2018-2019學(xué)年福建省廈門市雙十中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、運(yùn)算求解能力 第 1 1 頁共 1717 頁2018-2019 學(xué)年福建省廈門市雙十中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1 1.若直線ax2y 10與直線xy 20互相垂直，那么a的值等于（）（）12A A . 1 1B B.C C.D D.233【答案】D D【解析】 直接利用直線垂直的性質(zhì)列方程求解即可. .【詳解】因?yàn)橹本€ax 2y 10與直線x y 20互相垂直，所以a 12 10 a 2，故選：D.D.【點(diǎn)睛】對直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類問題以簡單題為主， 主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1 1）hllJk1k2（11|l2A1B2A

2、1B10）；（2 2）l1l2k1k21（1112A A2B1B20），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點(diǎn)一定不能掉以輕心表示不同平面，下列命題正確的是A A .若 milmil , milmil n n則 nilnilLI *B B .右 m m,n n,mil , n n I ,則|C C .若,m m,m m n n ,貝 U U n n ID D .若,m,n nn n，貝 n n I【答案】D D【解析】試題分析： A A 中 n n 有可能在平面內(nèi)；B B 中m,nm,n 不一定是相交直線；C C 中 n n 有可2 2 .設(shè) m m、n n 表示不

3、同直線,運(yùn)算求解能力 第 1 1 頁共 1717 頁【考點(diǎn)】本小題主要考查空間中直線、平面間的位置關(guān)系，考查學(xué)生的空間想象能力和第3 3頁共 1717 頁點(diǎn)評：解決此類問題，要緊扣相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理，定理中的條件缺一不可3 3 .在ABC中，內(nèi)角A, B,C的對邊分別是a,b,c，已知b此三角形的解的情況是（【答案】B B【解析】由正弦定理判斷，需結(jié)合三角形的性質(zhì).【詳解】只有一解.故選：B.B.【點(diǎn)睛】4 4 某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（積減去半個圓錐的體積，就可求得幾何體的體積【詳解】 由三視圖可知，該幾何體是由一個四棱錐挖掉半個圓錐所得，故其體積為11 1 8

4、2 2 2122. .故選 B.B.32 33【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu),考查不規(guī)則幾何體體積的求解方法，屬于基礎(chǔ)題 5 5 .在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，若點(diǎn)A 1,2,1,B 3, 1,4，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于xOy10, c 20,C60，則A A 無解B B. 一解C C .兩解D D .無法確定由正弦定理sin Bbsin C10sin 60J3又.b204，定是銳角，本題考查正弦定理解三角形，結(jié)合大邊對大角的性質(zhì)知本題中B角是銳角, 只有一解.7A A .3【答案】B B8nB B.37C【解析】由三視圖可知,該幾何體是由一個四棱錐挖掉半個圓錐所得,故利用棱錐的體第

5、4 4頁共 1717 頁平面的對稱點(diǎn)，則BC()A A 、22B B.,26C C 42D D -5 2【答案】D D【解析】由對稱性先求點(diǎn) C C 的坐標(biāo)為1,2, 1，再根據(jù)空間中兩點(diǎn)之間距離公式計算BC【詳解】由對稱性可知，點(diǎn) C C 的坐標(biāo)為1,2, 1,結(jié)合空間中兩點(diǎn)之間距離公式可得：|BC 3 121 224 125 2. .故選 D.D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系及兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題.6 6如圖，為了估測某塔的高度，在塔底D和代B(與塔底D同一水平面)處進(jìn)行測【答案】C C【解析】分析：首先設(shè)出 CDCD 的長度，然后利用空間幾何關(guān)系整理計算即可求得最終結(jié)果

6、 詳解：設(shè)CD xm，在RtVADC中，由CAD 45可得：AD xcm,同理可得：BD 3xcm,在厶 ABDABD 中，由余弦定理可得：AD2BD22AD BD cos150AB2,即：x2、3x彳2x、3x cos1501402,量，在點(diǎn) 代B處測得塔頂C的仰角分別為看A,B的張角為 150150，則塔的高度CD4545, 3030且A, B兩點(diǎn)相距140m，由點(diǎn)D( )A A 140、3mB B.20、21mC C.20、7mD D .140m第5 5頁共 1717 頁解得：x 20 7，即塔的高度CD 207m.本題選擇 C C 選項(xiàng). .點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟閱讀理解題意，

7、弄清問題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系.【答案】B B【解析】 圓心 C C (3 3, 5 5),半徑為 r r，圓心 C C 到直線 4x4x 3y3y 2 2= 0 0 的距離 d d =112+15-21d d 1rd1rd + 1 1,所以 4r6.4r0r0 )上有且僅有兩個點(diǎn)到直線 離等于 1 1，則圓半徑 r r 的取值范圍是()A A . 3r53r5B B. 4r64r4r4近似計算的要求等. .4x4x 3y3y 2 2= 0 0 的距由于圓 C C 上有且僅有兩個點(diǎn)到直線4x4x 3y3y 2 2 = 0 0 的距離等于 1 1，則P分別為其所在第6

8、6頁共 1717 頁【詳解】第7 7頁共 1717 頁（下面說明只寫主要條件，其他略）A A 如圖連接AC,可得AC / MN ,BC / NP，從而得AC/平面MNP,BC/平面MNP，于是有平面ABC /平面MNP，二AB/平面MNP,B B 如圖連接BC交MP于點(diǎn)0，連接ON，易知在底面正方形中O不是BC中點(diǎn)（實(shí)際上是四等分點(diǎn)中靠近C的一個），而N是AC中點(diǎn)，因此AB與ON不平行，在平面ABC內(nèi)，AB與ON必相交，此交點(diǎn)也是直線AB與平面MNP的公共點(diǎn)，直線AB與平面MNP相交而不平行,VC.C.如圖，連接BN，正方體中有PN /BM，因此B在平面MNP內(nèi)，直線AB與平面MNP相交而不平

9、行，D.D.如圖，連接CD,可得AB/CD,CD /NP,即AB/NP,直線AB與平面MNP平行，故選：ADAD第8 8頁共 1717 頁【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)定理，掌握證明線面平行的方法是解題第9 9頁共 1717 頁基礎(chǔ).2 2 2 2 29 9 集合A(x, y)|x y 4,B (x, y)|(x 3) (y 4) r，其中r 0,若Al B中有且僅有一個元素，則r的值是(). .A A . 3 3B B. 5 5C C. 7 7D D . 9 9【答案】ACAC【解析】 題意說明兩個圓只有一個公共點(diǎn)，兩個圓相切(外切和內(nèi)切)時，只有一個公共點(diǎn).【詳解】圓x

10、2y24的圓心是 0(0,0)0(0,0)，半徑為R 2,圓(x 3)2(y 4)2r2圓心是C(3,4)，半徑為r,OC 5，當(dāng)2 r 5,r 3時，兩圓外切，當(dāng)r 25,r 7時，兩圓內(nèi)切，它們都只有一個公共點(diǎn).故選：ACAC.【點(diǎn)睛】本題考查集合與集合的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素，本題實(shí)質(zhì)是考查圓與圓的/亠護(hù)方位置關(guān)糸.三、填空題1010 .直線2x y 10被圓(x 2)2y29所截得的弦長為 _【答案】4 4【解析】 求出圓心到直線的距離，由勾股定理計算出弦長.【詳解】圓(x 2)2y29的圓心是C( 2,0)，半徑為r 3，圓心C到直線2x y 10的弦長為2 . r2d22

11、一32(、5)24.故答案為：4.4.【點(diǎn)睛】距離為d2(2)0122第1010頁共 1717 頁本題考查直線與圓相交弦長問題，解題方法是幾何法：求出圓心到弦所在直線距離，由勾股定理計算出弦長.1111. 一個直六棱柱的底面是邊長為2 2 的正六邊形，側(cè)棱長為 3 3，則它的外接球的表面積為_ .【答案】25【解析】 直六棱柱的外接球的直徑為直六棱柱中最長的對角線， 一個直六棱柱的底面是邊長為 2 2 的正六邊形，側(cè)棱長為 3 3,5直六棱柱的外接球的直徑為5 5, 外接球的半徑為-，25外接球的表面積為425.故答案為 2525 n2點(diǎn)睛：本題考查球的體積和表面積，確定直六棱柱的外接球的直徑

12、為直六棱柱中最長的對角線是解題的關(guān)鍵.1212如圖，正方體ABCD ABGD!，點(diǎn)M是AA的中點(diǎn)，點(diǎn)0是底面ABCD的中心，P是CQ上的任意一點(diǎn)，則直線BM與0P所成的角大小為 _ . .DiCi【答案】9090【解析】0P是動直線，因此猜想這個角可能是 9090為此證明BM平面OB.C,，把 平面 OGOG 在正方體中補(bǔ)全（如圖），即可證.【詳解】第1111頁共 1717 頁如圖，分別取AB,CD的中點(diǎn)Q,N，連接QN,CN,BQ，顯然O QN,QN /BG,Q, N , Ci, Bi共面， B1C1平面ABBA,BM平面ABBA,- BQ BM,在正方形ABB1A1中，易得AMBBQB1,

13、 ABMBB1Q,QB1BB1BMABMB1BM 90, BM B1Q,第1212頁共 1717 頁又BQ B1C1Bi, BM平面BQNQ,P B，則OP平面BNQ, BM OP,-直線BM與OP所成的角為 9090.故答案為：9090【點(diǎn)睛】本題考查求異面直線所成的角，考查證明線面垂直.掌握線面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵.11313 .過點(diǎn)M （，1）的直線 I I 與圓 C C: （x x- 1 1）2+y+y2= 4 4 交于 A A、B B 兩點(diǎn)，C C 為圓心，當(dāng)/ ACBACB2最小時，直線 I I 的方程為_.【答案】2x2x- 4y+34y+3 = 0 0【解析】要/ ACBA

14、CB 最小則分析可得圓心 C C 到直線 I I 的距離最大，此時直線 I I 與直線CM垂 直，即可算出CM的斜率求得直線 l l 的方程. .【詳解】 由題得，當(dāng) / ACBACB 最小時，直線 l l 與直線CM垂直，此時kCM1 112, ,又直線1過點(diǎn)M（1,1），所以l:y2x 4y1 0亍21(x2kCMkl故答案為:2x 4yCi第1313頁共 1717 頁本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，過定點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)求最值的問題一般為圓心到定點(diǎn)與直線垂直時取得最值 同時也考查了線線垂直時斜率之積為-1,-1,以及用點(diǎn)斜式寫出直線方程的方法 1414 在ABC中，角A, B,C所對

15、的邊分別為a,b,c，若a:b: c 4: 5: 7，則最大角的余弦值為_1【答案】-5【解析】 分析：首先設(shè)出邊長，然后結(jié)合余弦定理整理計算即可求得最終結(jié)果詳解：不妨設(shè)三角形的三邊長4m,5m,7m m 0,由大邊對大角結(jié)合余弦定理可得最大角的余弦值為：2 2 24m 5m 7m 124m 5m5點(diǎn)睛：本題主要考查解三角形的方法，余弦定理的應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 1515 我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理：幕勢既同，則積不容異”其中幕”是截面積， 勢是幾何體的高 原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相

16、等，則這兩個幾何體的體積相等如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系O xyz的坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，若函數(shù)4 x2,x2,0 ,f x2的圖象與x軸圍成一個封閉區(qū)域A，將區(qū)域A沿 z z 軸x 2,x0,3的正方向上移 4 4 個單位，得到幾何體如圖一 現(xiàn)有一個與之等高的圓柱如圖二，其底面 積與區(qū)域A面積相等，則此圓柱的體積為 _ 42第1414頁共 1717 頁【答案】16【解析】分析：首先確定底面積，然后結(jié)合柱體的體積公式整理計算即可求得最終結(jié)果 詳解：由題意可知，圖一中底面積是由一個四分之一圓與一個直角三角形組成的圖形， 由y 4 x2,x2,0可知，該四分之一圓的半徑為2 2,其面積為：S1422，2

17、由yX 2,x0,，令x 0可得y 2，由y 0可得x 3，3則直角三角形與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,2，3 ,0，1直角三角形的面積2 33，2結(jié)合題意可得：區(qū)域 A A 的面積，即圓柱的底面積：S S1S24，結(jié)合祖暅原理可得，此圓柱的體積V 44 16 點(diǎn)睛：本題主要考查柱體的體積公式及其應(yīng)用，直線方程、圓的方程的應(yīng)用等知識，意 在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力 四、解答題1616 .在ABC中，角 代B, C所對的邊分別為a,b,c，且a sinB 3b sin AcosC. .(1) 若a ,3,c 2，求角A;(2) 若c 8,3,ABC的面積為4 6，求a2b2的值 【答案】（1

18、1）A; ;（2 2）67.67.4定理有sinA【解析】 分析：（1 1）利用正弦定理邊化角可得cosC，則sinC 6，利用正弦33第1515頁共 1717 頁(2)由題意結(jié)合面積公式可得ab 24，結(jié)合余弦定理可得a2b267. .詳解：（1）TasinB , 3bsinAcosC,二sinAsinB. 3sinBsinAcosC,因?yàn)閍 c，所以A C，所以A即67 16.3 a2b216、3，所以a2b267. .點(diǎn)睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時,中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用解決三角形問題時，注意角的限

19、制范圍.1717 .如圖，ABCD是正方形，0是該正方形的中心，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO底面ABCD,E是PC的中點(diǎn) 求證：二cosC3，二sinC3根據(jù)正弦定理asinAcsinC.3，得sinA26，即sinAV（2）因?yàn)镾ABC4.6 -absinC2-lab，所以ab 24，6因?yàn)閏 83， 根據(jù)余弦定理c2a2b22abcosC得,般全部化為角的關(guān)系， 或全部化為邊的關(guān)系.題第1616頁共 1717 頁（1）PA/平面BDE;第1717頁共 1717 頁(2)平面BDE平面PAC. .【答案】(1 1)見解析；(2 2)見解析.【解析】(1 1)連接0E，證明PA/OE后即得線面

20、平行;(2)可證明BD平面PAC，然后得面面垂直.【詳解】(1)如圖，連接0E，T0,E分別是AC, PC中點(diǎn)， PA/OE,又PA平面BDE,0E平面BDE,-PA/平面BDE;(2)/ ,P0底面ABCD,BD底面ABCD,PO BD，又正方形中BD AC,POI AC O,BD平面PAC，而BD平面BDE,平面BDE平面PAC. .【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行和面面垂直，掌握線面平行和面面垂直的判定定理是解題關(guān)鍵.1818.已知圓C : (x 3)2(y 4)24,(I)若直線11過定點(diǎn)A(1 1, 0 0),且與圓C相切，求h的方程;第1818頁共 1717 頁(n)若圓D的半徑為 3

21、 3,圓心在直線12:x y 20上，且與圓C外切，求圓D的方程.【答案】(I)x 1,3x 4y 30( n)- - - -.【解析】 試題分析：(I )此問注意直線斜率不存在的情況，應(yīng)分斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時由圓心到直線的距離等于半徑求出直線斜率；( (n) )先設(shè)出圓心坐標(biāo)，然后由兩圓外切，知圓心距等于兩半徑之和，從而求出圓心D D 的坐標(biāo)，寫出圓 D D 方程. .試題解析：(I )若直線h的斜率不存在，即直線是x 1，符合題意.若直線li斜率存在，設(shè)直線li為y k(x 1)，即kx y k 0.由題意知，圓心(3 3, 4 4)至已知直線li的距離等于半徑 2 2,3k

22、 4 k3 3即：22解之得 k k所求直線方程是x 1,3x 4y 3 0.k 14(n )依題意設(shè)D(a,2 a)，又已知圓的圓心C(3,4), r 2,由兩圓外切，可知CD 5二可知(a 3)2(2 a 4)2= ，解得 - F F -,二D(3, 1)或D(2,4), 所求圓的方程為_ R- .【考點(diǎn)】1 1 直線與圓相切；2 2 兩圓相外切；3 3 點(diǎn)到直線的距離公式. .1919.如圖，已知ABC中，/ ACBACB =90=90 CD AB，且AD=1=1 ,BD=2=2, ACD繞CD旋轉(zhuǎn)至ACD，使點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離AB.(1) 求證：BA丄平面ACD;(2) 求二面角A

23、CD B的大??；(3) 求異面直線AC與BD所成的角的余弦值.【答案】(1 1)見詳解；(2) 6060 (3 3)工工.第1919頁共 1717 頁6【解析】【詳解】(1 1) / CDCD 丄 ABAB , CDCD 丄 ADAD, CDCD 丄 DBDB , / CDCD 丄平面ABDBD CDCD 丄 BABA .又在ADBDB 中，AD=1D=1 DB=2DB=2 ,A,BABA D=9CD=9C即 BABA 丄 AAD, BABA 丄平面ACDCD(2) / / CDCD 丄 DBDB , CDCD 丄 AAD, BDABDA 是二面角A-CDA-CD B B 的平面角.又 RtR

24、t A A BDBD 中, A A D=1D=1 BD=2BD=2 ,/ADB=60DB=60,即二面角 A-CDA-CD B B 為 6060(3)過 AA作 AE/AE/ BDBD，在平面ABDBD 中作 DEDE 丄 AEAE 于 E E,連 CECE,則/ CACA E 為 AAC 與 BDBD 所成角. / / CDCD 丄平面ABDBD DEDE 丄 AE,AE, AAE 丄 CECE . / / EAEA / ABAB , /ADB=60DB=60, DADA E=60E=60,又AD=1D=1 / DEADEA =90=90 AE=E=又在 RtRt ACBACB 中，AC=A

25、C=.j,.j,：?n.?n.=AC=AC=-C=AC=-； coscos/ CACA=2 =，即 AAC 與 BDBD 所成角的余弦值為 J!J!.比厲&12020 如圖，在ABC中，AB 2,cosB-，點(diǎn)D在線段BC上.33( (I ) )若ADC，求AD的長；4(H) 若BD 2DC,ACD的面積為，求Sin一BAD的值.3sin CAD第2020頁共 1717 頁【答案】( (1)3)3 ；( (2) )4.2. .【解析】【詳解】(1 1)在二角形中，TcosB1-sin B2,233在ABD中，由正弦定理得ABAD)sin ADBsin B2 28又AB2,ADB ,si

26、n BJ、JAD433(IIII)TBD 2DC, SABD2SADC,亠一,又SADC4運(yùn)SSABC3,SABC1AB BC sin ABC,BC6,2SABD1ABAD sin BAD,SADC丄ACD sin CAD,22SABDsin BAD2SADC,AC 2?-,sin CADAB在ABC中，由余弦定理得AC2AB22BC 2ABKCcos ABCsinAC 4 - 2，-sin2121.已知圓C:x2(y 3)24，一動直線 I I 過A( 1,0)與圓C相交于P,Q 兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，I I 與直線 m m：x 3y 60相交于N. .(1 1)求證：當(dāng) I I 與 m m

27、垂直時，I I 必過圓心C；(2(2)當(dāng)PQ 2.3時，求直線 I I 的方程;BADCAD第2121頁共 1717 頁UJUU(3(3)探索AMUULTAN是否與直線I I 的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說1或4x 3y 40( 3 3)見解析明理由 【答案】見解析(2)(2)x第2222頁共 1717 頁則由y k x 1x 3y 6 0，得N3k 61 3kuuv， 則AN5 5k1 3k，1 3k【解析】（1 1）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為- 1 1，由直線 m m 的斜率求出直線 I I 的斜率，根據(jù)點(diǎn) A A 和圓心坐標(biāo)求出直線 ACAC 的斜率，得 到直線 ACAC 的斜率與直線 I I 的斜率相等，所以得到直線 I I 過圓心；（2 2）分兩種情況：當(dāng)直線 I I 與 x x 軸垂直時，求出直線 I I 的方程；當(dāng)直線 I I 與 x x 軸不 垂直時，設(shè)直線 I I 的斜率為 k k，寫出直線