平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)

1、第三章 平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)本章重點(diǎn)介紹平均數(shù)（mean）、標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）與變異系數(shù)（variation coefficient）三個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量，前者用于反映資料的集中性，即觀測(cè)值以某一數(shù)值為中心而分布的性質(zhì)；后兩者用于反映資料的離散性，即觀測(cè)值離中分散變異的性質(zhì)。第一節(jié) 平均數(shù)平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，用來(lái)表明資料中各觀測(cè)值相對(duì)集中較多的中心位置。在畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中，平均數(shù)被廣泛用來(lái)描述或比較各種技術(shù)措施的效果、畜禽某些數(shù)量性狀的指標(biāo)等等。平均數(shù)主要包括有算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean）、中位數(shù)（median）、眾數(shù)（m

2、ode）、幾何平均數(shù)（geometric mean）及調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean），現(xiàn)分別介紹如下。一、算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)是指資料中各觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值個(gè)數(shù)所得的商，簡(jiǎn)稱平均數(shù)或均數(shù)，記為。算術(shù)平均數(shù)可根據(jù)樣本大小及分組情況而采用直接法或加權(quán)法計(jì)算。（一）直接法 主要用于樣本含量n30以下、未經(jīng)分組資料平均數(shù)的計(jì)算。設(shè)某一資料包含n個(gè)觀測(cè)值：x1、x2、xn，則樣本平均數(shù)可通過(guò)下式計(jì)算： （3-1） 其中，為總和符號(hào)；表示從第一個(gè)觀測(cè)值x1累加到第n個(gè)觀測(cè)值xn。當(dāng)在意義上已明確時(shí)，可簡(jiǎn)寫(xiě)為x，（3-1）式即可改寫(xiě)為： 【例3.1】 某種公牛站測(cè)得10頭成年公牛的體重分別為5

3、00、520、535、560、585、600、480、510、505、490（kg），求其平均體重。 由于x=500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285，n=10代入（31）式得： 即10頭種公牛平均體重為528.5 kg。 （二）加權(quán)法 對(duì)于樣本含量n30以上且已分組的資料，可以在次數(shù)分布表的基礎(chǔ)上采用加權(quán)法計(jì)算平均數(shù)，計(jì)算公式為： （3-2）式中：第i組的組中值； 第i組的次數(shù)； 分組數(shù)第i組的次數(shù)fi是權(quán)衡第i組組中值xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此fi稱為是xi的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。【例3.2】 將100頭長(zhǎng)白母豬的仔豬一月窩重

4、（單位：kg）資料整理成次數(shù)分布表如下，求其加權(quán)數(shù)平均數(shù)。表31 100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月窩重次數(shù)分布表組別組中值（x）次數(shù)（f）f x101534520256150303526910404530135050552413206065852070753225合計(jì)1004520利用（32）式得：即這100頭長(zhǎng)白母豬仔豬一月齡平均窩重為45.2kg。計(jì)算若干個(gè)來(lái)自同一總體的樣本平均數(shù)的平均數(shù)時(shí)，如果樣本含量不等，也應(yīng)采用加權(quán)法計(jì)算?！纠?.3】 某牛群有黑白花奶牛1500頭，其平均體重為750 kg，而另一牛群有黑白花奶牛1200頭，平均體重為725 kg，如果將這兩個(gè)牛群混合在一起，其混合后平均體

5、重為多少？此例兩個(gè)牛群所包含的牛的頭數(shù)不等，要計(jì)算兩個(gè)牛群混合后的平均體重，應(yīng)以兩個(gè)牛群牛的頭數(shù)為權(quán)，求兩個(gè)牛群平均體重的加權(quán)平均數(shù)，即即兩個(gè)牛群混合后平均體重為738.89 kg。 （三）平均數(shù)的基本性質(zhì) 1、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。 或簡(jiǎn)寫(xiě)成2、樣本各觀測(cè)值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即離均差平方和為最小。(xi-)2<(xi- a)2 （常數(shù)a）或簡(jiǎn)寫(xiě)為：<以上兩個(gè)性質(zhì)可用代數(shù)方法予以證明，這里從略。對(duì)于總體而言，通常用表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為： （3-3） 式中，N表示總體所包含的個(gè)體數(shù)。當(dāng)一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于所估計(jì)的總體參數(shù)時(shí)，

6、則稱此統(tǒng)計(jì)量為該總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用樣本平均數(shù)（）作為總體平均數(shù)（）的估計(jì)量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。二、中位數(shù)將資料內(nèi)所有觀測(cè)值從小到大依次排列，位于中間的那個(gè)觀測(cè)值，稱為中位數(shù)，記為Md。當(dāng)觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，則以中間兩個(gè)觀測(cè)值的平均數(shù)作為中位數(shù)。中位數(shù)簡(jiǎn)稱中數(shù)。當(dāng)所獲得的數(shù)據(jù)資料呈偏態(tài)分布時(shí)，中位數(shù)的代表性優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。中位數(shù)的計(jì)算方法因資料是否分組而有所不同。（一）未分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法 對(duì)于未分組資料，先將各觀測(cè)值由小到大依次排列。1、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，(n+1)/2位置的觀測(cè)值，即x(n+1)/2為中位數(shù)；Md=2、當(dāng)觀測(cè)值個(gè)數(shù)為偶數(shù)

7、時(shí)，n/2和（n/2+1）位置的兩個(gè)觀測(cè)值之和的1/2為中位數(shù)，即： （3-4）【例3.4】 觀察得9只西農(nóng)莎能奶山羊的妊娠天數(shù)為144、145、147、149、150、151、153、156、157，求其中位數(shù)。此例n=9，為奇數(shù)，則：Md=150（天）即西農(nóng)莎能奶山羊妊娠天數(shù)的中位數(shù)為150天。 【例3.5】 某犬場(chǎng)發(fā)生犬瘟熱，觀察得10只仔犬發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡分別為7、8、8、9、11、12、12、13、14、14天，求其中位數(shù)。此例n=10，為偶數(shù)，則：（天）即10只仔犬從發(fā)現(xiàn)癥狀到死亡天數(shù)的中位數(shù)為11.5天。 （二）已分組資料中位數(shù)的計(jì)算方法 若資料已分組，編制成次數(shù)分布表，則可利用次

8、數(shù)分布表來(lái)計(jì)算中位數(shù)，其計(jì)算公式為： （35）式中：L中位數(shù)所在組的下限； i組距； f中位數(shù)所在組的次數(shù)； n總次數(shù)； c小于中數(shù)所在組的累加次數(shù)。【例3.6】 某奶牛場(chǎng)68頭健康母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間整理成次數(shù)分布表如表32所示，求中位數(shù)。表32 68頭母牛從分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間次數(shù)分布表間隔時(shí)間（d）頭數(shù)（f）累加頭數(shù)122611274123425613165771203672861652871011264102116266117268由表32可見(jiàn)：i=15，n=68，因而中位數(shù)只能在累加頭數(shù)為36所對(duì)應(yīng)的“5771”這一組，于是可確定L=57，f=20，C=16，代入公式（

9、35）得：（天）即奶牛頭胎分娩到第一次發(fā)情間隔時(shí)間的中位數(shù)為70.5天。三、幾何平均數(shù)n個(gè)觀測(cè)值相乘之積開(kāi)n次方所得的方根，稱為幾何平均數(shù)，記為G。它主要應(yīng)用于畜牧業(yè)、水產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)分析，畜禽疾病及藥物效價(jià)的統(tǒng)計(jì)分析。如畜禽、水產(chǎn)養(yǎng)殖的增長(zhǎng)率，抗體的滴度，藥物的效價(jià)，畜禽疾病的潛伏期等，用幾何平均數(shù)比用算術(shù)平均數(shù)更能代表其平均水平。其計(jì)算公式如下： （36）為了計(jì)算方便，可將各觀測(cè)值取對(duì)數(shù)后相加除以n，得lgG，再求lgG的反對(duì)數(shù)，即得G值，即 （37）【例3.7】 某波爾山羊群19972000年各年度的存欄數(shù)見(jiàn)表33，試求其年平均增長(zhǎng)率。表33 某波爾山羊群各年度存欄數(shù)與增長(zhǎng)率年度存欄數(shù)（

10、只）增長(zhǎng)率（x）Lgx199714019982000.429-0.36819992800.400-0.39820003500.250-0.602lgx=-1.368利用公式（37）求年平均增長(zhǎng)率 G= =lg-1（-0.368-0.3980.602） =lg-1（-0.456）=0.3501即年平均增長(zhǎng)率為0.3501或35.01%。四、眾 數(shù)資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)觀測(cè)值或次數(shù)最多一組的組中值，稱為眾數(shù)，記為M0。如表2-3所列的50枚受精種蛋出雛天數(shù)次數(shù)分布中，以22出現(xiàn)的次數(shù)最多，則該資料的眾數(shù)為22天。又如【例3.6】所列出的次數(shù)分布表中，5771這一組次數(shù)最多，其組中值為64天，則該

11、資料的眾數(shù)為64天。五、調(diào)和平均數(shù)資料中各觀測(cè)值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)，記為H，即 （38）調(diào)和平均數(shù)主要用于反映畜群不同階段的平均增長(zhǎng)率或畜群不同規(guī)模的平均規(guī)模。 【例3.8】 某保種牛群不同世代牛群保種的規(guī)模分別為：0世代200頭，1世代220頭，2世代210頭；3世代190頭，4世代210頭，試求其平均規(guī)模。利用公式（39）求平均規(guī)模：（頭）即保種群平均規(guī)模為208.33頭。對(duì)于同一資料，算術(shù)平均數(shù)>幾何平均數(shù)>調(diào)和平均數(shù)。上述五種平均數(shù)，最常用的是算術(shù)平均數(shù)。第二節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差一、標(biāo)準(zhǔn)差的意義用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強(qiáng)弱受樣本資料中各觀測(cè)值變異程度的影

12、響。如果各觀測(cè)值變異小，則平均數(shù)對(duì)樣本的代表性強(qiáng)；如果各觀測(cè)值變異大，則平均數(shù)代表性弱。因而僅用平均數(shù)對(duì)一個(gè)資料的特征作統(tǒng)計(jì)描述是不全面的，還需引入一個(gè)表示資料中觀測(cè)值變異程度大小的統(tǒng)計(jì)量。全距（極差）是表示資料中各觀測(cè)值變異程度大小最簡(jiǎn)便的統(tǒng)計(jì)量。全距大，則資料中各觀測(cè)值變異程度大，全距小，則資料中各觀測(cè)值變異程度小。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各觀測(cè)值的變異程度，比較粗略。當(dāng)資料很多而又要迅速對(duì)資料的變異程度作出判斷時(shí)，可以利用全距這個(gè)統(tǒng)計(jì)量。為了準(zhǔn)確地表示樣本內(nèi)各個(gè)觀測(cè)值的變異程度，人們首先會(huì)考慮到以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求出各個(gè)觀測(cè)值與平均數(shù)的離差，即（），稱為

13、離均差。雖然離均差能表達(dá)一個(gè)觀測(cè)值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因?yàn)殡x均差有正、有負(fù)，離均差之和為零，即（）=0，因而不能用離均差之和（）來(lái)表示資料中所有觀測(cè)值的總偏離程度。為了解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題，可先求離均差的絕對(duì)值并將各離均差絕對(duì)值之和除以觀測(cè)值n求得平均絕對(duì)離差，即|/n。雖然平均絕對(duì)離差可以表示資料中各觀測(cè)值的變異程度，但由于平均絕對(duì)離差包含絕對(duì)值符號(hào)，使用很不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用。我們還可以采用將離均差平方的辦法來(lái)解決離均差有正、有負(fù)，離均差之和為零的問(wèn)題。先將各個(gè)離均差平方，即 ()2，再求離均差平方和，即，簡(jiǎn)稱平方和，記為SS；由于離差平方和常隨樣本大小而

14、改變，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本大小，即，求出離均差平方和的平均數(shù)；為了使所得的統(tǒng)計(jì)量是相應(yīng)總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時(shí)，分母不用樣本含量n，而用自由度n-1，于是，我們采用統(tǒng)計(jì)量表示資料的變異程度。統(tǒng)計(jì)量稱為均方（mean square縮寫(xiě)為MS）,又稱樣本方差，記為S2，即S2= （39）相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體方差，記為2。對(duì)于有限總體而言，2的計(jì)算公式為： 2）2/N （310）由于樣本方差帶有原觀測(cè)單位的平方單位，在僅表示一個(gè)資料中各觀測(cè)值的變異程度而不作其它分析時(shí)，常需要與平均數(shù)配合使用，這時(shí)應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計(jì)

15、學(xué)上把樣本方差S2的平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差，記為S，即： （3-11）由于 所以（3-11）式可改寫(xiě)為： （3-12）相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標(biāo)準(zhǔn)差，記為。對(duì)于有限總體而言，的計(jì)算公式為：= （3-13）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。二、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法（一）直接法 對(duì)于未分組或小樣本資料，可直接利用（311）或（3-12）式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。 【例3.9】 計(jì)算10只遼寧絨山羊產(chǎn)絨量：450，450，500，500，500，550，550，550，600，600，650（g）的標(biāo)準(zhǔn)差。此例n=10，經(jīng)計(jì)算得：x=5400，x2=2955000，代入（312）式得：(g)即10只遼寧絨山羊

16、產(chǎn)絨量的標(biāo)準(zhǔn)差為65.828g。（二）加權(quán)法 對(duì)于已制成次數(shù)分布表的大樣本資料，可利用次數(shù)分布表，采用加權(quán)法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算公式為： （314）式中，f為各組次數(shù)；x為各組的組中值；f = n為總次數(shù)。【例3.10】 利用某純系蛋雞200枚蛋重資料的次數(shù)分布表（見(jiàn)表3-4）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差。將表3-4中的f、fx、fx2代入（314）式得：（g）即某純系蛋雞200枚蛋重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.5524g。表34 某純系蛋雞200枚蛋重資料次數(shù)分布及標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表組別組中值（x）次數(shù)（f）fxfx244.1545.03135.06075.045.8546.76280.213085.3447.5548.416774

17、.437480.9649.2550.1221102.255220.2250.9551.8301554.080497.2052.6553.5442354.0125939.0054.3555.2281545.085317.1256.0556.9301707.097128.3057.7558.612703.241207.5259.4560.35301.518180.4561.1562.04248.015376.00合計(jì) f=200 fx=10705.1 fx2=575507.11三、標(biāo)準(zhǔn)差的特性 （一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小，受資料中每個(gè)觀測(cè)值的影響，如觀測(cè)值間變異大，求得的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則小。（二）在計(jì)算

18、標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，在各觀測(cè)值加上或減去一個(gè)常數(shù)，其數(shù)值不變。（三）當(dāng)每個(gè)觀測(cè)值乘以或除以一個(gè)常數(shù)a，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差的a倍或1/a倍。（四）在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右一倍標(biāo)準(zhǔn)差（±S）范圍內(nèi)；約有95.43%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右兩倍標(biāo)準(zhǔn)差（±2S）范圍內(nèi)；約有99.73%的觀測(cè)值在平均數(shù)左右三倍標(biāo)準(zhǔn)差（±3S）范圍內(nèi)。也就是說(shuō)全距近似地等于6倍標(biāo)準(zhǔn)差，可用（）來(lái)粗略估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。第三節(jié) 變異系數(shù)變異系數(shù)是衡量資料中各觀測(cè)值變異程度的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。當(dāng)進(jìn)行兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度的比較時(shí)，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用

19、標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時(shí)，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值（相對(duì)值）來(lái)比較。標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù)，記為C·V。變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對(duì)兩個(gè)或多個(gè)資料變異程度比較的影響。變異系數(shù)的計(jì)算公式為： （315）【例3.11】 已知某良種豬場(chǎng)長(zhǎng)白成年母豬平均體重為190kg，標(biāo)準(zhǔn)差為10.5kg，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標(biāo)準(zhǔn)差為8.5kg，試問(wèn)兩個(gè)品種的成年母豬，那一個(gè)體重變異程度大。此例觀測(cè)值雖然都是體重，單位相同，但它們的平均數(shù)不相同，只能用變異系數(shù)來(lái)比較其變異程度的大小。由于，長(zhǎng)白成年母豬體重的變異系數(shù)：大約克成年母豬體重的變異系數(shù)：所以，長(zhǎng)白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。注意，變異系數(shù)的大小，同時(shí)受平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量的影響，因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程度時(shí)，最好將平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差也列出。習(xí) 題1、生物統(tǒng)計(jì)中常用的平均數(shù)有幾種？各在什么情況下應(yīng)用？ 2、何謂算術(shù)平均數(shù)