平面向量復(fù)習

1、第五章 平面向量網(wǎng)絡(luò)體系總覽考點目標定位1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.2.掌握向量的加法與減法的運算律及運算法則.3.掌握實數(shù)與向量的積的運算律及運算法則.4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.復(fù)習方略指南向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，它廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實踐和科學(xué)研究中，其重要性逐漸加強.從近幾年高考試題可以看出，主要考查平面向量的加減運算、平面向量的坐標表示、平面向量的數(shù)量積、圖形的平移等基本概念、運算及簡單應(yīng)用.隨著新教材的逐步推廣、使用，“平面向量”將會成為命題的熱點，一般選擇題、填空題重在考查平面向量的概念、數(shù)量積及其運算律.

2、本單元試題的常見類型有：（1）與“定比分點”有關(guān)的試題；（2）平面向量的加減法運算及其幾何意義；（3）平面向量的數(shù)量積及運算律，平面向量的坐標運算，用向量的知識解決幾何問題；（4）正、余弦定理的應(yīng)用.復(fù)習本章時要注意：（1）向量具有大小和方向兩個要素.用線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān)系，同向且等長的有向線段都表示同一向量.（2）共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進一步研究向量的基礎(chǔ).（3）向量的加、減、數(shù)乘積是向量的線性運算，其結(jié)果仍是向量.向量的數(shù)量積結(jié)果是一個實數(shù).向量的數(shù)量積，可以計算向量的長度、平面內(nèi)兩點間距離、兩個向量的夾角，判斷

3、相應(yīng)的兩條直線是否垂直.（4）向量的運算與實數(shù)的運算有異同點，學(xué)習時要注意這一點，如數(shù)量積不滿足結(jié)合律.（5）要注意向量在幾何、三角、物理學(xué)中的應(yīng)用.（6）平面向量與空間向量的數(shù)量積及坐標運算是高考的重點，復(fù)習中要注意培養(yǎng)準確的運算能力和靈活運用知識的能力.向量的概念、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積知識梳理1.平面向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，或用，表示.（3）模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或|.（4）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作

4、0；零向量的方向不確定.（5）單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.（6）共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規(guī)定零向量與任何向量共線.（7）相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2.向量的加法：（1）定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.（2）法則：三角形法則；平行四邊形法則.（3）運算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.3.向量的減法：（1）定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法.（2）法則：三角形法則；平行四邊形法則.4.實數(shù)與向量的積：（1）定義：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，規(guī)定：|a|=|a|.當0時，a的方向與a的方向相同；

5、當0時，a的方向與a的方向相反；當=0時，a與a平行.（2）運算律：（a）=（）a，（+）a=a+a，（a+b）=a+b.5.兩個重要定理：（1）向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b=a，即bab=a（a0）.（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且僅有一對實數(shù)1、2，使a=1e1+2e2.點擊雙基1.（2004年天津，理3）若平面向量b與向量a=（1，2）的夾角是180°，且|b|=3，則b等于A.（3，6）B.（3，6）C.（6，3）D.（6，3）解析：易知a與b方向相反，可設(shè)b=

6、（，2）（0）.又|b|=3=，解之得=3或=3（舍去）.b=（3，6）.答案：A2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sin，cos），且ab，則tan等于A.B.C.D.解析：由ab，3cos=4sin.tan=.答案：A3.若ABCD為正方形，E是CD的中點，且=a，=b，則等于A.b+aB.baC.a+bD.ab解析：=+=+=ba.答案：B4.e1、e2是不共線的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，則a與b共線的充要條件是實數(shù)k等于A.0B.1C.2D.±1解析：a與b共線存在實數(shù)m，使a=mb，即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共線

7、，k=±1.答案：D5.若a=“向東走8 km”，b=“向北走8 km”，則a+b|=_，a+b的方向是_.解析：|a+b|=8（km）.答案：8 km 東北方向典例剖析【例1】 已知向量a、b滿足|a|=1，|b|=2，|ab|=2，則|a+b|等于A.1B.C.D.剖析：欲求|a+b|，一是設(shè)出a、b的坐標求，二是直接根據(jù)向量模計算.解法一：設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則x12+y12=1，x22+y22=4，ab=（x1x2，y1y2），（x1x2）2+（y1y2）2=4.x122x1x2+x22+y122y1y2+y22=4.12x1x22y1y2=0.2x1x

8、2+2y1y2=1.（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.|a+b|=.解法二：|a+b|2+|ab|2=2（|a|2+|b|2），|a+b|2=2（|a|2+|b|2）|ab|2=2（1+4）22=6.|a+b|=.故選D.深化拓展此題也可以利用“解斜三角形”的方法進行處理.【例2】 如圖，G是ABC的重心，求證：+=0.剖析：要證+=0，只需證+=，即只需證+與互為相反的向量.證明：以向量、為鄰邊作平行四邊形GBEC，則+=2.又由G為ABC的重心知=2，從而=2.+=2+2=0.評述：向量的加法可以用幾何法進行.正確理解向量的各種運算的幾何意義，

9、能進一步加深對“向量”的認識，并能體會用向量處理問題的優(yōu)越性.深化拓展此題也可用向量的坐標運算進行證明.【例3】 設(shè)、不共線，點P在AB上，求證：=+且+=1，、R.剖析：點P在AB上，可知與共線，得=t.再用以O(shè)為起點的向量表示.證明：P在AB上，與共線.=t.=t（）.=+tt=（1t）+t.設(shè)1t=，t=，則=+且+=1，、R.評述：本例的重點是考查平面向量的基本定理，及對共線向量的理解及應(yīng)用.深化拓展本題也可變?yōu)?，不共線，若=+，且+=1，R，R，求證：A、B、P三點共線.提示：證明與共線.當=時，=（+），此時P為AB的中點，這是向量的中點公式.【例4】 若a、b是兩個不共線的非零向

10、量（tR）.（1）若a與b起點相同，t為何值時，a、tb、（a+b）三向量的終點在一直線上?（2）若|a|=|b|且a與b夾角為60°，那么t為何值時，|atb|的值最小?解：（1）設(shè)atb=ma（a+b）（mR），化簡得（1）a=（t）b.a與b不共線，t=時，a、tb、（a+b）的終點在一直線上.（2）|atb|2=（atb）2=|a|2+t2|b|22t|a|b|cos60°=（1+t2t）|a|2，t=時，|atb|有最小值|a|.評述：用兩個向量共線的充要條件，可解決平面幾何中的平行問題或共線問題.思考討論兩個向量共線與兩條線段在一條直線上是否一樣?闖關(guān)訓(xùn)練夯實基

11、礎(chǔ)1.（2004年廣東，1）已知平面向量a=（3，1），b=（x，3）且ab，則x等于A.3B.1C.1D.3解析：由ab，則3x3=0，x=1.答案：B2.若a、b為非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，則有A.ab且a、b方向相同B.a=bC.a=bD.以上都不對解析：a、b為非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，ab且方向相同.答案：A3.在四邊形ABCD中，等于A.B.C.D.解析：=+=.答案：C4.設(shè)四邊形ABCD中，有=且|=|，則這個四邊形是A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形解析：=，DCAB，且DCAB.又|=|，四邊形為等腰梯形.答案：C5.l1、l2是不共線向

12、量，且a=l1+3l2，b=4l1+2l2，c=3l1+12l2，若b、c為一組基底，求向量a.解：設(shè)a=1b+2c，即l1+3l2=1（4l1+2l2）+2（3l1+12l2），即l1+3l2=（4132）l1+（21+122）l2，解得1=，2=，故a=b+c.6.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.解：e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（

13、2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.2t2+15t+70.7t.設(shè)2te1+7e2=（e1+te2）（0）2t2=7t=，=.當t=時，2te1+7e2與e1+te2的夾角為.t的取值范圍是（7，）（，）.思考討論向量a、b的夾角為鈍角，則cosa，b0，它們互為充要條件嗎?培養(yǎng)能力7.已知向量a=2e13e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共線，向量c=2e19e2.問是否存在這樣的實數(shù)、，使向量d=a+b與c共線?解：d=（2e13e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（3+3）e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實數(shù)k，使d=kc，即（2+2）e1+（3

14、+3）e2=2ke19ke2，由得=2.故存在這樣的實數(shù)、，只要=2，就能使d與c共線.8.如圖所示，D、E是ABC中AB、AC邊的中點，M、N分別是DE、BC的中點，已知=a，=b，試用a、b分別表示、和.解：由三角形中位線定理，知DEBC.故=，即=a.=+=a+b+a=a+b，=+=+=a+ab=ab.探究創(chuàng)新9.在ABC中，AMAB=13，ANAC=14，BN與CM交于點E，=a，=b，用a、b表示.解：由已知得=，=.設(shè)=，R，則=+=+.而=，=+（）=+（）.=（）+.同理，設(shè)=t，tR，則=+=+t=+t（）=+t（）.=（）+t.（）+=（）+t.由與是不共線向量，得解得=+

15、，即=a+b.評述：此題所涉及的量較多，且向量與向量之間的關(guān)系較為復(fù)雜，因此對學(xué)生來說確有一定困難.通過共線向量，增加輔助量來理清向量之間關(guān)系是“探索”之所在，即對基本定理的深化及應(yīng)用.思悟小結(jié)1.我們學(xué)習的向量具有大小和方向兩個要素.用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關(guān)系.同向且等長的有向線段都表示同一向量.2.共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結(jié)構(gòu)，它們是進一步研究向量的基礎(chǔ).3.對于兩個向量平行的充要條件：aba=b，只有b0才是正確的.而當b=0時，ab是a=b的必要不充分條件.4.向量的坐標表示體現(xiàn)了數(shù)形的緊密關(guān)系，從而可用“數(shù)”來證明“形”的問題.5.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力.教師下載中心教學(xué)點睛1.本課復(fù)習的重點是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、減法運算，掌握實數(shù)與向量的積的運算.2.復(fù)習時要構(gòu)建良好的知識結(jié)構(gòu).3.向量的加法、減法運算既要注重幾何運算，又要注重代數(shù)運算.4.強化數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，尤其是數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等.拓展題例【例題】 對任意非零向量a、b