Ⅰ–1截面的靜矩與形心位置Ⅰ–2極慣性矩、慣性矩、慣性

1、 1 1 截面的靜矩截面的靜矩與形心位置與形心位置 2 2 極慣性矩、極慣性矩、慣性矩、慣性積慣性矩、慣性積 3 3 慣性矩和慣性積的平行移軸慣性矩和慣性積的平行移軸公式公式 組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積 4 4 慣性矩和慣性積的轉軸慣性矩和慣性積的轉軸 截面的截面的主慣性軸和主慣性矩主慣性軸和主慣性矩*5 5 計算慣性矩的近似方法計算慣性矩的近似方法附錄附錄 截面的幾何性質截面的幾何性質1 1 截面的靜矩與形心位置截面的靜矩與形心位置一、面積（對軸）矩：一、面積（對軸）矩：(與力矩類似) 是面積與它到軸的距離之積。PnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax ; ; y

2、ASxddxASyddAAyyAAxxAxSSAySSdddddAxyyx二、形心：二、形心：(等厚均質板的質心與形心重合。)(:正負面積法公式累加式AAyyAAxxiiiiiixiiyyAyASxAxASdAxyyx等厚均質mmyymmxxmmdd質心：ASAAytAtAytASAAxtAtAxtxAAyAAdddd等于形心坐標xy212121AAAxAxAAxxii3 .2010801101011010357 .341080110101101060y例例1 試確定下圖的形心。解 ： 組合圖形，用正負面積法解之。1.用正面積法求解，圖形分割及坐標如圖(a)801201010 xyC2圖(a)

3、C1C1(0,0)C2(-35,60)2.用負面積法求解，圖形分割及坐標如圖(b)3 .201107080120)11070(5圖(b)C1（0,0）C2（5,5）212121AAAxAxAAxxiiC2負面積C1xy2 2 極慣性矩、極慣性矩、慣性矩、慣性積慣性矩、慣性積一、慣性矩：一、慣性矩：(與轉動慣量類似）與轉動慣量類似） 是面積與它到軸的距離的平方之積。 AyAxAxIAyIdd22dAxyyx二、極慣性矩：二、極慣性矩： 是面積對極點的二次矩。yxAIIAId2dAxyyx三、慣性積：三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。AxyAxyId如果如果 x 或或 y 是對稱軸，則是對稱軸，

4、則Ixy =03 3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組組合截面的慣性矩和慣性積合截面的慣性矩和慣性積一、平行移軸定理一、平行移軸定理：（與轉動慣量的平行移軸定理類似）CCybyxax以形心為原點，建立與原坐標軸平行的坐標軸如圖0CxCyASAbbSIAbbyyAbyAyIxCxCCACACAx222222 d)2( d)( dAbIIxCx2dAxyyxabCxCyC注意注意: C點必須為形心點必須為形心AbIIxCx2AaIIyCy2abAIIxCyCxyAbaIIC2)( 例例2 求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解 ：求解此題有兩種方法： 一是按定義直接積分； 二

5、是用平行移軸定理等知識求。B 建立形心坐標如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圓cossinsincos11yxyyxx一、一、 慣性矩和慣性積的轉軸定理慣性矩和慣性積的轉軸定理dAxyyxx1y1x1y12sin2cos221xyyxyxxIIIIII- -4 慣性矩和慣性積的轉軸公式慣性矩和慣性積的轉軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：坐標旋轉到= 0 時；恰好有0)2cos2sin2(

6、0000 xyyxyxIIII 與 0 對應的旋轉軸x0 y0 稱為主慣性軸；平面圖形對主軸之慣性矩主慣性矩。yCxCxCyCIII22tg022)2(2 00 xyyxyxyxIIIIIII主慣性矩：2.形心主軸和形心主慣性矩： 主軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩yCxCyCxCIII22tg022)2(200 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIII形心主慣性矩：3.求截面形心主慣性矩的方法建立坐標系計算面積和面積矩求形心位置建立形心坐標系；求：IyC ， IxC ， IxCyC求形心主軸方向 0 求形心主慣性矩AAyASyAAxASxiixiiy22)2(2 00 xCyCyCxCyCxCyCxCIIIIIIIyCxCxCyCIII22tg0例例3 在矩形內挖去一與上邊內切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解： 建立坐標系如圖。求形心位置。 建立形心坐標系；求：IyC ， IxC ， I xCy dddddAAyyAAAxxiiii177.0434200222db2dxyOxCyCx1db2dxyOxCyCx1)5 . 0(212ydAIyAIIIIxxxCxCxC圓圓矩矩圓矩4224223685. 0)177. 05