 2x則x = -1代入式得an+ 5n +=2(an 5n)1na 5 1由 a151 =65=1 #0 及式得 an5n #0,則上一 = 2,則數(shù)列an5n是以 an- 5n-1n n 1n 1 nai -5 =1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則 an 5 =2,，故an =2+5。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an書=2an +3x5n轉(zhuǎn)化為an45.=2(an 5n),從而可知數(shù)列an-5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求

6、出數(shù)列 an-5n的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。變式：已知數(shù)列an滿足an+ =3an+5M 2n+4, a1 =1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列an滿足an+ =2an +3n2 +4n +5,a=1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(5)對數(shù)變換法例5已知數(shù)列an滿足an書=2 M3n父a5, a1 = 7 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)閍n書=2M3nMa5,a=7,所以an >0, an書>0。在an+=2父3”父a5式兩邊取常用對數(shù)得lgan由=5lg an+nlg3+lg2 設(shè) lgan+x(n+1) + y =5(lgan +xn + y)將式代入 式，得5lg

7、an +n lg 3 lg 2x n« 1)y= 5Qg+xn + y ,兩邊消去5lgan 并整理，得(lg3 +x)n + x +y + lg 2 =5xn +5y ,則x;蛆lg3 x =5x ,44，故，4x y lg2 =5y _ lg 3 Ig 2y- 164代入式，得lgan+稔6+1)+/+叱= 5(lgan+空門+觸+庭)的41644164m 1g 3 lg 3 lg 21g 3 lg 3 lg 20由 1ga1+” 父1+” +” =1g7+ 父1+¥0 及41644164lg3n1g31g2信lg an+ n十十豐0,lg an 1lg344164/

8、彳 1g3 1g2(n 1)164,1g31g3 1g2lg an n 4164所以數(shù)列幻2口+93門+93+92是以幻7 +93+93+92為首項(xiàng)，以5為公比的等 41644164比數(shù)列，則lgan +幽n+股+92 =(耳7+蛆+史+旦2)5n，因此41644164lgan=(lg7幽蛇幽)5n-魴n-4164464111n11Klg7 lg34 1g36 lg2')5n，lg3, lg3行-lg24111n 11二lg(7 34 316 24)5nd -lg(34 316 24)111n 11= lg(7 34 3詞 24)5nd lg(34 3否 2%)5n 1-n5n T5n

9、 7= lg(75n,3k 3b 2丁)5n .4n J5n - 1= lg(75n,3 162k)5n 4n 15n -4Cn 1則 an =75 一父3 16 父2 4 。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an書=2父3n父a：轉(zhuǎn)化為lg 3 lg 3 lg 2lg 3 lg 3 lg 2lg an書 + (n +1)+-g-+-g-=5(lg an +g n +-g- +-g-),從而可知數(shù)列41644164lg 3 1g 3 1g 2 八lg 3 lg 3 lg 2lg an + n +是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 lg an+" n + -g+-g的通項(xiàng) 41644

10、164公式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(6)數(shù)學(xué)歸納法例6已知數(shù)列an滿足an+=an +迎n2, a1=,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(2n 1)2(2n 3)29解：由 an1二an .8(n 1)22(2n 1) (2n 3)8(1 1)8 8 224a2二 a1122= 一1二(2 1 1)2(21 3)29 9 25 25a3 T _8(2.1_2 0 .三，(2 2 1)2(2 2 3)225 25 49 49a4 = a3.8(3 1)(2 3 1)2(2 3 3)2488 480_+49 49 81 81由此可猜測an = 1)2 1,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(2n 1)2

11、2(1)當(dāng)n=1時(shí)，&=(2父1 1) 1 =8,所以等式成立。(2 1 1)29(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即ak =(2k 1)2 -12(2k 1)2,則當(dāng)n = k +1時(shí),8(k 1)ak 1 = ak -22(2k 1)2(2 k 3)22_ (2k 1)2 -18(k 1)一 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)22(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2222(2k1)2(2k3)2 -(2k1)2一(2k1)2(2k3)2_ (2

12、 k3)2-12(2 k 3)222(k 1) 12 -1一 2(k 1) 12由此可知，當(dāng)n = k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 nw N都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。(7)換元法1 一 .例7已知數(shù)列an滿足an邛=(1 + 4an + J1 +24an), a1 =1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1612斛：令 bn = J1 +24an ,則 an = (bn 1)2441 , 2 1 一、，一故 an 4=24(bn41),代入 an¥=16(1+4an +j1

13、+24an)得工 1 -1)二1 4492 -1) bn241624即 4b；1 =(bn 3)2因?yàn)閎n =J1+24an父0,故04=51十24%.至013則 20書=0+3,即 bn+ = 2bn + 2,一，、，1可化為 bn+-3=-(bn -3), 2所以bn 3是以b, _3 = J1 +24a1 3 = J1+24M1 3 = 2為首項(xiàng),以1為公比的等比數(shù)一 .一111 1n O列，因此 bn3=2()n'=(y/,則 bn=(_)n/+3,即 J1 +24an =(_) +3 ,得2222n+L3評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將J1 + 24an的換元為bn ,使得所給遞

14、推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 3bn# =bn +形式，從而可知數(shù)列bn 3為等比數(shù)歹U,進(jìn)而求出數(shù)列bn3的通項(xiàng)公式,2 2最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(8)不動(dòng)點(diǎn)法21a -24例8已知數(shù)列an滿足an由=,a1 = 4 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4an 1即 221x -24 小 221x 24.解：令 x =，得 4x 20 x 池 0 ，則 x1 =2, x2 =3是函數(shù) f (x)=的4x 14x 1兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?1an -24 2所以數(shù)列an 1-2 _ 4an 1_ 21an -24 -2(4an1) _13an -26 _ 13an -2an 1-3 - 21an-24- 21an -

15、24 -3(4an1) - 9an -27 - 9an -3一 34an 1anana1 -2a1 - 34 -24-3=2為首項(xiàng)，以13為公比的等比數(shù)列，故9an - 2an -'313、n=2日)，9則an+ 3。評注:本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f(x)21x -2421x - 24的不動(dòng)點(diǎn)，即方程x二的兩4x 14x 1個(gè)根x1 =2, x2 = 3,進(jìn)而可推出an 1an 1-2-313 an -29 an -32,從而可知數(shù)列n卜為等比數(shù) an - 3an，J， an -2 3、xh,一日，、列，再求出數(shù)列«/一 '的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。

16、an-37a -2例9已知數(shù)列an滿足an書=,a1 = 2 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2an 3. 7x -22.3x-1 解：令x =，得2x 4x + 2 = 0 ,則x = 1是函數(shù)f (x)=的不動(dòng)點(diǎn)。2x 34x 7因?yàn)閍 1 = 當(dāng)二2 _1 = 5a二5 ,所以2an 32an 3an =2(1)n +(1)n +1。 3 423評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將1 + 24an的換元為bn ,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 3bn噂 =bn+一形式，從而可知數(shù)列bn3為等比數(shù)歹U,進(jìn)而求出數(shù)列bn3的通項(xiàng)公式,2 2最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。課后習(xí)題：1 .數(shù)列 五,娓2衣,布III,

17、的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A、an= J3n -3B、an=J3n-1 C、an = J3n +1D、an =v3n+32 .已知等差數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為an=3 2n ,則它的公差為(A、2B、3C、 -2D、33 .在等比數(shù)列an中，a1=16,a4=8,則 a7 =()A、-4B、±4C、-2D、士24,若等比數(shù)列an的前項(xiàng)和為Sn ,且Sio =10, S20 =30,則S30 =5 .已知數(shù)列an通項(xiàng)公式an =n2 -10n+3,則該數(shù)列的最小的一個(gè)數(shù)是 1na16 .在數(shù)列an中，闞=且an =(n w N1 則數(shù)列 卜的刖99項(xiàng)和等2n 1 - anan于.7 .已知an

18、是等差數(shù)列，其中a1 =31,公差d =-8。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列an從哪一項(xiàng)開始小于0?(3)求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng) n的值.8 .已知數(shù)列4 的前項(xiàng)和為Sn =n2 +3n+1,(1)求 a1、a2、a3 的值；(2)求通項(xiàng)公式an o9 .等差數(shù)列Qn1中，前三項(xiàng)分別為x,2x,5x - 4,前n項(xiàng)和為Sn ,且Sk=2550。(1)、求x和k的值;,、1111(2)、求 TnJ+'+'l +;SiS2S3Sn數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)知識比較一覽表等差數(shù)列等比數(shù)列遞推關(guān)系* an 平-an = a2 -a( n 匚 N ) an4 -

19、an =d( nu N ) an.an =an an-(n 之2)土=%(nWN*)anaian! =q( q# 0,nw N*)an虹=亙(n"nwN*)anan通項(xiàng)* an = a1 + (n -1)d( n = N ) an = pn+q (p,q為吊數(shù)，n=N)n 1一一* an = a1 q( n 匚 N )nrr 、r, 、r1* an = p q ( p,q是吊數(shù)，q # 0, p# 0,nu N)求和公式 2Sn = n(a1+an)(n=N ) Sn = na1 + n(-1 d(n w N *)2 Sn =An2+Bn(A,B是常數(shù)，M N )n n Vn*求積公

20、式 口 ai | =(a1an) (n= N )nai,q=1 Sn = «a1(1-q )(n= N )I .,q#1l 1 -qna，q=1* Sn =«n(nW N , A#0)A-Aq ,q=1主*右 p+q=s+r, p、q、s、r=N 則ap +aq =as +a.對任意c>0,c=1,can 為等比數(shù)列. an+an4=2an,n= N ,n >2.若口、>分別為兩等差數(shù)列，則Gn +如為等差數(shù)列.*右 p+q=s+r, p、q、s、e n，則 apaq = asar.對任意c>0,c=1,若an恒大于0,則logcan為等力列.an由

21、an=a；,nW N*,n 2 2.若Qn、bn為兩等比數(shù)列，則anbn）為等比數(shù)列.要丁 若an恒大于0,則數(shù)列川口 ai卜為等比數(shù)列.月j若bn為正項(xiàng)等差自然數(shù)列，則 abn為等比數(shù)列.數(shù)列S_l為等差數(shù)列.In JSn,S2n - Sn,S3n - S2n，為等比數(shù)列.性若bn 為正項(xiàng)等差自然數(shù)列,則a* 為等差n, n_m ni'n ai =nNm'n ai ， n>2m , m、 T、i封書數(shù)列.*n w N Sn，S2n 一 Sn，S3n - S2n，為等差數(shù)列.一一*ap >0, pu N .質(zhì) S_ = Sn. -Sm ,門知， nn -2m-一*m

22、、 nu N . SmXSm+qmSn = Sn+qnSm.若 a1a2"，am = a1aan, m * n, 1 =Sm +Sn +mnd .若Sm=Sn，m#n,則Sm而=0.m4n則口 ai =1.i4重若 ap =q,& = p,p、qw N*，且 p#q,Smn =Sm(1 + qm+q2m +4"")要?jiǎng)tap七=0.二 Sn(1 + qn+q2n 十一 十q(m,)n).性若 Sp =q,Sq =p，且p=q，則若 lal<1 用1 lim S - q a1質(zhì)一一*Sp+=(p+q), p、qu N|q|、i/、u iim On - S

23、 .+1-q求數(shù)列an通項(xiàng)公式的方法1. an邛= an + f (n)型累加法：an=(anan/)+ ( anan/)+ (a2a1)=f(n -1)+ f (n 2)+ f(1)+a1例1.已知數(shù)列 an滿足& =1, an41 = an+2n(neN+),求an.解an =an - an+ an一 an/+ a2 a +a1n 1n _21=2+ 2+ 2 +11 _2nn /=2 一 11 -2n，一、.an = 2 -1 (ne n+)3. ai = g(n)型an累乘法：an=§ an 4ana2一 , a1ana1an 1例2.已知數(shù)列 an滿足=n (ne

24、N+), 4 =1,求an.ani an解an = 一 an 4an 4ani曳a1a1=(n 1) (n 2) I - 1= ( n 1)!an = (n 1)!( nG N+)2. an卅=pan +q型（p q為常數(shù)）方法：（1）an書+= P（an +），P-1p-1列的相關(guān)知識求an.（2）an書-an =再用累加法求p(an -anj)an.ann：=ann+'PPP國,先用累加法求再根據(jù)等比例3.已知 an 的首項(xiàng)a1 =a (a為常數(shù))，an =2an+1 (ne N + , n> 求an.解設(shè)an 入=2( an一人)，貝U入=1an+1=2 ( an+1)an

25、 +1為公比為2的等比數(shù)列.n 1an +1= (a+1) 2n 1, an = (a+1) 214. an+=pan + f(n)型(p為常數(shù))方法：變形得"a震=-arP Pan 則17可用累加法求出，由此求f (n)n書'Pan .Pn 1 例 4.已知 an 滿足 a =2, an 由=2 an+ 2.求 an.a an 1an解=27+1an2n an2n為等差數(shù)列.5. an2 = pan + + qan 型（p、q為常數(shù)）特征根法：x2 = px + q（1） Xi ¥X2時(shí)，an =Ci Xin +C2 - x2（2）x1 =x2 時(shí)，an = （

26、C1 +C2 n） x1n例 5.數(shù)列 an中，a=2, a2=3,且 2an = an+an書（nG N+, n>2）,求 an. 解an +=2 an - anx2 =2x -1x1 = x2 =1an= （C1 + C2 n） 1n = Ci + C2 - nC +c2 =2 fc1 =1G+2C2=3C2=1J_an = n 1（n N ）6.“已知Sn,求an ”型方法：an = Sn Sn(注意&是否符合)3例 6.設(shè) Sn為 an的前 n項(xiàng)和，Sn = ( an 1),求 an (ne n2-3 ，、解Sn = （ an 1）（neN+）2:當(dāng) n=1 時(shí)，&

27、; =0 （ a1 1）2& =3當(dāng)n>2時(shí)，an = Sn - Sn3 /3 ,=-（an-1）-（ an一1）22;an =3 anan = 3n（neN+）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和的方法(1)倒序相加法(2)公式法此種方法主要針對類似等差數(shù)列中此種方法是針對于有公式可套的數(shù)列，如等差、等an +a1 =an4 +a2 =111川，具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列.比數(shù)列，關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特點(diǎn)，找出對應(yīng)的公式.例：等差數(shù)列求和公式：Sn =& +a2 +lll+an等差數(shù)列：=a1+S+d)+用+a1+(n -1)d= n(a1±an)+d22把項(xiàng)的次序反過來，則：n(n1)

28、=nand2Sn =an 十(an -d)十| 十a(chǎn)n(n1)dSm”Sm+Sn+mnd+得：=-n- (n > 2m, m,n w N )n2Sn =(a1 +an )+(a +an)+IH+(ai +an)n n -2m等比數(shù)列：= n(ai + &)Sn J(1-qn) J-anq； (q#1) 1-q1-qcn(ai+an)Sn2sm4n = Sn + smqn 1+2+3+n = () ;212 +22 +32 +HI +n21=n(n +1)(2n +1)613 + 23 + 33 +| + n3= (1 + 2 + 3+| + n)212,2=-n (n+1)4(3

29、)錯(cuò)位相減法(4)分組化歸法此種方法主要用于數(shù)列 anbn的求和，其中此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列，可將其通項(xiàng)寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進(jìn)行求和，再綜4為等差數(shù)列，bn是公比為q的等比數(shù)列，合求出所有項(xiàng)的和.只需用Sn -qSn便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和，但要注意討論q=1和qwi兩種情況.例：試化簡卜列和式： ,1,1,1例：求數(shù)列1, 1, 1 + +7,Sn =1 +2x+3x2 +| + nxn,(x#0)111 一1+ + 4+2 的和.解：右 x=1 ,貝U Sn=1+2+3+n = n)211 .1斛：- an =1 十一十一 十111 + I2 42n若 xw1,則

30、Sn =1+2x+3x2 +|H + nxn-xSn = x 2x2 3x3 | H nxn兩式相減得:2 n 1 n(1 -x)Sn =1 x x + x- nx(J，11 12nJ12-111Sn =1 (1 n) (1 n - ) I22 411(1- ' III -2 411 -xn n nx1 - xc 1 -xnnxnSi2 一(1 -x) 1 -x=(2 -1) (2-2) (2 -22)1UI (2-臺(tái))111=2n -(1-|H- fj)2 42n1=2n-2 *(5)奇偶求和法(6)裂項(xiàng)相消法此種方法是針對于奇、偶數(shù)項(xiàng)，要考慮符號的數(shù)列，要求Sn,就必須分奇偶來討論， 最后進(jìn)行綜合.例：求和Sn =1 -3 5 7 III (-1尸(2n-1)解：當(dāng) n = 2k (k WNk)時(shí),Sn =S2k=(1-3)(5-7)III (4k-3)-(4k-1)-2k - -n當(dāng) n=2k-