【初三下冊(cè)數(shù)學(xué)】九年級(jí)春季班第19講：代數(shù)計(jì)算及通過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題-教師版

1、九年級(jí)下學(xué)期春季班最新講義1/11<m 代數(shù)計(jì)算及通過(guò)代數(shù)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理問(wèn)題內(nèi)容分析(1)壓軸題中的代數(shù)計(jì)算題，主要是以二次函數(shù)為背景的代幾綜合題；(2)常用的方法是通過(guò)待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，按照設(shè)、歹h解、驗(yàn)、答五步完成，一般來(lái)說(shuō)，解析式中待定幾個(gè)字母，就要代入幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)這類題目中，代數(shù)計(jì)算的運(yùn)用主要是利用圖形之間(主要是線段之間) 的數(shù)量關(guān)系建立方程，然后求解.例題解析【例1】 已知在平面直角坐標(biāo)系 xoy (如圖)中，拋物線 yx2 bx c與x軸交于點(diǎn)A ( 1 , 0)與點(diǎn)C (3, 0),與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P為OB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B作射線AP 的垂線，垂足為點(diǎn) D,

2、射線BD交x軸于點(diǎn)E.(1)求該拋物線解析式；(2)聯(lián)結(jié)BC,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 2)時(shí)，求 EBC的面積;3(3)當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo).【解析】(1)二.拋物線yx2bx c交x軸于點(diǎn)A ( 1,0)與點(diǎn)C(3,0),1 b c 0b 2.解得： ；9 3b c 0c 3，該拋物線的解析式： y x2 2x 3； (2)由 y x2 2x 3得點(diǎn) B (0, 3),.ADXCD, ./ DBP+ / BPD = 90 °, / POA = 90°, ./ OAP+ / APO = 90°, . /BPD = /APO, DBP = /OA

3、P,=90°,AOPs BOE;.AO PO- ；BO OEOA=1 , PO=2 , BO=3,23 一 一旦，. . OE = 2;OE.OC=3,EC=1 ,一S EBC(3)設(shè)點(diǎn) P (0, y),則 OP = y , BP =3 y, AP=5 y 、 P 0, 1 , P2 0, ) 【總結(jié)】本題是一道有關(guān)二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及相似三角形性質(zhì)的綜合運(yùn)用. ；點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，過(guò)點(diǎn) D作DH，x軸，垂足為點(diǎn)H ,.AH = 2, . AO = OH, PD = AP = 1 y2 , / BPD = / APO , / AOP= / BD

4、P= 90°, AOPs BDP ;AP PO rv y f , jF") BP PD 3 y . 1 y21 解得：y12, y2 一 .21 經(jīng)檢驗(yàn)：y12, y2 都是原方程的根，2【例2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y ax2 bx 1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (2, 1),它的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)B.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如果直線y x 1與此拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn) C, 與拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)交于點(diǎn) D,且/ BDC =/ACB. 求此拋物線的表達(dá)式.【解析】(1)二.拋物線y ax2 bx 1與y軸的交點(diǎn)為(0, 1),點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)A (2,1)是關(guān)于拋物線對(duì)

5、稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，,拋物線的對(duì)稱軸為直線 x 1,，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).;拋物線y ax2 bx 1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (2,1),14a 2b 1, b 2a,，拋物線對(duì)稱軸為直線 x 2a 1 ,2a 2a.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0).(2)二直線y x 1與此拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,，點(diǎn)C (1, 2).設(shè)直線y x 1與x軸交于點(diǎn)E,當(dāng)y=0時(shí)，x=1,點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,0). .BC = BE = 2,BCE = 45過(guò)點(diǎn) A 作 AFBC,垂足為 F, AF = BF = 1 , . . / ABF = 45° , AB = & . ./BCD =/ABC = 135°

6、 , / BDC =/ACB, BCD s ABC.CD BC CD2BC AB 22 'CD = 25/2 .過(guò)點(diǎn)D作DGBC,垂足為 G,. / DCG =Z BCE = 45° , DG = CH = 2. .點(diǎn) D (3, 4).2a,，拋物線為 y ax2 2ax 1 ,4 9a 6a 1 ,解得：a -,3該拋物線的表達(dá)式為 y 5x2 -x 1 .33【總結(jié)】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了對(duì)稱軸的確定以及相似三角形的性質(zhì)和判定, 確定特殊角及判定兩三角形相似是解本題的關(guān)鍵.【例3】 如圖1,已知直線y = kx+ 2與x軸的正半軸交于點(diǎn) A (t, 0),與

7、y軸相交于點(diǎn)B,拋物線y =-x2 + bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)C在第三象限內(nèi),(1)當(dāng)t= 1時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；(2)試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn) C的坐標(biāo)；(3)如果點(diǎn)C在這條拋物線的稱軸上，求 t的值.【解析】(1) t = 1, y = kx + 2 ,一 一_ _1且 AC LAB, tan/ACB =1 .2A (1, 0), B (0, 2).把點(diǎn)A (1, 0), B (0, 2)分別代入拋物線的表達(dá)式,得:所求拋物線的表達(dá)式為y x2 x 2；(2)作CHx軸，垂足為點(diǎn)H ,得/ AHC =/ AOB = 90°ACXAB,，/OAB+/CAH = 90°

8、又 / CAH +/ACH = 90AOBs CHA,OACH ./ OAB =/ACH.OB AB.AH AC. tanZ ACBAB"ACOACHOBAh OA = t, OB = 2, CH = 2t, AH = 4.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(t 4, 2t);(如圖).(3) .點(diǎn) C(t 4,2t)在拋物線y2x bx c的對(duì)稱軸上,t 4 b , IP b 2t 8. 2把點(diǎn)A (t, 0)、B (0, 2)代入拋物線的表達(dá)式，得：-t2+ bt + 2 = 0.t2 (2t 8)t 2 0,即 t2 & 2 0,解得：t =4 TT4.點(diǎn)C(t 4, 2t)在第三象限，t=

9、4 JT4不符合題意，舍去.1-1= 4 4 .【總結(jié)】本題主要考查了二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合，包含了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式, 相似三角形的判定與性質(zhì)，注意點(diǎn)的坐標(biāo)與距離間的關(guān)系.【例4】 如圖，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A ( 2,5)和點(diǎn)B ( 5, P),平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)C、D分別在y軸的負(fù)半軸、x軸的正半軸上，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) A、C、D.(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；(3)如果點(diǎn)E在第四象限內(nèi)的二次函數(shù)的圖像上，且/ DCE = ZBDO,求點(diǎn)E的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y X(k 0),x反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A( 2,5)和點(diǎn)B

10、( 5,p),5 Jk-,2反比例函數(shù)的解析式為:10xk 10.105點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,2).設(shè)直線 AB的表達(dá)式為： y mx n(m 0).2m n5m n解得:直線AB的表達(dá)式為：y x 7;(2)二四邊形 ABCD是平行四邊形, AB/CD .設(shè)CD的表達(dá)式為：y x c, C(0 , c) , D( c,0). CD AB,Jc2 c2 & 5 2)2 (2 5)2 ,解得:c 3.點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(0 , 3)、(3,0);17 / 11(3)設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y2 axbx 3 (a 0).分別代入A(得：04a9a2b 33b 3解得:二次函數(shù)的解析式為:2x

11、3.yACD作EF y軸，BGy軸，垂足分別為OC OD, BGBCGOCDODC 450.BCDDCEBDO , ,ECFtanECF tan BDCBCCD.(0 5) (3 2) .1(3 0)2 (0 3)2設(shè)CF，點(diǎn)EOF3t ,則 EF 5t ,的坐標(biāo)為(5t, 3t._23t 3 25t10t 3,解得：t1 0 (舍去)，t2 25.點(diǎn)E的坐標(biāo)為E(-, 36).525【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，難度較大,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,直角三角形判定及解題性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)及銳角三角比的綜合運(yùn)用, 時(shí)注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.隨堂檢測(cè)【習(xí)題

12、1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B是x軸正半軸上的兩個(gè)點(diǎn)，且 OA = AB,過(guò)點(diǎn)A、B分另作x軸的垂線，分別交拋物線y = x2于點(diǎn)C和點(diǎn)D,直線OC交BD于點(diǎn)M , 直線CD交y軸于點(diǎn)H .(1)求 CMD與四邊形ABMC的面積比;(2)求證：xC xDyH .【解析】(1)設(shè)A(a , 0) (a 0).OA = AB,，B(2a,0). AC x軸，BD x軸，且點(diǎn)C和點(diǎn)D在拋物線y.C(a,a2), D(2a,4a2).設(shè)直線OC解析式為:Kx(k 0)，代入 C(a ,a2),得直線OC解析式為:直線OC交BD于點(diǎn)M,一 一 2M(2a,2a2).1 Svcmd- DM AB22

13、 xxO1 / ACS四邊形ABMC(AC2122BM) AB (a2 2a2) a2京,2CMD與四邊形ABMC的面積比為2:3;(2)設(shè)直線CD的解析式為:yk2x b(k222分別代入 C(a,a2), D(2a,4a2),得:a k22a k22 a4a2解得:k2 b3a2 a2直線CD的解析式為：y 3ax 2a2 .直線 CD 交 y軸于點(diǎn) H,H(0, 2a2).xC xd a 2a 2a2 , Vh2a2 , . xCxDyH 【總結(jié)】本題相對(duì)比較基礎(chǔ)，主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，注意認(rèn)真分析.【習(xí)題2】如果一條拋物線y = ax 3n 0- m 1一 ， 解得： 廣

14、3n 3n 23+bx+c (a 0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為“ 拋物線三角形(1)“拋物線三角形三角形;(2)若拋物線yx2 bx ( b0 )的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求 b的值;(3)如圖，OAB是拋物線y2,.x bx ( b 0)“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱中心的矩形ABCD?若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)等腰.(2)二.拋物線的解析式為2_x bx(b 0),，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2該拋物線的“拋物線三角形”是等腰直角三角形,b b2 小 1c 2 (b 0) ,

15、 . b 2 ；yAO E(3)存在.ABCD為平行四邊形.如圖，作 OCD與 OAB關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，則四邊形當(dāng)OA OB時(shí)，平行四邊形 ABCD是矩形.又OA AB ,OAB為等邊三角形,AOB 60o 聲 /b 0),解得：b 273 .作AELOB,垂足為E. AE OE tan AOB 73OE ,4A(點(diǎn)，3), B(2V3,0), C( 33,3)，D( 273,0).設(shè)過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線解析式為:12m3mC、D三點(diǎn)的拋物線解析式為:x2 2v3x .【總結(jié)】本題主要考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用，主要是理解“拋物線三角形”的概念.課后作業(yè)【作業(yè)1】如圖，已知二次函數(shù) Li：

16、 y = X2-4X+ 3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左 邊)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)二次函數(shù) L2： y = kx. k 0, x 4x 3 8 .1. x11 , x2 5 .EF x2 x 6 .即線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化.【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，第(2)問(wèn)注意利用等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)，第(3)小問(wèn)實(shí)質(zhì)上是將線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題.-4kx+ 3k ( k 0),頂點(diǎn)為 P.直接寫(xiě)出二次函數(shù) L2與二次函數(shù)Li有關(guān)圖像的兩條相同的性質(zhì)；是否存在實(shí)數(shù)k,使 ABP為等邊三角形？如果存在，請(qǐng)求出 k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)

17、明理由；若直線y = 8k與拋物線交于E、F兩點(diǎn)，問(wèn)線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不會(huì),請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)度；如果會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.0)【解析】(1) A(1,0) , B(3,0);(2)L2與L1有關(guān)圖像的兩條相同的性質(zhì)為:(I )對(duì)稱軸都為直線 x 2 ;(n)都經(jīng)過(guò) A(1,0), B(3,0)兩點(diǎn).存在實(shí)數(shù)k,使VABP為等邊三角形.,P 為二次函數(shù) L2： y = kx2- 4kx+ 3k (kP(2 , k).A(1,0) , B(3,0), AB 2 .要使 ABP為等邊三角形，必滿足| k 點(diǎn),k B線段EF的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化.直線y = 8k與拋物線交于 E、F兩點(diǎn), .2 .

18、 kx 4kx 3k 8k .y = ax2+4ax+c 經(jīng)過(guò) A (0, 4)、B ( 3, 1)【作業(yè)2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C.(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)將(1)中求得的拋物線沿 y軸向上平移m ( m 0)個(gè)單位，所得新拋物線與y軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)D.當(dāng)ACD是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P在(1)中求得的拋物線的對(duì)稱軸上，聯(lián)結(jié) PO,將線段PO繞點(diǎn)P逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)90。得到線段PO ；若點(diǎn)。恰好在(1)中求得的拋物線上，求點(diǎn) P的坐標(biāo).【解析】(1)將A(0, 4)、B(-3, 1)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，1c 4- c 4得：， 解得： ，9a 12a c 1a 1，拋物線解析式為：y x2 4x 4 (x 2)2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(2,0);(2)由題意，得： D(0 ,m 4).在 Rt AOC 中，OA 4, OC 2 , . AC JOA2 OC2 2/5 .當(dāng)ACD是等腰三角形時(shí)，易得DAC為鈍角，則只有 DA DC 2J5 .DA m 275 ,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2褥4);(3)設(shè) P( 2,n),過(guò)點(diǎn) O 作OMx軸于