機(jī)械振動(dòng)4兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

1、振動(dòng)力學(xué)1第四章振動(dòng)力學(xué)2kcm建模方法建模方法1：將車(chē)、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼將車(chē)、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對(duì)汽車(chē)的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模要求：對(duì)汽車(chē)的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模例子：汽車(chē)行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)例子：汽車(chē)行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)缺點(diǎn)：模型粗糙，沒(méi)有考慮人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之缺點(diǎn)：模型粗糙，沒(méi)有考慮人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互影響間的相互影響優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單（單自由度）優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單（單自由度）分析：人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合分析：人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合振動(dòng)力學(xué)3k2c2m

2、車(chē)車(chē)m人人k1c1建模方法建模方法2：車(chē)、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的車(chē)、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車(chē)之間的耦合優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車(chē)之間的耦合缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互影響缺點(diǎn)：沒(méi)有考慮車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互影響需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)振動(dòng)力學(xué)4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車(chē)車(chē)m輪輪m輪輪建模方法建模方法3：車(chē)、人、車(chē)輪的質(zhì)量分別考慮，車(chē)、人、車(chē)輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人

3、與車(chē)、車(chē)與車(chē)輪、車(chē)輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確互耦合，模型較為精確問(wèn)題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？問(wèn)題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？需多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)需多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)振動(dòng)力學(xué)5振動(dòng)力學(xué)6振動(dòng)力學(xué)7m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)11xm m1k2(x1-x2)22xm m2 k3x2 0)(2121111xxkxkxm 0)(2321222xkxxkxm 寫(xiě)成矩陣形式：寫(xiě)成矩陣形式：0 KxxM 其中：其中：2100mmM322221kkkkkkKTxx21x實(shí)例：實(shí)例：振動(dòng)力學(xué)8021211111xkxkxm 022212122xkxkxm 找x1與

4、x2同步運(yùn)動(dòng)的解：)(),(2211tfuxtfux代入方程得：代入方程得：22211211322221kkkkkkkkkkK，令1121kkk，21122kkk。2232kkk0)()()(21211111tfukuktfum 0)()()(22212122tfukuktfum 2222212111212111)()(umukukumukuktftf 振動(dòng)力學(xué)9與單自由度振動(dòng)的方程一樣，要有振動(dòng)，必須為正實(shí)數(shù)。0)()(tftf 代入方程得：代入方程得：0)(21211211ukumk0)(2222211212112mkkkmk)sin()(tCtf而且解為：為初相位角。為振動(dòng)頻率，為任意常

5、數(shù)，其中：C)2 , 1()sin()(itCutfuxiii，0)(22222121umkuk振動(dòng)力學(xué)100)(2222211212112mkkkmk0)()(212221121122214212kkkkmkmmm2121222112211122212111222122214)(2121mmkkkmmkmkmmmkmkm2122232212211)(kkkkkkkk)2 , 1(02ii頻率。為正實(shí)根，即兩個(gè)固有)2 , 1( ii，得到：代入方程每個(gè))101 . 4(i0)(21211211ukumki22221212121112mkkkmkuuii振動(dòng)力學(xué)1122122121212111

6、)1(1)1(21mkkkmkuur得：22222121212211)2(1)2(22mkkkmkuur1)1(1)1(2)1(1)1(1ruuuu得矩陣：2)2(1)2(2)2(1)2(1ruuuu)151 . 4(a)151 . 4(b。、量，分別對(duì)應(yīng)于稱(chēng)為振型向量或模態(tài)向、21)2()1(uu)2 , 1()sin()sin()(2)(2)(1)(1ituCxtuCxiiiiiiiiiii，：對(duì)每個(gè)振動(dòng)力學(xué)12)sin(1)()()()(11111)1()1(2)1(1)1(trCtftxtxtux得：)161 . 4(a)161 . 4(b實(shí)際振動(dòng)為：由初始條件確定。、和、其中2121

7、CC)sin(1)()()()(22222)2()2(2)2(1)2(trCtftxtxtux)()()()2()2(tttxxx)171 . 4()sin(1)sin(122221111trCtrC振動(dòng)力學(xué)13m1m2k1k2k3x1x2解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-1：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有頻率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722221mkmk25,21振動(dòng)力學(xué)14m1m2k1k2k3x1x2mkmkmk

8、5811. 125,21121212111)1(1)1(21kkkkmkuur得：5 . 02/521212211)2(1)2(22kkkkmkuur11)1(1)1(2)1(1)1(uuuu得固有振型：5 . 01)2(1)2(2)2(1)2(uuuu)1(u11mk1)2(u1-0.5mk252節(jié)點(diǎn)振動(dòng)力學(xué)15解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-2：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有頻率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722

9、221mkmk25,21振動(dòng)力學(xué)16例例4.1-2：求扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型：求扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型兩圓盤(pán)兩圓盤(pán) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，21,II軸的扭轉(zhuǎn)剛度軸的扭轉(zhuǎn)剛度 k1I22Ik111 I)(21k22 I)(21k建立方程：建立方程：)()(21221211kIkI 0021222111kkIkkI )sin()sin(2211tt設(shè)代入微分方程組，得振動(dòng)力學(xué)171I22Ik1特征方程：特征方程：0)(0)(22212112IkkkIk:相應(yīng)的振幅比，這里1011r0)(22212kIkIk0)(221421IIkII特征根：特征根：, 021212221IIII

10、k21122)2(1)2(22IIkIkr, 1121)1(1)1(21kIkr，軸段無(wú)變形。振動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角是相同的說(shuō)明以1不是振動(dòng)。這實(shí)際上是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，振動(dòng)力學(xué)181I22Ik121122121,:IIlIlIIlIl節(jié)面的位置特性。改變?cè)撆ふ裣到y(tǒng)的振動(dòng)在節(jié)面處進(jìn)行固定，不節(jié)面處始終保持不動(dòng)。節(jié)面處始終保持不動(dòng)。節(jié)面1221IIll：振動(dòng)時(shí)，固有振型如圖以2121IIl1l2l向扭振的單自個(gè)以同一頻率按相反方即該扭振系統(tǒng)可看成兩由度系統(tǒng)。振動(dòng)力學(xué)19k1k2ABCOal1l2O0 x振動(dòng)力學(xué)20222121CcCIxmT 22Jaxm21)(21k1k2ABCOal1l2O0 xsinaxxc

11、axxc振動(dòng)力學(xué)212221BAxkxkV2121222211)(21)(21lxklxkk1k2ABCOal1l2O0 xsin1lxxAsin2lxxB1lxxA2lxxB振動(dòng)力學(xué)22)21(，iQqLqLdtdiii2個(gè) 自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：iq：廣義坐標(biāo)：廣義坐標(biāo)：拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)LVTL iQ：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力22JaxmT21)(21222211)(21)(21lxklxkV此處為x和。自由振動(dòng)時(shí)，Qi為0。代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：1)()(Qlklkxkkmaxm112221 2222211112

12、22QlklkxlklkmaJxma)()()( 振動(dòng)力學(xué)23代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：矩陣形式：矩陣形式：2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 存在慣性耦合存在慣性耦合存在彈性耦合存在彈性耦合1)()(Qlklkxkkmaxm112221 222221111222QlklkxlklkmaJxma)()()( )21(，iQqLqLdtdiii2個(gè)自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：22JaxmT21)(21222211)(21)(21lxklxkV振動(dòng)力學(xué)24如果如果O點(diǎn)選在質(zhì)心點(diǎn)選在質(zhì)心C：只存在彈性耦

13、合，而不出現(xiàn)慣性耦合只存在彈性耦合，而不出現(xiàn)慣性耦合0a21QQ、：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 212222111122112221QQxlklklklklklkkkxJm 00振動(dòng)力學(xué)25如果如果O點(diǎn)選在這樣一個(gè)特殊位置，使得：點(diǎn)選在這樣一個(gè)特殊位置，使得：只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合1221kkll2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 2122221121200QQxlklkk

14、kxmaJmamam 這個(gè)特殊位置稱(chēng)為系統(tǒng)的剛度中心這個(gè)特殊位置稱(chēng)為系統(tǒng)的剛度中心振動(dòng)力學(xué)26m1m2k1k2m3k3x1x2x3233222211212121xmxmxmT22332122211)(21)(2121xxkxxkxkV設(shè)某一瞬時(shí)：設(shè)某一瞬時(shí)：321mmm、321xxx、分別有位移分別有位移321xxx、速度為速度為振動(dòng)力學(xué)27iQ：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力自由振動(dòng)時(shí)，Qi為0。代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：)3 , 2 , 1( iQqLqLdtdiiiVTL 233222211212121xmxmxmT11221111)(Qxxkxkxm 22332122

15、211)(21)(2121xxkxxkxkV223312222)()(Qxxkxxkxm 323333)(Qxxkxm 得：得：振動(dòng)力學(xué)2811221111)(Qxxkxkxm 223312222)()(Qxxkxxkxm 323333)(Qxxkxm 寫(xiě)成矩陣形式：寫(xiě)成矩陣形式：QKxxM 其中：其中：321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkKTxxx321xTQQQ321Q振動(dòng)力學(xué)29受力分析：受力分析：Q1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1Q2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3(x2 x3）設(shè)某一瞬時(shí)：設(shè)某一瞬時(shí)：321mmm、321xxx、

16、分別有位移分別有位移321xxx 、加速度為加速度為m1m2k1k2m3k3x1x2x3Q3(t)k3(x2-x3)33xm m3振動(dòng)力學(xué)30Q1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1Q2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3(x2 x3）Q3(t)k3(x2-x3)33xm m312121111)(Qxxkxkxm 232321222)()(Qxxkxxkxm 332333)(Qxxkxm 寫(xiě)成矩陣形式：寫(xiě)成矩陣形式：QKxxM 其中：其中：321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkKTxxx321xTQQQ321Q振動(dòng)力學(xué)31QKqqM 的平衡。和非保守

17、力、慣性力即彈性恢復(fù)力QqMKq ),.,2 , 1()(1niQqkqminjjijjij ),.,(niQqkinjjij211振動(dòng)力學(xué)32),.,(niQqkinjjij211振動(dòng)力學(xué)33m1m2k1k2m3k3x1x2x3令令T001x 2111kkk221kk 031k令令T010 x212kk3222kkk332kk令令T100 x013k323kk333kk得剛度矩陣：得剛度矩陣：33332222100kkkkkkkkkK振動(dòng)力學(xué)34QKqqM 考慮考慮M：nRq假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移 即：

18、即： q = 0QqM 則有：則有：njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmQQQQ211222111112100100.有了剛度矩陣，還需要質(zhì)量矩陣，才能寫(xiě)出作用力方程：有了剛度矩陣，還需要質(zhì)量矩陣，才能寫(xiě)出作用力方程：若只有qj =1,其它q= 0振動(dòng)力學(xué)35使系統(tǒng)只在第使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩組外力，正是質(zhì)量矩陣陣M的第的第j列列 。結(jié)論：質(zhì)量矩陣結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)

19、于第單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力ijm根據(jù)其物理意義可以直接求出根據(jù)其物理意義可以直接求出質(zhì)量影響系數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)mij和和剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)kij。然后寫(xiě)出矩陣。然后寫(xiě)出矩陣 M 和和 K，從而建立作用力方程，這種方法稱(chēng)，從而建立作用力方程，這種方法稱(chēng)為為影響系數(shù)方法影響系數(shù)方法 。njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmQQQQ211222111112100100.振動(dòng)力學(xué)36m1m2k1k2m3k3x1x2x3令令T001x 111111mmxmQ 021m031m令令T010 x 1210mQ2222mmQ032m令令T100 x 0

20、13m023m333mm得質(zhì)量矩陣：得質(zhì)量矩陣：321000000mmmM質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力Qi。有了剛度矩陣和質(zhì)有了剛度矩陣和質(zhì)量矩陣就可以寫(xiě)出量矩陣就可以寫(xiě)出動(dòng)力學(xué)方程。動(dòng)力學(xué)方程。振動(dòng)力學(xué)37柔度矩陣將動(dòng)力學(xué)方程：QKqqM 各項(xiàng)左乘K的逆陣K-1：QKKqKqMK111 FQqqD 其中，F(xiàn)=K-1稱(chēng)為系統(tǒng)的柔度矩陣柔度矩陣，其元素fij(i,j=1,2,n)稱(chēng)為柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)。D=FM稱(chēng)為系統(tǒng)的系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣動(dòng)力矩陣。

21、考慮在靜變形時(shí)，各廣義加速度均為考慮在靜變形時(shí)，各廣義加速度均為0，方程變?yōu)椋海匠套優(yōu)椋篎Qq ),.,2 , 1(:1niqQfinjjij即這又稱(chēng)為這又稱(chēng)為位移方程位移方程振動(dòng)力學(xué)38),.,2 , 1(1niqQfinjjij因此，因此，柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)fij可理解為：對(duì)系統(tǒng)僅施加與可理解為：對(duì)系統(tǒng)僅施加與qj坐標(biāo)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的單位廣義力時(shí)，沿對(duì)應(yīng)的單位廣義力時(shí)，沿qi坐標(biāo)所產(chǎn)生的位移。坐標(biāo)所產(chǎn)生的位移。柔度矩陣也是對(duì)稱(chēng)矩陣，它與剛度矩陣互為逆陣，若剛度柔度矩陣也是對(duì)稱(chēng)矩陣，它與剛度矩陣互為逆陣，若剛度矩陣正定，柔度矩陣也正定。矩陣正定，柔度矩陣也正定。但動(dòng)力矩陣但動(dòng)力矩陣D=FM

22、通常不是對(duì)稱(chēng)矩陣。通常不是對(duì)稱(chēng)矩陣。若令若令Q=0，得到保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的另一種形式的動(dòng)力學(xué)，得到保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的另一種形式的動(dòng)力學(xué)方程。方程。0qqD 振動(dòng)力學(xué)39對(duì)對(duì)3個(gè)自由度的質(zhì)量個(gè)自由度的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，可以利用柔度影響系數(shù)彈簧系統(tǒng)，可以利用柔度影響系數(shù)的物理意義求出柔度矩陣。的物理意義求出柔度矩陣。m1m2k1k2m3k3x1x2x3) 3 , 2 , 1(31iqQfijjij令：令：0, 1321QQQ11111kxf12211kxf13311kxf令：令：0, 1312QQQ11121kxf2122211kkxf2133211kkxfiixf 1振動(dòng)力學(xué)40令：令：0, 121

23、3QQQ11131kxf2122311kkxf321333111kkkxf得到柔度矩陣：得到柔度矩陣：3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF11111kxf12211kxf13311kxf11121kxf2122211kkxf2133211kkxfm1m2k1k2m3k3x1x2x3振動(dòng)力學(xué)41動(dòng)力矩陣：動(dòng)力矩陣：)111()11()11()11(32132121121321211131211kkkmkkmkmkkmkkmkmkmkmkmFMD柔度影響系數(shù)更容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出。柔度影響系數(shù)更容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出。彈性梁的柔度影響系數(shù)可直接引自材料力學(xué)公

24、式。彈性梁的柔度影響系數(shù)可直接引自材料力學(xué)公式。這個(gè)動(dòng)力矩陣就不是對(duì)稱(chēng)矩陣。這個(gè)動(dòng)力矩陣就不是對(duì)稱(chēng)矩陣。振動(dòng)力學(xué)42若上例最左邊一個(gè)彈簧取消，則剛度矩陣變?yōu)椋喝羯侠钭筮呉粋€(gè)彈簧取消，則剛度矩陣變?yōu)椋簁1m1m2k2m3k3x1x2x3) 3 , 2 , 1(31ixQfijjij令：令：0, 1321QQQ3333222200kkkkkkkkK這時(shí)，這時(shí)，0K即剛度矩陣為奇異陣，其逆矩陣即柔度矩陣不存在。即剛度矩陣為奇異陣，其逆矩陣即柔度矩陣不存在。其實(shí)，由于左端的約束取消其實(shí)，由于左端的約束取消后，系統(tǒng)處于游離狀態(tài)。對(duì)后，系統(tǒng)處于游離狀態(tài)。對(duì)任一個(gè)物塊施加外力，各靜任一個(gè)物塊施加外力，各靜

25、位移均是不定值，即求不得位移均是不定值，即求不得柔度影響系數(shù)。柔度影響系數(shù)。其彈性位移其彈性位移xi均不能確定。均不能確定。這種系統(tǒng)稱(chēng)為這種系統(tǒng)稱(chēng)為半正定系統(tǒng)半正定系統(tǒng)。振動(dòng)力學(xué)43各質(zhì)量上作用垂直力為Pi，垂直位移為xi (i=1,2,3) 。忽略梁的質(zhì)量，求柔度矩陣。忽略梁的質(zhì)量，求柔度矩陣。 （質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化 ）假設(shè)假設(shè)321PPP、是常力是常力 以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上 梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度。梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度。 321mmm、321xxx、取質(zhì)量取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的靜平衡位置為坐標(biāo)的原

26、點(diǎn)。的原點(diǎn)。 再來(lái)看彈性梁?jiǎn)栴}再來(lái)看彈性梁?jiǎn)栴} x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll彈性梁跨度為4l，抗彎剛度為EI，均布3個(gè)集中質(zhì)量mi(i=1,2,3) ,振動(dòng)力學(xué)441131129fEIlxm1 位移：位移：21321211fEIlxm2 位移：位移：時(shí)、01321PPP（1）時(shí)、10231PPP（2）f11f21P1=1f31m3 位移：位移：3133127fEIlxm1 位移：位移：12311211fEIlx22321216fEIlxm2 位移：位移：m3 位移：位移：32331211fEIlxf12f22P2=1f32（3）利用對(duì)稱(chēng)性：113332233113ffffff，

27、振動(dòng)力學(xué)45得到柔度矩陣：91171116117119123EIlFx1m1x3m3P1P3x2m2P2llll用質(zhì)量影響系數(shù)的物理意義可求出質(zhì)量矩陣。令令T001x 11111mxmQ 021m031m令令T010 x 1210mQ2222mmQ032m令令T100 x 1310mQ023m333mm質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力Qi。振動(dòng)力學(xué)4691171116117119123EIlFx1m1x3m3P1P3x2m2P2llll32100000

28、0mmmM32132132139117111611711912mmmmmmmmmEIlFMD可以寫(xiě)出動(dòng)力學(xué)方程：FQqqD TPPP321Q32132132139117111611711912PPPPPPPPPEIlFQ振動(dòng)力學(xué)47動(dòng)力學(xué)方程可統(tǒng)一表示為：動(dòng)力學(xué)方程可統(tǒng)一表示為： QXKXM 位移向量位移向量加速度向量加速度向量質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有 n 個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為 n 維維 質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣的對(duì)稱(chēng)性、正定性質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣的對(duì)稱(chēng)性、正定性本節(jié)小結(jié)：本節(jié)小結(jié)： FQqqD 振動(dòng)力學(xué)48本節(jié)作業(yè)：

29、本節(jié)作業(yè)： 5.1；5.2振動(dòng)力學(xué)49例例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)振動(dòng)力學(xué)50解：解：,1x2x21,mm的原點(diǎn)分別取在的原點(diǎn)分別取在 的靜平衡位置的靜平衡位置 建立坐標(biāo)：建立坐標(biāo)：設(shè)某一瞬時(shí)：設(shè)某一瞬時(shí)：21mm、1x2x上分別有位移上分別有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k

30、1k2x1x2P1(t)P2(t)振動(dòng)力學(xué)51建立方程：建立方程： )()()()(2332122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩陣形式：矩陣形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 牛頓定理牛頓定理坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)坐標(biāo)間的耦合項(xiàng) P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2振動(dòng)力學(xué)52例例2：轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩圓盤(pán)兩圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 21,II軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度 321,kkk試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 1k1I22I2k3k)

31、(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 振動(dòng)力學(xué)53解：解：建立坐標(biāo)：建立坐標(biāo)：角位移角位移21,設(shè)某一瞬時(shí)：設(shè)某一瞬時(shí)：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1振動(dòng)力學(xué)54建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩陣形式：矩陣形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)坐標(biāo)間的耦合項(xiàng) 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k振動(dòng)力學(xué)55

32、)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同多自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同 如同在單自由度系統(tǒng)中做過(guò)的那樣，在多自由度系統(tǒng)中如同在單自由度系統(tǒng)中做過(guò)的那樣，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM振動(dòng)力學(xué)56小結(jié)：小結(jié)：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxm

33、m )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可統(tǒng)一表示為：可統(tǒng)一表示為： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有 n 個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為 n 維維 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)57剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當(dāng)當(dāng) M、K 確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定M、K 該如何確定？該如何確定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先討論先討論

34、 K加速度為零加速度為零0X )(tKPX 則：則：假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)58)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力，它們使系統(tǒng)只在第假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力，它們使系統(tǒng)只在第 j 個(gè)個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個(gè)坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個(gè)坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移 即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X njjjnnnjnnjnjnkkk

35、kkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P代入，有代入，有 ：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)59 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣 K 的第的第 j 列列 ijk（i=1n） ：在第在第 i 個(gè)坐標(biāo)上施加的力個(gè)坐標(biāo)上施加的力 結(jié)論：剛度矩陣結(jié)論：剛度矩陣 K 中的元素中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生

36、個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第單位位移而相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)60)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X討論討論 M假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移 即：即： X = 0)(tPXM 則有：則有： njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方

37、程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)61njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P使系統(tǒng)只在第使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第的第j列列 結(jié)論：質(zhì)量矩陣結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力ijm、ijmijk 又分別稱(chēng)為又分別稱(chēng)為質(zhì)量影響系

38、數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)和和剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫(xiě)出矩陣意義可以直接寫(xiě)出矩陣 M 和和 K，從而建立作用力方程，這種方，從而建立作用力方程，這種方法稱(chēng)為法稱(chēng)為影響系數(shù)方法影響系數(shù)方法 。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)62例：寫(xiě)出例：寫(xiě)出 M 、 K 及及運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考慮靜態(tài)先只考慮靜態(tài) 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令

39、令 T100 X013k323kk4333kkk剛度矩陣：剛度矩陣：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)63只考慮動(dòng)態(tài)只考慮動(dòng)態(tài) 令令 T001 X 111mm021m031m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：321000000mmmM多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系

40、統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)6443336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 運(yùn)動(dòng)微分方程：運(yùn)動(dòng)微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)6521,mm21,cc21,II例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量質(zhì)心質(zhì)心繞通過(guò)自身質(zhì)心的繞通過(guò)自身質(zhì)心的 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2

41、1、求：求：以微小轉(zhuǎn)角以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，為坐標(biāo)，寫(xiě)出在寫(xiě)出在x-y平面內(nèi)擺動(dòng)的作用力方程平面內(nèi)擺動(dòng)的作用力方程 兩剛體質(zhì)量?jī)蓜傮w質(zhì)量1Ih1C1C2h2lxy2I12多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)66受力分析受力分析1Ih1C1C2h2lxy2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm xy多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)67解：解：先求質(zhì)量影響系數(shù)先求質(zhì)量影響系數(shù) 令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllm

42、hmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程11hm1Ilm211 11m21m02 2I22hm01 12m22m12 振動(dòng)力學(xué)68令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：222222222221

43、11hmIlhmlhmlmhmIM質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)69求剛度影響系數(shù)求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實(shí)際上是求重力影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實(shí)際上是求重力影響系數(shù) 令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程gm211 11k21kgm10

44、2 01 12k22kgm2gm112 振動(dòng)力學(xué)70令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：剛度矩陣：剛度矩陣：2221100)(ghmglmhmK多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)712221100)(ghmglmhmK22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM000)(21222112122222222222111ghmglmhmhmIlhmlhmlmhmI 運(yùn)動(dòng)微分方程：運(yùn)動(dòng)微分方程：y1Ih1C1C2h2lx2I12多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自

45、由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)72例：例：21、求：求：以微小轉(zhuǎn)角以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，為坐標(biāo)，寫(xiě)出微擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程寫(xiě)出微擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 每桿質(zhì)量每桿質(zhì)量 m桿長(zhǎng)度桿長(zhǎng)度 l水平彈簧剛度水平彈簧剛度 k彈簧距離固定端彈簧距離固定端 a12kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)73解：解：令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加力矩110211k21k分別對(duì)兩桿分別對(duì)兩桿 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加

46、力矩011212k22k分別對(duì)兩桿分別對(duì)兩桿 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k1102aO1O2mgmg1 ka11k21k多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)7421121kamglk221kak剛度矩陣：剛度矩陣：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的

47、動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)75令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：22310031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmg11m21mk01 12 aO1O2mgmg12m22mk多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)7622222121kamglkakakamglK運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：22310031mlmlM0021213100312122

48、222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)77例：兩自由度系統(tǒng)例：兩自由度系統(tǒng)擺長(zhǎng)擺長(zhǎng) l，無(wú)質(zhì)量，微擺動(dòng)，無(wú)質(zhì)量，微擺動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)微分方程求：運(yùn)動(dòng)微分方程xm1k12mk2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)78解：解：先求解剛度矩陣先求解剛度矩陣令：令：01x2121111)(kkkkk021k令：令：10 x00)(2112kkkglmlgmk2222sin m1k1k21xm1k11k20 x12k22k多自由度系

49、統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)792121111)(kkkkk021k00)(2112kkkglmlgmk2222sin剛度矩陣：剛度矩陣：glmkk22100K多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)80求解質(zhì)量矩陣求解質(zhì)量矩陣令：令：0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m1k1k2xm 2慣慣性性力力m1k11 gm2k20 x 12m22m Ilm 2慣性力慣性力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度

50、系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)81212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( lmm212222222lmlmIm 質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：222221lmlmlmmmMx m1k12mk2剛度矩陣：剛度矩陣：glmkk22100K運(yùn)動(dòng)微分方程：運(yùn)動(dòng)微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)82位移方程和柔度矩陣對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，有時(shí)通過(guò)對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，有時(shí)通過(guò)柔度矩陣柔度矩陣建立建立位移方程位移方程比通過(guò)比通過(guò)剛度矩陣剛度矩陣建立建

51、立作用力方程作用力方程來(lái)得更方便些。來(lái)得更方便些。 柔度柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反物理意義及量綱與剛度恰好相反 以一個(gè)例子說(shuō)明位移方程的建立以一個(gè)例子說(shuō)明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2無(wú)質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量無(wú)質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化 ）假設(shè)假設(shè)21PP、是常力是常力 以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上 梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度 21mm、21xx、取質(zhì)量取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的靜平衡位

52、置為坐標(biāo)的原點(diǎn)的原點(diǎn) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)83111fx m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、時(shí)時(shí)（1）1021 PP、時(shí)時(shí)（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同時(shí)作用同時(shí)作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)8421PP、 同時(shí)作用時(shí)：

53、同時(shí)作用時(shí)：2121111PfPfx 2221212PfPfx 矩陣形式：矩陣形式：FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP其中：其中：柔度矩陣柔度矩陣物理意義：物理意義：系統(tǒng)僅在第系統(tǒng)僅在第 j 個(gè)坐標(biāo)受到個(gè)坐標(biāo)受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于第單位力作用時(shí)相應(yīng)于第 i 個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移 ijf柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù) f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)85FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP21PP、當(dāng)當(dāng) 是動(dòng)載荷時(shí)是

54、動(dòng)載荷時(shí)集中質(zhì)量上有慣性力存在集中質(zhì)量上有慣性力存在 2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx 212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211x m 22x m m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)86)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXXFM 又可：又可：作用力方程：作用力方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇異非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)

55、系：1 KFIFK 或：或：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)87對(duì)于允許剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），對(duì)于允許剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在柔度矩陣不存在應(yīng)當(dāng)注意：應(yīng)當(dāng)注意：1I2Ikm1m2k1k2m3原因：原因：在任意一個(gè)坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)在任意一個(gè)坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)而無(wú)法計(jì)算各個(gè)坐標(biāo)上的位移而無(wú)法計(jì)算各個(gè)坐標(biāo)上的位移剛度矩陣剛度矩陣 K 奇異奇異多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)88例：

56、例： 求圖示兩自由度簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)的位移方程求圖示兩自由度簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)的位移方程 已知梁的抗彎剛度矩陣為已知梁的抗彎剛度矩陣為EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)89由材料力學(xué)知，由材料力學(xué)知， 當(dāng)當(dāng)B點(diǎn)作用有單位力時(shí)，點(diǎn)作用有單位力時(shí)，A點(diǎn)的撓度為：點(diǎn)的撓度為： )(6222balEJlabfAB柔度影響系數(shù)：柔度影響系數(shù)：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F21212121008778xxmmPPffffxx 柔度矩陣：柔度矩陣：位移方程：位

57、移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)90例：例： 教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度陣，求柔度陣 33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐標(biāo)）在坐標(biāo) x1 上對(duì)質(zhì)量上對(duì)質(zhì)量 m1 作用單位力作用單位力系統(tǒng)在坐標(biāo)系統(tǒng)在坐標(biāo) x1、x2、x3 上產(chǎn)生位移為上產(chǎn)生位移為: 13121111kfff m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2）在坐標(biāo)）在坐標(biāo) x2 上對(duì)質(zhì)量上對(duì)質(zhì)量 m2 作用單位力作用單位力212211kkf1121kf213

58、211kkf（3）在坐標(biāo)）在坐標(biāo) x3 上對(duì)質(zhì)量上對(duì)質(zhì)量 m3 作用單位力作用單位力1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)911111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf 3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF因此：因此：可以驗(yàn)證，有：可以驗(yàn)證，有：IFK m1m2k1k2m3k3x1x2x3 33332222100kkkkkkkkkK多自由度系

59、統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)92質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n 階方陣階方陣 A 正定正定并且等號(hào)僅在并且等號(hào)僅在0y 時(shí)才成立時(shí)才成立 0AyyT是指對(duì)于任意的是指對(duì)于任意的 n 維列向量維列向量 y，總有，總有 成立成立如果如果0y 時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣 A 是是半正定半正定的的 根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對(duì)于定常約束系統(tǒng)：根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對(duì)于定常約束系統(tǒng)： 動(dòng)能：動(dòng)能：XMXTT21 KXXTV21 勢(shì)能：勢(shì)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力

60、學(xué)93質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n 階方陣階方陣 A 正定正定并且等號(hào)僅在并且等號(hào)僅在0y 時(shí)才成立時(shí)才成立 0AyyT是指對(duì)于任意的是指對(duì)于任意的 n 維列向量維列向量 y，總有，總有 成立成立如果如果0y 時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱(chēng)矩陣 A 是是半正定半正定的的 動(dòng)能：動(dòng)能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程振動(dòng)力學(xué)94質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n 階方陣階方陣 A 正定正定并且等號(hào)僅在并且等號(hào)僅在0y 時(shí)才成立時(shí)才成立 0AyyT是