《中值定理》PPT課件

1、整理課件2一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數如果函數)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,且在區(qū)間端點的函數且在區(qū)間端點的函數值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內至少有一點內至少有一點)(ba , ,使得函數使得函數)(xf在該點的導數等于零，在該點的導數等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導上可導在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(

2、1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf整理課件3點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運動在變速直線運動在折返點處折返點處,瞬時速瞬時速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC整理課件4注意注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其其結論可能不成立結論可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2一切條件一切條件滿足羅爾定理的滿足羅爾定理的不存在外不存在外上除上除在在

3、f . 0)( xf但在內找不到一點能使但在內找不到一點能使; 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,整理課件5練習練習 對函數對函數2( )sinf xx 在區(qū)間在區(qū)間0, 上上羅爾定理的正確性羅爾定理的正確性. .驗證驗證解解顯然顯然( )f x在在0, 上連續(xù)上連續(xù), ,且且(0)( )0,ff 而在而在 0, 內確存在一點內確存在一點2 使使 22sin cos0.2xfxx 在在 0, 內可內可導導, ,整理課件6例例1 1.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)

4、(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設另有設另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為為唯唯一一實實根根整理課件7不求導數，不求導數，( )(1)(2)(3)f xxxx 的導數有幾個零點及這些零點所在的范圍的導數有幾個零點及這些零點所在的范圍.

5、解解 因為因為(1)(2)(3)0,fff 所以所以( )f x在閉在閉從而，從而，使使 1()0,f 1即即是是( )fx 的一個零點；的一個零點；使使 2()0,f 練習練習判斷函數判斷函數區(qū)間區(qū)間上滿足羅爾定理的三個條件，上滿足羅爾定理的三個條件，1,22,3、內至少存在一點內至少存在一點1, 在在(1,2)又在又在 2,內至少存在一點內至少存在一點(2,3)又因為又因為( )fx 為二次多項式，為二次多項式， 最多只能有兩個零點，最多只能有兩個零點，故故( )fx 恰好有兩個零點恰好有兩個零點整理課件8二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（Lag

6、rangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數如果函數 f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,那末在那末在),(ba內至少有一點內至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結結論論亦亦可可寫寫成成整理課件9ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧注意注意

7、: :拉氏公式精確地表達了函數在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達了函數在一個區(qū)間上的增量與函數在這區(qū)間內某點處的導數之間的關系增量與函數在這區(qū)間內某點處的導數之間的關系.整理課件10練習練習解解驗證函數驗證函數( )arctanf xx 在在0,1上滿足拉上滿足拉格朗日中值定理格朗日中值定理, , 并由結論求并由結論求 值值. .( )arctanf xx 在在0,1上連續(xù)上連續(xù), , 在在(0,1)可導可導, ,故滿足拉格朗日中值定理的條件故滿足拉格朗日中值定理的條件. . 則則(1)(0)( )(10)fff (01) 即即2211arctan1arctan011xx 故故2141 (01)

8、. 4 整理課件11,),()(內內可可導導在在在在設設baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推論推論.)(,)(上是一個常數上是一個常數在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數恒為零上的導數恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數如果函數IxfIxf整理課件12例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 ,

9、 1,arccosarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx整理課件13例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證證),1ln()(xxf 設設, 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即整理課件14三、柯西三、柯西(Ca

10、uchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數如果函數)(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,且且)(xF在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內至少內至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .整理課件15幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上

11、至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 整理課件16練習練習解解驗證柯西中值定理對函數驗證柯西中值定理對函數3( )1,f xx 2( )g xx 在區(qū)間在區(qū)間1,2上的正確性上的正確性. .函數函數3( )1,f xx 2( )g xx 連續(xù)連續(xù), , 在開區(qū)間在開區(qū)間(1,2)內可導內可導, , 且且( )20.g xx 于是于是( ),f x( )g x滿足柯西中值定理的條件滿足柯西中值定理的條件. . 由于由于332(2)(1)(21)(11)7,(2)(1)321ffgg ( )3,( )2fxxg x 在區(qū)間在區(qū)間1,2上上整理課件17( )3,( )2fxxg x 令令37,23x 得得

12、14.9x 取取14(1,2),9 (2)(1)( )(2)(1)( )fffxggg x 成立成立. .這就驗證了柯西中值定理對所給函數在所給區(qū)間這就驗證了柯西中值定理對所給函數在所給區(qū)間上的正確性上的正確性. .則等式則等式整理課件18例例4 4).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點至少存在一點證明證明內可導內可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設函數設函數證證分析分析: 結論可變形為結論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設設, 1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在

13、則則xgxf有有內至少存在一點內至少存在一點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即整理課件19四、小結四、小結Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系；之間的關系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.整理課件20思考題思考題 試舉例說明拉格朗日中值定理的試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可條件缺一不可.整理課件

14、21思考題解答思考題解答 1, 310,)(21xxxxf不滿足在閉區(qū)間上不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)連續(xù)的條件；的條件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不滿足在開區(qū)間內不滿足在開區(qū)間內可微可微的條件；的條件；以上兩個都可說明問題以上兩個都可說明問題.整理課件22一一、 填填空空題題：1 1、 函函數數4)(xxf 在在區(qū)區(qū)間間 1 1, ,2 2 上上滿滿足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，則則= =_ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設設)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方方程程0)( xf有有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _個個根根，它它們們分分別別

15、在在區(qū)區(qū)間間_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _上上. .3 3、 羅羅 爾爾 定定 理理 與與 拉拉 格格 朗朗 日日 定定 理理 之之 間間 的的 關關 系系 是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 微微分分中中值值定定理理精精確確地地表表達達函函數數在在一一個個區(qū)區(qū)間間上上的的_ _ _ _ _ _ _ _與與函函數數在在這這區(qū)區(qū)間間內內某某點點處處的的_ _ _ _ _ _ _ _之之間間的的關關系系. .5 5、 如如果果函函數數)(xf在在區(qū)區(qū)間間I上上的的導導數數_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，那那么

16、么)(xf在在區(qū)區(qū)間間I上上是是一一個個常常數數. .練練 習習 題題整理課件23二、試證明對函數二、試證明對函數rqxpxy 2應用拉氏中值定理應用拉氏中值定理 時所求得的點時所求得的點 總是位于區(qū)間的正中間總是位于區(qū)間的正中間 . .三、證明等式三、證明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、設四、設0 ba，1 n，證明，證明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 證明下列不等式：證明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、時時當當1 x，exex . .六六、證證明明方方程程015 xx只只有有一一個個正正根根 . .整理課件24七、設函數七、設函數)(xfy 在在0 x的某鄰域內且有的某鄰域內且有n階導數，階導數，且且)0()0()0()1( nfff試用柯西中值定理試用柯西中值定理證明：證明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）